高考数学微专题集专题19角平分线定理在圆锥曲线中的应用微点2(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题19角平分线定理在圆锥曲线中的应用微点2(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
微点2 角平分线定理在圆锥曲线中的应用综合训练
一、单选题
(2023年高考新课标Ⅰ理11）
1．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A．B．3C．D．4
(2023·浙江·高三月考）
2．已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为__________．
(2023安徽·芜湖一中高二期中）
6．已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为_____________．
(2023江苏·姜堰中学高二阶段练习）
7．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________.
8．设椭圆的离心率，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直径），、为两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，的平分线PM与长轴交于点．则m的取值范围是________．
三、解答题
(2023上海市七宝中学高三阶段练习）
9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：为定值，并求出这个定值；
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．
（2023·浙江·二模）
10．已知椭圆，，为其左、右焦点，椭圆上有相异两点，，为坐标原点.
（1）若，，直线，直线，直线的斜率满足，当取得最大值时，试求直线的方程.
（2）若为椭圆上除长轴端点外的任一点，△的内心为Ⅰ，试求线段的取值范围.
(2023·全国·高三月考）
11．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．
(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；
②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
（2023·江苏常州·高二期末）
12．椭圆：的左，右焦应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：与椭圆切于点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：存在常数，使得，并求的值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设后的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.
13．已知椭圆C：（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上一点，若过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
14．已知椭圆的左，右焦点分别为､，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于(P点在椭圆左顶点的左侧)且，求证：直线过定点.
15．椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明为定值，并求出这个定值．
专题19 角平分线定理在圆锥曲线中的应用 微点2 角平分线定理在圆锥曲线中的应用综合训练
专题19 角平分线定理在圆锥曲线中的应用
微点2 角平分线定理在圆锥曲线中的应用综合训练
一、单选题
(2023年高考新课标Ⅰ理11）
1．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A．B．3C．D．4
(2023·浙江·高三月考）
2．已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为__________．
(2023安徽·芜湖一中高二期中）
6．已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为_____________．
(2023江苏·姜堰中学高二阶段练习）
7．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________.
8．设椭圆的离心率，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直径），、为两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，的平分线PM与长轴交于点．则m的取值范围是________．
三、解答题
(2023上海市七宝中学高三阶段练习）
9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：为定值，并求出这个定值；
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．
（2023·浙江·二模）
10．已知椭圆，，为其左、右焦点，椭圆上有相异两点，，为坐标原点.
（1）若，，直线，直线，直线的斜率满足，当取得最大值时，试求直线的方程.
（2）若为椭圆上除长轴端点外的任一点，△的内心为Ⅰ，试求线段的取值范围.
(2023·全国·高三月考）
11．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．
(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；
②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
（2023·江苏常州·高二期末）
12．椭圆：的左，右焦应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：与椭圆切于点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：存在常数，使得，并求的值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设后的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.
13．已知椭圆C：（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上一点，若过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
14．已知椭圆的左，右焦点分别为､，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于(P点在椭圆左顶点的左侧)且，求证：直线过定点.
15．椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明为定值，并求出这个定值．
参考答案：
1．B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
2．B
分析：取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率.
【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.
故选：B.
3．B
分析：在中，利用角平分线性质定理可推出，在中，根据角平分线性质定理则利用即可求出答案
【详解】解：因为为的内心，所以是三个内角角平分线的交点，
在中，根据角平分线性质定理有
，
在中，根据角平分线性质定理有
，，
故选：B
【点睛】方法点睛：三角形内心是角平分线交点，利用角平分线性质定理得长度比，再利用双曲线的定义即可得出基本量与的关系.
4．B
分析：由的平分线交长轴于点，得到，再结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围.
【详解】由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，，即，
由，，得，
设，则，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程，以及圆的方程、角平分线性质等知识的综合应用，着重考查推理论证能力及运算求解能力，属于难题.
5．
【详解】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，
由I为△PF1F2的内心，可得
=2，
则|QF1|=m，
若|F1Q|=|PF2|=m，
又PQ为∠F1PF2的角平分线，
可得，
则n=4c﹣m，
又m﹣n=2a，n=m，
解得m=4a，n=2a，
=2，即c=a，
则e==．
故答案为：．
6．
分析：根据角平分线和正弦定理可得：，，从而由等比性质，结合题干中的条件可得：，根据，求得椭圆的离心率取值范围.
【详解】如图，连接，，I是的内心，可得，分别是和的角平分线，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，所以，
又因为,所以，同理可得：，由比例关系可知，，又，所以，，因此，又，所以．
故答案为：
7．
【解析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解.
【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且，
所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为，
又由切线垂直角的角平分线，所以，
即.
故答案为：.
8．
【详解】将代入方程得通径．①
由．②
联立式①、②解得，．于是，．
则椭圆．③
由式③得过点的切线方程为，
斜率为．
根据椭圆的切线定理，知PM为过点的法线，其斜率为．
则．
令，得．
由题意知．故．
9．（1）；（2），证明见解析；（3）．
分析：（1）由长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．可得，的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得与的横纵坐标的关系，再由在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线，的斜率分别为，与的坐标的关系，进而可得为定值；
（3）设的坐标，由（1）可得焦点，的坐标，求出直线，的方程，由角平分线的性质，到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得与的横坐标的关系，再由在椭圆上可得的横坐标的取值范围求出的范围．
【详解】（1）由于，将代入椭圆方程，得．
由题意知，即．
又，，所以，．
所以椭圆的方程为．
（2）设，，则直线的方程为．
联立得，
整理得
由题意得△，即．
又，所以，故．
又知，
所以，
因此为定值，这个定值为．
（3）设，，又，，
所以直线，的方程分别为，
．
由题意知．
由于点在椭圆上，所以．
所以．
因为，，可得，
所以，
因此．
【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及综合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
10．（1）直线；（2）.
【解析】（1）将，代入求得椭圆方程，设直线，，，，，与椭圆联立，再由韦达定理得到，间的关系，结合题意可得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得，进而表示出面积，并利用基本不等式求得其最大值，利用取等条件可得，由此求得直线方程；
（2）由焦半径公式可得，，由三角形内心性质可得，根据平面向量的坐标运算可得，则，进而求得，再利用二次函数的性质可求得其取值范围，进而得解.
【详解】解：（1）由若，，可得椭圆.
设直线，，，，，，
由联立可得：，则，
，
，
得，要三点能形成三角形，则必有，
，又，
，
则
，
点到直线的距离，
，
当且仅当，即时取“”，
此时直线；
（2）设，，，，，，
则，又由，得
，
同理
现在证明为的内心，则
证明：分别为方向上的单位向量，
平分,
)，
同理：
得，代入解得，
（)
化简得，
，得证；
又为△的内心，则，
，
，即，
，
，
.
【点睛】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，点到直线的距离公式，基本不等式，三角形内心的向量表示等知识点，考查了转化与化归思想，考查化简求解能力，属于较难题目.
11．(1).
(2)①存在②是定值
分析：（1）设所求椭圆方程为，由椭圆的性质求得，，可得椭圆的方程；
（2）①存在, 设椭圆上的点,直接计算，即可探索出存在m；
②由（1）得椭圆的方程为，设椭圆上的点，有，证明椭圆在点处的切线方程为， 再由右光学性质得直线，由此可求得定值.
（1）
设所求椭圆方程为，
则，
由椭圆的性质：，所以，
，
所以椭圆的方程为.
（2）
由椭圆的方程为，则.
①存在直线，使得P到和P到直线的距离之比为定值.
设椭圆上的点,
则，P到直线的距离，
所以，
所以，当时，（定值）.
即存在，使得P到和P到直线的距离之比为定值.
②设椭圆上的点，则，
又椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：对于椭圆，
当，，则，
所以椭圆在处的切线方程为，
又由，可以整理切线方程为：，
即切线方程为，即，也即.
所以椭圆在点处的切线方程为，
同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，
综述：椭圆在点处的切线方程为，
所以在点处的切线的斜率为，
又由光学性质可知：直线，所以，则.
所以，
，
那么.
12．（1）（2）证明见解析，（3）
【解析】（1）根据题意直接计算得到答案.
（2）设方程，联立方程，利用韦达定理得到，
计算，代入化简得到答案.
（3）设其中，将向量坐标代入并化简得，计算得到答案.
【详解】（1）由得所以椭圆的方程为
（2）∴又∴设方程为
由
设，则
由
∴
∴即存在满足条件
（3）由题意可知：，
设其中，将向量坐标代入并化简得：
，因为，所以
而，所以
【点睛】本题考查了椭圆方程，韦达定理的应用，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
13．（1）；（2）．
分析：（1）根据题意设出圆的标准方程，利用切线的性质、等腰直角三角形的性质，结合椭圆中的关系进行求解即可；
（2）根据题意设出直线l的方程和点P的坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据直线与椭圆的位置关系，结合一元二次根的判别式、根与系数的关系、平面向量加法和数乘的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
，∴圆心到直线的距离为（*）
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴，
代入（*）式得，∴，
故所求椭圆方程为
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为，设，
将直线方程代入椭圆方程得，
，，
设，，则，
由，
当时，直线l为x轴，P点在椭圆上适合题意；
当时，得
∴，
将上式代入椭圆方程得：，
整理得：，
由知，所以，∴
综上可得
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了圆的切线性质，考查了待定系数法，考查了数学运算能力.
14．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据离心率得到，再根据直线与圆相切，求出，从而有，进一步得到椭圆C的方程；
（2）由题意得，即，将直线，代入椭圆方程可得，通过韦达定理进一步化简从而得出结论.
【详解】（1）解：椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的离心率为，
即有，即，，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为，
直线与圆相切，则有，
即有，
则椭圆C的方程为；
（2）证明：设，，
由，可得直线和关于x轴对称，
即有，即，
即有，①
设直线，代入椭圆方程，
可得，
判别式，
即为②，，③，
，，
代入①可得，，
将③代入，化简可得，
则直线的方程为，即.
即有直线恒过定点.
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，以及直线过定点的知识点，注意运用直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题.
15．（1）；（2）－