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高考数学微专题集专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点2椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(二)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学微专题集专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点2椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(二)(原卷版+解析)，共49页。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题
微点2 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）
【微点综述】
圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．
一、常用结论
【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：由已知得消去得，
又，因此．
又．
【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．
在中，由余弦定理得，
，
，同理可得，
，
．
由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得
．
【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由结论2得，又．
注意到．
【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：．
【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．
【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．
证明：证法1：在中，由余弦定理得
，即，
，
即，亦即．
证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，
则，，所以，，，
，整理得：，即．
【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，
双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，
则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．
证明：由已知得消去得，
因此．
由已知得，
椭圆与双曲线有共同的焦点．
二、应用举例
共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：
（一）公共点问题；
（二）公共焦点三角形问题；
（三）角度问题；
（四）公共点处切线有关问题；
（五）求离心率的值（或取值范围）；
（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；
（七）求（为正常数）型最值问题；
（八）求（为正常数）型最值问题．
下面我们在上一节基础上继续举例说明题型（四）至（五）及其解题方法．
（四）公共点处切线有关问题
例1．
1．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为_________________．
例2．
2．若两曲线在交点处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点处正交．设椭圆与双曲线在交点处正交，则椭圆的离心率为__________．
共焦点的椭圆与双曲线问题中涉及离心率一般有如下几类题型：
①求离心率的值（或取值范围）．
解题方法：由结论4或结论5得出的等量关系式，利用此关系式求离心率的值（或取值范围）．
②求两离心率之积的取值范围或最值．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理．
③求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．
④求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．
我们先看类型（五），下节中我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．
（五）求离心率的值（或取值范围）
例3．
3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是的一个公共点，是以一个以为底的等腰三角形，的离心率为，则的离心率是
A．2B．3C．D．
例4．
4．已知、是双曲线：（，）与椭圆：的公共焦点，点是曲线、在第一象限的交点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
例5．(2023河南郑州市·高三一模）
5．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023陕西渭南市，高二期末）
6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
例7．
7．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A．B．1C．2D．不确定
例8．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则
A．4B．C．2D．3
例9．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）
9．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
例10．(2023·湖南邵阳·高二期末）
10．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例11．(2023·云南·高二月考）
11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
例12．(2023全国高二课时练习）
12．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为___________.
例13．(2023全国高三专题练习）
13．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
【强化训练】
一、单选题
(2023·吉林长春·模拟预测）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
15．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为（ ）
A．3B．C．7D．
(2023·江西·金溪一中高三月考）
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023江西高三其他模拟）
17．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
18．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是
A．B．C．D．
19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北省天门中学模拟预测）
20．已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
(2023江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）
21．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
(2023·江苏省天一中学高二期中）
22．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023·全国·高二期末）
23．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
(2023江苏徐州市高二月考）
24．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023陕西汉中市·高三月考）
25．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则
A．B．
C．D．
二、多选题
(2023重庆巴蜀中学高三月考）
26．已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·全国·高二专题练习）
27．已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·江苏省响水中学高三月考）
28．已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，上顶点为，且的面积为.双曲线与椭圆的焦点相同，且的离心率为，为与的一个公共点，若，则（ ）
A．B．C．D．
(2023全国·高二专题练习）
29．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且的面积为.双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
(2023天津静海区·高二期中）
30．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．
(2023江苏省天一中学高三一模）
31．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
(2023全国高三专题练习）
32．若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
(2023江苏省前黄高级中学高二期末）
33．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________.
(2023江西·景德镇一中高二期末（文））
34．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且它们在第一象限内的交点为，是以为底边的等腰三角形且，若双曲线的离心率取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是____________.
(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高二月考（文））
35．设，同时为椭圆与双曲线的左､右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则___________.
(2023·浙江·高三学业考试）
36．已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________.
(2023江苏南通·高三期末）
37．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则________．
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点2 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题
微点2 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）
【微点综述】
圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．
一、常用结论
【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：由已知得消去得，
又，因此．
又．
【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．
在中，由余弦定理得，
，
，同理可得，
，
．
由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得
．
【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由结论2得，又．
注意到．
【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：．
【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．
【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．
证明：证法1：在中，由余弦定理得
，即，
，
即，亦即．
证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，
则，，所以，，，
，整理得：，即．
【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，
双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，
则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．
证明：由已知得消去得，
因此．
由已知得，
椭圆与双曲线有共同的焦点．
二、应用举例
共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：
（一）公共点问题；
（二）公共焦点三角形问题；
（三）角度问题；
（四）公共点处切线有关问题；
（五）求离心率的值（或取值范围）；
（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；
（七）求（为正常数）型最值问题；
（八）求（为正常数）型最值问题．
下面我们在上一节基础上继续举例说明题型（四）至（五）及其解题方法．
（四）公共点处切线有关问题
例1．
1．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为_________________．
例2．
2．若两曲线在交点处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点处正交．设椭圆与双曲线在交点处正交，则椭圆的离心率为__________．
共焦点的椭圆与双曲线问题中涉及离心率一般有如下几类题型：
①求离心率的值（或取值范围）．
解题方法：由结论4或结论5得出的等量关系式，利用此关系式求离心率的值（或取值范围）．
②求两离心率之积的取值范围或最值．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理．
③求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．
④求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．
我们先看类型（五），下节中我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．
（五）求离心率的值（或取值范围）
例3．
3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是的一个公共点，是以一个以为底的等腰三角形，的离心率为，则的离心率是
A．2B．3C．D．
例4．
4．已知、是双曲线：（，）与椭圆：的公共焦点，点是曲线、在第一象限的交点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
例5．(2023河南郑州市·高三一模）
5．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023陕西渭南市，高二期末）
6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
例7．
7．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A．B．1C．2D．不确定
例8．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则
A．4B．C．2D．3
例9．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）
9．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
例10．(2023·湖南邵阳·高二期末）
10．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例11．(2023·云南·高二月考）
11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
例12．(2023全国高二课时练习）
12．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为___________.
例13．(2023全国高三专题练习）
13．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
【强化训练】
一、单选题
(2023·吉林长春·模拟预测）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
15．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为（ ）
A．3B．C．7D．
(2023·江西·金溪一中高三月考）
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023江西高三其他模拟）
17．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
18．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是
A．B．C．D．
19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北省天门中学模拟预测）
20．已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
(2023江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）
21．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
(2023·江苏省天一中学高二期中）
22．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023·全国·高二期末）
23．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
(2023江苏徐州市高二月考）
24．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023陕西汉中市·高三月考）
25．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则
A．B．
C．D．
二、多选题
(2023重庆巴蜀中学高三月考）
26．已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·全国·高二专题练习）
27．已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·江苏省响水中学高三月考）
28．已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，上顶点为，且的面积为.双曲线与椭圆的焦点相同，且的离心率为，为与的一个公共点，若，则（ ）
A．B．C．D．
(2023全国·高二专题练习）
29．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且的面积为.双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
(2023天津静海区·高二期中）
30．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．
(2023江苏省天一中学高三一模）
31．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
(2023全国高三专题练习）
32．若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
(2023江苏省前黄高级中学高二期末）
33．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________.
(2023江西·景德镇一中高二期末（文））
34．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且它们在第一象限内的交点为，是以为底边的等腰三角形且，若双曲线的离心率取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是____________.
(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高二月考（文））
35．设，同时为椭圆与双曲线的左､右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则___________.
(2023·浙江·高三学业考试）
36．已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________.
(2023江苏南通·高三期末）
37．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则________．
参考答案：
1．##
分析：依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
2．
分析：设椭圆与双曲线的交点为，联立两曲线方程解得的值，再写出两曲线在的切线方程及斜率，由解出的值，进而可求椭圆的离心率.
【详解】解：设椭圆与双曲线的交点为，
解方程组 ，得 ，
椭圆在处的切线方程为，斜率；
双曲线在处的切线方程为，斜率；
因为椭圆与双曲线在交点处正交，
所以，
所以，
即，解得.
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
3．B
【详解】试题分析：设则所以的离心率是,选B.
考点：椭圆与双曲线定义
【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的定义及几何性质、点的坐标的范围等.
4．A
【解析】求出焦点坐标，设点（，），利用三角形面积和点在椭圆上求出点坐标，代入双曲线方程，并由双曲线中可求得，从而得双曲线离心率．
，解得，即，代入双曲线的方程，
【详解】由题意，，得，设点（，），则
，解得，即，代入双曲线的方程，并将
代人，化得，则，
又，解得，所以双曲线的离心率为.
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题时要注意在椭圆与双曲线中关系的不同．
5．B
【解析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的，利用勾股定理和椭圆的定义求得得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．
【详解】易知椭圆的焦点坐标为，
设双曲线方程为，则，
记，由在椭圆上有，
∴，即，，
∴双曲线离心率为．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是利用双曲线与已知椭圆共焦点，有公共点求出半焦距和半实轴长，注意点椭圆与双曲线的定义的不同：椭圆中是，双曲线中是．
6．A
分析：设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．
双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，
设， ，
则，
当点P被看作是椭圆上的点时，有，
当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，
两式联立消去得，即，
所以，又，
所以，整理得，
解得或（舍去），所以，
即双曲线的离心率为，
故选A．
【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.
7．C
分析：根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得a2+m2=2c2，再根据离心率的定义求解．
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∵，
∴，可得∠F1PF2=900，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，
①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，
可得，
所以=.
故选：C
【点睛】
8．A
分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值.
【详解】如图所示:
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，，
∴，，
设，，则
在中由余弦定理得，，
∴化简得，该式可变成．
故选A．
【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解.
9．B
分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，
由椭圆和双曲线的定义得，解得.
代入，
得，
即，，
即，，因此，.
故选B.
【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．A
分析：设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为， ，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
11．
分析：设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．
【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
在三角形中，，
由余弦定理可得，，
即有，可得，即为，
由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.
故答案为：．
12．
【解析】设点为第一象限内的点，设椭圆与双曲线的焦点都在轴上，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距为，椭圆和双曲线的离心率分别为、，利用余弦定理、椭圆和双曲线的定义可得出，进而可得出，结合可求得的值，即可得解.
【详解】设椭圆与双曲线的焦点都在轴上，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距为，椭圆和双曲线的离心率分别为、，
不妨设为第一象限的点，
在椭圆中：①，在双曲线中：②，
联立①②解得，，，
在中由余弦定理得：，
即
即，即，所以，，
因为椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
13．
分析：由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，
因为，所以，，，
因为，，，所以，则，
因为，，由，所以，因此．
故答案为：.
14．C
分析：设双曲线的实半轴长为a，由题意可得椭圆的长半轴为3a，设曲线在第一象限的交点P，焦半径为x, y，由椭圆及双曲线的定义可得x, y的值，再由勾股定理可得a, c的关系，进而求出双曲线的离心率．
【详解】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得，
由题意P在以为直径的圆上，所以，
所以可得，即离心率，
故选：C
15．D
【解析】根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出，，即可得出结果.
【详解】因为，不妨令，，，
因为点P是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，两曲线的焦距为，
根据椭圆与双曲线的定义可得：，，
因此，，
所以.
故选：D.
16．D
分析：首先设，，为第一象限的焦点，根据题意得到，从而得到，利用余弦定理得到，再根据即可得到.
【详解】设，，为第一象限的焦点，
则.
在中，，
所以，
化简得：，即，
因为双曲线为等轴双曲线，所以，
所以，解得.
故选：D
17．C
分析：设 ， ，利用余弦定理可得，再分别利用椭圆与双曲线的定义可得，可得，结合，解方程即可得答案.
【详解】设 ， ，
在椭圆：中，
，
，
在双曲线：中，
，
即，则
所以，
又因为，所以，
解得，
故选：C.
【点睛】方法点睛：在处理焦点三角形问题时，一般要考虑椭圆和双曲线的定义，注意余弦定理的应用，得到基本量之间的关系，从而转化为离心率问题，一般此类问题比较灵活，需要基础扎实，运算能力强.
18．B
分析：结合椭圆性质和双曲线性质，用c表示，结合c的范围，计算，即可．
【详解】结合题意可知,故对于椭圆而言,解得,此时,
对于双曲线而言,,解得,满足,解得,故,
令,则,其中,
可知在单调递减,
可知当趋于1的时候,趋于无穷大,当t=2时，，
故，故选B．
【点睛】考查了圆锥曲线的性质，考查了利用函数单调性判定函数的范围，难度偏难．
19．C
分析：根据题意得到，得到，，计算得到答案.
【详解】不妨设椭圆：，双曲线：，
则，故，故，.
的离心率是，即，故，故.
故选：.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.
20．C
分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距，根据椭圆及双曲线的定义可以用表示出,在中根据余弦定理可得到的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成.
故选：C.
21．C
分析：设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，可得e1，e2的关系，计算可得所求值．
【详解】设，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得，
解得，
中，，
可得，
即，
可得，
即，
由，可得，
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，余弦定理，考查了化简整理的运算能力，属于中档题．
22．B
分析：先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，，并且，在中根据余弦定理可得到：，即可得到，再将分子分母同除，即可得解．
【详解】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
；
，，设，，则：
在中由余弦定理得，；
化简得，该式可变成，．
；
故选：B．
23．C
分析：依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，
不妨设
则，解之得
代入，
可得
整理得，即，也就是
故选：C
24．D
【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得,再由求的取值范围.
【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,
焦点坐标为,不妨设为第一象限的点,
由椭圆与双曲线的定义得,①,,②,
由余弦定理得,③
联立①②③得,
由,,得,
,
,,则,,
,,,,
又,,.
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆､双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题.
25．B
分析：先将椭圆和双曲线的、、分别设出, 并设,,在中,根据余弦定理可得,根据几何意义,整理为；再分别根据椭圆与双曲线的定义,将该式分别整理为,,利用,对等式两边同除,分别得到,,建立两式的联系,即可得出结果
【详解】设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,设,,,椭圆与双曲线的离心率分别为，
,由余弦定理可得，,即,即 ①,
在椭圆中，由定义得, ①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ②
在双曲线中，由定义得,①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ③
联立②③得,即,
故选B
【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点,椭圆与双曲线的定义,离心率的定义,余弦定理的使用,考查运算能力
26．AD
分析：通过椭圆以及双曲线的焦距相等推出关系式，判断的正误；利用定义推出离心率的关系，判断、的正误；求解离心率的范围判断的正误即可．
【详解】设，的焦距为，由，共焦点知，故正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，错；
由，得，又，得，所以，
从而，故正确．
故选：．
27．ACD
分析：A由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C由椭圆、双曲线的定义可得，而，即可判定；D记，应用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判断.
【详解】设，的焦距为，由，共焦点知：，故A正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B错；
由且，易得，故C正确；
在△中，记，根据定义．
由余弦定理有．
整理得，两边同时除以，可得，故．
将代入，得．故D正确
故选：ACD．
28．AC
分析：先由的面积为，得椭圆离心率，再在中用椭圆、双曲线定义分别表示离心率，由余弦定理建立等量关系，最后消元求解双曲线离心率.
【详解】的面积为，，解得，则，
为与的一个公共点，不妨设M在第一象限，
在中，设，
则由椭圆定义得，，即①，
由双曲线定义得，，即②，
又，则由余弦定理得，，
由①②得，，，代入上式化简得，，解得.
故，，，，AC正确，BD错误.
故选：AC.
【点睛】椭圆与双曲线的离心率是重要的几何性质，在焦点三角形中求解离心率问题，要注意定义的应用，即椭圆中，双曲线中.
29．AC
【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为，由的面积为，可得，可求得，设，利用定义可得，，则，在中，由余弦定理可得，代入化简，利用离心率公式可求出
【详解】解：设双曲线的标准方程为，半焦距为，
因为椭圆的上顶点为，且的面积为。
所以，解得，
所以，所以，
不妨设点在第一象限，设，则，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
两边同除以，得，解得，
所以，， ，，
故选：AC
【点睛】关键点点睛：此题考查了椭圆与双曲线的定义及性质、余弦定理，解题的关键是设，则，得，在由余弦定理可得，从而得，进而可求出，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题
30．
分析：】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得 ，然后结合隐含条件列式求得 ，再由即可求得．
【详解】如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得 ，
同理可得
即，
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题．
31．
【详解】设
根据椭圆的几何性质可得
,
根据双曲线的几何性质可得，
,
即
故答案为
32．
【解析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，由双曲线的定义可得s﹣t＝2 a1，利用勾股定理和离心率公式得到，化简计算即可得出结论．
【详解】不妨设P在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a1，
解得s＝a+a1，t＝a﹣a1，
由∠F1PF2，
在三角形F1PF2中，利用勾股定理可得．
∴，
化简，又由e1e2＝2，
所以.
故答案为：8．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.
33．
【解析】不妨设点在第一象限，设，，在中，由余弦定理可得：，，进而得到，根据范围可得到结果.
【详解】如图所示，
设椭圆的方程为，半焦距为，双曲线的方程为，，半焦距为，
不妨设点在第一象限，设，，
，，
，，
在中，由余弦定理可得：，，
两边同时除以，得，
，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的综合，通过计算得到是解题的关键，意在考查学生的计算能力和逻辑思维能力，属于常考题.
34．
【解析】根据椭圆与双曲线的定义得出为椭圆长轴长，为双曲线实轴长）的关系，从而离心率的关系式，然后可得结论．
【详解】设为椭圆长轴长，为双曲线实轴长，
∵，，
∴由，得，，
相加得，，即，
又，，∴．
故答案为：．
35．2
分析：设，，根据椭圆和双曲线定义可得，.根据，得到，在焦点三角形中使用勾股定理化简可得.
【详解】根据题意，如图所示：
设，，焦距为2c，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，.
当时，则，
所以，即，由离心率的公式可得.
故答案为：2
36．
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据，得到P的横坐标为，设，分别利用椭圆和双曲线的定义求得，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解.
【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，
所以，即P的横坐标为，
设，
由椭圆的定义得：，
由双曲线的定义得：，
联立解得，
设椭圆和双曲线的离心率分别为：，
由椭圆的第二定义得，
解得，
由双曲线的第二定义得：，
解得，
又，
则，，
所以，
故答案为：
37．4
【解析】因为点是椭圆和双曲线的公共点，利用椭圆和双曲线的定义得到，，再利用双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，结合勾股定理进行分析求解即可
【详解】解：连接，由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
所以
因为点关于的一条渐近线的对称点为，
所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，
所以，所以，
所以，即，
所以
所以4
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：此题考查了圆锥曲线的综合应用，涉及了椭圆定义的应用、双曲线定义的应用，解题的关键是运用圆锥曲线的定义，得到，从而可求得结果，属于中档题
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题
微点2 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）
【微点综述】
圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．
一、常用结论
【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：由已知得消去得，
又，因此．
又．
【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．
在中，由余弦定理得，
，
，同理可得，
，
．
由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得
．
【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由结论2得，又．
注意到．
【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：．
【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．
【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．
证明：证法1：在中，由余弦定理得
，即，
，
即，亦即．
证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，
则，，所以，，，
，整理得：，即．
【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，
双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，
则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．
证明：由已知得消去得，
因此．
由已知得，
椭圆与双曲线有共同的焦点．
二、应用举例
共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：
（一）公共点问题；
（二）公共焦点三角形问题；
（三）角度问题；
（四）公共点处切线有关问题；
（五）求离心率的值（或取值范围）；
（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；
（七）求（为正常数）型最值问题；
（八）求（为正常数）型最值问题．
下面我们在上一节基础上继续举例说明题型（四）至（五）及其解题方法．
（四）公共点处切线有关问题
例1．
1．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为_________________．
例2．
2．若两曲线在交点处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点处正交．设椭圆与双曲线在交点处正交，则椭圆的离心率为__________．
共焦点的椭圆与双曲线问题中涉及离心率一般有如下几类题型：
①求离心率的值（或取值范围）．
解题方法：由结论4或结论5得出的等量关系式，利用此关系式求离心率的值（或取值范围）．
②求两离心率之积的取值范围或最值．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理．
③求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．
④求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．
我们先看类型（五），下节中我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．
（五）求离心率的值（或取值范围）
例3．
3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是的一个公共点，是以一个以为底的等腰三角形，的离心率为，则的离心率是
A．2B．3C．D．
例4．
4．已知、是双曲线：（，）与椭圆：的公共焦点，点是曲线、在第一象限的交点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
例5．(2023河南郑州市·高三一模）
5．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023陕西渭南市，高二期末）
6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
例7．
7．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A．B．1C．2D．不确定
例8．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则
A．4B．C．2D．3
例9．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）
9．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
例10．(2023·湖南邵阳·高二期末）
10．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例11．(2023·云南·高二月考）
11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
例12．(2023全国高二课时练习）
12．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为___________.
例13．(2023全国高三专题练习）
13．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
【强化训练】
一、单选题
(2023·吉林长春·模拟预测）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
15．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为（ ）
A．3B．C．7D．
(2023·江西·金溪一中高三月考）
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023江西高三其他模拟）
17．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
18．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是
A．B．C．D．
19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北省天门中学模拟预测）
20．已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
(2023江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）
21．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
(2023·江苏省天一中学高二期中）
22．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023·全国·高二期末）
23．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
(2023江苏徐州市高二月考）
24．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023陕西汉中市·高三月考）
25．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则
A．B．
C．D．
二、多选题
(2023重庆巴蜀中学高三月考）
26．已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·全国·高二专题练习）
27．已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·江苏省响水中学高三月考）
28．已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，上顶点为，且的面积为.双曲线与椭圆的焦点相同，且的离心率为，为与的一个公共点，若，则（ ）
A．B．C．D．
(2023全国·高二专题练习）
29．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且的面积为.双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
(2023天津静海区·高二期中）
30．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．
(2023江苏省天一中学高三一模）
31．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
(2023全国高三专题练习）
32．若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
(2023江苏省前黄高级中学高二期末）
33．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________.
(2023江西·景德镇一中高二期末（文））
34．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且它们在第一象限内的交点为，是以为底边的等腰三角形且，若双曲线的离心率取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是____________.
(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高二月考（文））
35．设，同时为椭圆与双曲线的左､右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则___________.
(2023·浙江·高三学业考试）
36．已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________.
(2023江苏南通·高三期末）
37．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则________．
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点2 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题
微点2 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）
【微点综述】
圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．
一、常用结论
【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：由已知得消去得，
又，因此．
又．
【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．
在中，由余弦定理得，
，
，同理可得，
，
．
由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得
．
【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由结论2得，又．
注意到．
【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：．
【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．
【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．
证明：证法1：在中，由余弦定理得
，即，
，
即，亦即．
证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，
则，，所以，，，
，整理得：，即．
【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，
双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，
则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．
证明：由已知得消去得，
因此．
由已知得，
椭圆与双曲线有共同的焦点．
二、应用举例
共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：
（一）公共点问题；
（二）公共焦点三角形问题；
（三）角度问题；
（四）公共点处切线有关问题；
（五）求离心率的值（或取值范围）；
（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；
（七）求（为正常数）型最值问题；
（八）求（为正常数）型最值问题．
下面我们在上一节基础上继续举例说明题型（四）至（五）及其解题方法．
（四）公共点处切线有关问题
例1．
1．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为_________________．
例2．
2．若两曲线在交点处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点处正交．设椭圆与双曲线在交点处正交，则椭圆的离心率为__________．
共焦点的椭圆与双曲线问题中涉及离心率一般有如下几类题型：
①求离心率的值（或取值范围）．
解题方法：由结论4或结论5得出的等量关系式，利用此关系式求离心率的值（或取值范围）．
②求两离心率之积的取值范围或最值．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理．
③求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．
④求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．
我们先看类型（五），下节中我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．
（五）求离心率的值（或取值范围）
例3．
3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是的一个公共点，是以一个以为底的等腰三角形，的离心率为，则的离心率是
A．2B．3C．D．
例4．
4．已知、是双曲线：（，）与椭圆：的公共焦点，点是曲线、在第一象限的交点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
例5．(2023河南郑州市·高三一模）
5．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023陕西渭南市，高二期末）
6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
例7．
7．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A．B．1C．2D．不确定
例8．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则
A．4B．C．2D．3
例9．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）
9．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
例10．(2023·湖南邵阳·高二期末）
10．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例11．(2023·云南·高二月考）
11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
例12．(2023全国高二课时练习）
12．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为___________.
例13．(2023全国高三专题练习）
13．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
【强化训练】
一、单选题
(2023·吉林长春·模拟预测）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
15．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为（ ）
A．3B．C．7D．
(2023·江西·金溪一中高三月考）
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023江西高三其他模拟）
17．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
18．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是
A．B．C．D．
19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北省天门中学模拟预测）
20．已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
(2023江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）
21．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
(2023·江苏省天一中学高二期中）
22．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023·全国·高二期末）
23．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
(2023江苏徐州市高二月考）
24．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023陕西汉中市·高三月考）
25．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则
A．B．
C．D．
二、多选题
(2023重庆巴蜀中学高三月考）
26．已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·全国·高二专题练习）
27．已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A．B．
C．D．
(2023·江苏省响水中学高三月考）
28．已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，上顶点为，且的面积为.双曲线与椭圆的焦点相同，且的离心率为，为与的一个公共点，若，则（ ）
A．B．C．D．
(2023全国·高二专题练习）
29．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且的面积为.双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
(2023天津静海区·高二期中）
30．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．
(2023江苏省天一中学高三一模）
31．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
(2023全国高三专题练习）
32．若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
(2023江苏省前黄高级中学高二期末）
33．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________.
(2023江西·景德镇一中高二期末（文））
34．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且它们在第一象限内的交点为，是以为底边的等腰三角形且，若双曲线的离心率取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是____________.
(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高二月考（文））
35．设，同时为椭圆与双曲线的左､右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则___________.
(2023·浙江·高三学业考试）
36．已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________.
(2023江苏南通·高三期末）
37．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则________．
参考答案：
1．##
分析：依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
2．
分析：设椭圆与双曲线的交点为，联立两曲线方程解得的值，再写出两曲线在的切线方程及斜率，由解出的值，进而可求椭圆的离心率.
【详解】解：设椭圆与双曲线的交点为，
解方程组 ，得 ，
椭圆在处的切线方程为，斜率；
双曲线在处的切线方程为，斜率；
因为椭圆与双曲线在交点处正交，
所以，
所以，
即，解得.
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
3．B
【详解】试题分析：设则所以的离心率是,选B.
考点：椭圆与双曲线定义
【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的定义及几何性质、点的坐标的范围等.
4．A
【解析】求出焦点坐标，设点（，），利用三角形面积和点在椭圆上求出点坐标，代入双曲线方程，并由双曲线中可求得，从而得双曲线离心率．
，解得，即，代入双曲线的方程，
【详解】由题意，，得，设点（，），则
，解得，即，代入双曲线的方程，并将
代人，化得，则，
又，解得，所以双曲线的离心率为.
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题时要注意在椭圆与双曲线中关系的不同．
5．B
【解析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的，利用勾股定理和椭圆的定义求得得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．
【详解】易知椭圆的焦点坐标为，
设双曲线方程为，则，
记，由在椭圆上有，
∴，即，，
∴双曲线离心率为．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是利用双曲线与已知椭圆共焦点，有公共点求出半焦距和半实轴长，注意点椭圆与双曲线的定义的不同：椭圆中是，双曲线中是．
6．A
分析：设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．
双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，
设， ，
则，
当点P被看作是椭圆上的点时，有，
当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，
两式联立消去得，即，
所以，又，
所以，整理得，
解得或（舍去），所以，
即双曲线的离心率为，
故选A．
【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.
7．C
分析：根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得a2+m2=2c2，再根据离心率的定义求解．
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∵，
∴，可得∠F1PF2=900，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，
①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，
可得，
所以=.
故选：C
【点睛】
8．A
分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值.
【详解】如图所示:
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，，
∴，，
设，，则
在中由余弦定理得，，
∴化简得，该式可变成．
故选A．
【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解.
9．B
分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，
由椭圆和双曲线的定义得，解得.
代入，
得，
即，，
即，，因此，.
故选B.
【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．A
分析：设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为， ，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
11．
分析：设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．
【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
在三角形中，，
由余弦定理可得，，
即有，可得，即为，
由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.
故答案为：．
12．
【解析】设点为第一象限内的点，设椭圆与双曲线的焦点都在轴上，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距为，椭圆和双曲线的离心率分别为、，利用余弦定理、椭圆和双曲线的定义可得出，进而可得出，结合可求得的值，即可得解.
【详解】设椭圆与双曲线的焦点都在轴上，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距为，椭圆和双曲线的离心率分别为、，
不妨设为第一象限的点，
在椭圆中：①，在双曲线中：②，
联立①②解得，，，
在中由余弦定理得：，
即
即，即，所以，，
因为椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
13．
分析：由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，
因为，所以，，，
因为，，，所以，则，
因为，，由，所以，因此．
故答案为：.
14．C
分析：设双曲线的实半轴长为a，由题意可得椭圆的长半轴为3a，设曲线在第一象限的交点P，焦半径为x, y，由椭圆及双曲线的定义可得x, y的值，再由勾股定理可得a, c的关系，进而求出双曲线的离心率．
【详解】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得，
由题意P在以为直径的圆上，所以，
所以可得，即离心率，
故选：C
15．D
【解析】根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出，，即可得出结果.
【详解】因为，不妨令，，，
因为点P是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，两曲线的焦距为，
根据椭圆与双曲线的定义可得：，，
因此，，
所以.
故选：D.
16．D
分析：首先设，，为第一象限的焦点，根据题意得到，从而得到，利用余弦定理得到，再根据即可得到.
【详解】设，，为第一象限的焦点，
则.
在中，，
所以，
化简得：，即，
因为双曲线为等轴双曲线，所以，
所以，解得.
故选：D
17．C
分析：设 ， ，利用余弦定理可得，再分别利用椭圆与双曲线的定义可得，可得，结合，解方程即可得答案.
【详解】设 ， ，
在椭圆：中，
，
，
在双曲线：中，
，
即，则
所以，
又因为，所以，
解得，
故选：C.
【点睛】方法点睛：在处理焦点三角形问题时，一般要考虑椭圆和双曲线的定义，注意余弦定理的应用，得到基本量之间的关系，从而转化为离心率问题，一般此类问题比较灵活，需要基础扎实，运算能力强.
18．B
分析：结合椭圆性质和双曲线性质，用c表示，结合c的范围，计算，即可．
【详解】结合题意可知,故对于椭圆而言,解得,此时,
对于双曲线而言,,解得,满足,解得,故,
令,则,其中,
可知在单调递减,
可知当趋于1的时候,趋于无穷大,当t=2时，，
故，故选B．
【点睛】考查了圆锥曲线的性质，考查了利用函数单调性判定函数的范围，难度偏难．
19．C
分析：根据题意得到，得到，，计算得到答案.
【详解】不妨设椭圆：，双曲线：，
则，故，故，.
的离心率是，即，故，故.
故选：.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.
20．C
分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距，根据椭圆及双曲线的定义可以用表示出,在中根据余弦定理可得到的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成.
故选：C.
21．C
分析：设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，可得e1，e2的关系，计算可得所求值．
【详解】设，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得，
解得，
中，，
可得，
即，
可得，
即，
由，可得，
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，余弦定理，考查了化简整理的运算能力，属于中档题．
22．B
分析：先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，，并且，在中根据余弦定理可得到：，即可得到，再将分子分母同除，即可得解．
【详解】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
；
，，设，，则：
在中由余弦定理得，；
化简得，该式可变成，．
；
故选：B．
23．C
分析：依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，
不妨设
则，解之得
代入，
可得
整理得，即，也就是
故选：C
24．D
【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得,再由求的取值范围.
【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,
焦点坐标为,不妨设为第一象限的点,
由椭圆与双曲线的定义得,①,,②,
由余弦定理得,③
联立①②③得,
由,,得,
,
,,则,,
,,,,
又,,.
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆､双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题.
25．B
分析：先将椭圆和双曲线的、、分别设出, 并设,,在中,根据余弦定理可得,根据几何意义,整理为；再分别根据椭圆与双曲线的定义,将该式分别整理为,,利用,对等式两边同除,分别得到,,建立两式的联系,即可得出结果
【详解】设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,设,,,椭圆与双曲线的离心率分别为，
,由余弦定理可得，,即,即 ①,
在椭圆中，由定义得, ①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ②
在双曲线中，由定义得,①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ③
联立②③得,即,
故选B
【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点,椭圆与双曲线的定义,离心率的定义,余弦定理的使用,考查运算能力
26．AD
分析：通过椭圆以及双曲线的焦距相等推出关系式，判断的正误；利用定义推出离心率的关系，判断、的正误；求解离心率的范围判断的正误即可．
【详解】设，的焦距为，由，共焦点知，故正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，错；
由，得，又，得，所以，
从而，故正确．
故选：．
27．ACD
分析：A由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C由椭圆、双曲线的定义可得，而，即可判定；D记，应用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判断.
【详解】设，的焦距为，由，共焦点知：，故A正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B错；
由且，易得，故C正确；
在△中，记，根据定义．
由余弦定理有．
整理得，两边同时除以，可得，故．
将代入，得．故D正确
故选：ACD．
28．AC
分析：先由的面积为，得椭圆离心率，再在中用椭圆、双曲线定义分别表示离心率，由余弦定理建立等量关系，最后消元求解双曲线离心率.
【详解】的面积为，，解得，则，
为与的一个公共点，不妨设M在第一象限，
在中，设，
则由椭圆定义得，，即①，
由双曲线定义得，，即②，
又，则由余弦定理得，，
由①②得，，，代入上式化简得，，解得.
故，，，，AC正确，BD错误.
故选：AC.
【点睛】椭圆与双曲线的离心率是重要的几何性质，在焦点三角形中求解离心率问题，要注意定义的应用，即椭圆中，双曲线中.
29．AC
【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为，由的面积为，可得，可求得，设，利用定义可得，，则，在中，由余弦定理可得，代入化简，利用离心率公式可求出
【详解】解：设双曲线的标准方程为，半焦距为，
因为椭圆的上顶点为，且的面积为。
所以，解得，
所以，所以，
不妨设点在第一象限，设，则，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
两边同除以，得，解得，
所以，， ，，
故选：AC
【点睛】关键点点睛：此题考查了椭圆与双曲线的定义及性质、余弦定理，解题的关键是设，则，得，在由余弦定理可得，从而得，进而可求出，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题
30．
分析：】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得 ，然后结合隐含条件列式求得 ，再由即可求得．
【详解】如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得 ，
同理可得
即，
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题．
31．
【详解】设
根据椭圆的几何性质可得
,
根据双曲线的几何性质可得，
,
即
故答案为
32．
【解析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，由双曲线的定义可得s﹣t＝2 a1，利用勾股定理和离心率公式得到，化简计算即可得出结论．
【详解】不妨设P在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a1，
解得s＝a+a1，t＝a﹣a1，
由∠F1PF2，
在三角形F1PF2中，利用勾股定理可得．
∴，
化简，又由e1e2＝2，
所以.
故答案为：8．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.
33．
【解析】不妨设点在第一象限，设，，在中，由余弦定理可得：，，进而得到，根据范围可得到结果.
【详解】如图所示，
设椭圆的方程为，半焦距为，双曲线的方程为，，半焦距为，
不妨设点在第一象限，设，，
，，
，，
在中，由余弦定理可得：，，
两边同时除以，得，
，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的综合，通过计算得到是解题的关键，意在考查学生的计算能力和逻辑思维能力，属于常考题.
34．
【解析】根据椭圆与双曲线的定义得出为椭圆长轴长，为双曲线实轴长）的关系，从而离心率的关系式，然后可得结论．
【详解】设为椭圆长轴长，为双曲线实轴长，
∵，，
∴由，得，，
相加得，，即，
又，，∴．
故答案为：．
35．2
分析：设，，根据椭圆和双曲线定义可得，.根据，得到，在焦点三角形中使用勾股定理化简可得.
【详解】根据题意，如图所示：
设，，焦距为2c，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，.
当时，则，
所以，即，由离心率的公式可得.
故答案为：2
36．
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据，得到P的横坐标为，设，分别利用椭圆和双曲线的定义求得，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解.
【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，
所以，即P的横坐标为，
设，
由椭圆的定义得：，
由双曲线的定义得：，
联立解得，
设椭圆和双曲线的离心率分别为：，
由椭圆的第二定义得，
解得，
由双曲线的第二定义得：，
解得，
又，
则，，
所以，
故答案为：
37．4
【解析】因为点是椭圆和双曲线的公共点，利用椭圆和双曲线的定义得到，，再利用双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，结合勾股定理进行分析求解即可
【详解】解：连接，由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
所以
因为点关于的一条渐近线的对称点为，
所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，
所以，所以，
所以，即，
所以
所以4
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：此题考查了圆锥曲线的综合应用，涉及了椭圆定义的应用、双曲线定义的应用，解题的关键是运用圆锥曲线的定义，得到，从而可求得结果，属于中档题
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