高考数学微专题集专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点1圆锥曲线中的定点问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点1圆锥曲线中的定点问题(原卷版+解析)，共46页。

微点1 圆锥曲线中的定点问题
【微点综述】
定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线（曲线）过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线（曲线）方程，根据方程的成立与参数值无关得出的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线（曲线）所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．
一、圆锥曲线中的定点问题
一般情况下，若方程中含有一个或者多个参数，当x取某个常数时，求得的y也是一个与参数无关的常数，这样就可以说方程对应的曲线经过定点．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定点，这样可以转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
二、处理定点问题两个基本策略：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
三、解题流程与方法总结
1．单参数法
①设动直线PM方程为y＝k（x－x0）＋y0；
②联立直线与椭圆（抛物线），解出点M的坐标为（A（k），B（k）），同理（由核心方程代换），得出点N的坐标为（C（k），D（k））；
③写出动直线MN方程，并整理成kf（x，y）＋g（x，y）＝0；
④根据直线过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组
⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．

2．双参数法
①设动直线MN方程（斜率存在）为y＝kx＋t；
②由核心方程得到f（k，t）＝0（常用韦达定理）；
③把t用k表示或把k用t表示，即kf（x，y）＋g（x，y）＝0（或tf（x，y）＋g（x，y）＝0）；
④根据直线过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组
⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．
四、典型例题精析
1．直线过定点问题
（1）直线过定点问题的解题模型
（2）求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点．
1．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
2．已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
例3．(2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）
3．已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.
(1)求抛物线方程和N点坐标；
(2)求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.
4．如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
例5．(2023届北京大学附属中学高三12月月考）
5．已知点，，曲线C上的动点M满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C相交于另一点N，当直线MN不垂直于x轴时，点M关于轴的对称点为P，证明：直线PN恒过一定点．
6．椭圆C的焦点为，，且点在椭圆上．过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
2．圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为
例7．(2023届广西“智桂杯”高三上学期大联考）
7．已知椭圆的右焦点为，与轴不重合的直线过焦点，与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，，的延长线分别交直线于，两点，证明：以为直径的圆过定点.
3．与定点问题有关的基本结论
（1）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
（2）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
（3）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点．
（4）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点；
（5）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（6）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（7）设点是椭圆C：上一定点，点A，B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点；
（8）设点是双曲线C：一定点，点A，B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点．
例8．(2023届海南华侨中学高三上学期月考）
8．已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.
例9．(2023届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）
9．已知抛物线的焦点为，点 在上，且．
(1)求点的坐标及的方程；
(2)设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
【强化训练】
10．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为. 直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.
11．已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)直线与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标．若不是，说明理由．
12．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
13．双曲线C：（，）的一条渐近线l的倾斜角为，过左、右焦点，分别作l的垂线，两垂足间的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（1，0）且斜率不为0的直线与双曲线C交于M，N两点，记N关于x轴的对称点为Q，证明直线MQ过x轴上的定点．
(2023届河南省焦作市高三上学期开学考试）
14．在中，已知、，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上一点，直线与交点的横坐标为，求证：直线过定点.
(2023届陕西省西安市高三上学期模拟）
15．已知与圆相切的直线l，过抛物线的焦点F，且直线l的倾斜角为.
(1)求抛物线E的方程；
(2)直线与抛物线E交于点A，B两点，且A，B关于直线对称，在上是否存在点N，使得以为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N的坐标；否则，请说明理由.
(2023届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）
16．已知椭圆的右焦点为F，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)若，且直线l的斜率为4，求直线(点为坐标原点)的斜率．
(2)若直线，的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
17．过点的任一直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值．
(2)已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点．
(2023届上海市进才中学高三上学期12月联考）
18．在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；
(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
19．在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
(2023届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）
20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
(2023届江苏省南通市高三上学期期末）
21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
22．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证：为定值.
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点1 圆锥曲线中的定点问题
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定值线问题
微点1 圆锥曲线中的定点问题
【微点综述】
定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线（曲线）过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线（曲线）方程，根据方程的成立与参数值无关得出的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线（曲线）所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．
一、圆锥曲线中的定点问题
一般情况下，若方程中含有一个或者多个参数，当x取某个常数时，求得的y也是一个与参数无关的常数，这样就可以说方程对应的曲线经过定点．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定点，这样可以转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
二、处理定点问题两个基本策略：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
三、解题流程与方法总结
1．单参数法
①设动直线PM方程为y＝k（x－x0）＋y0；
②联立直线与椭圆（抛物线），解出点M的坐标为（A（k），B（k）），同理（由核心方程代换），得出点N的坐标为（C（k），D（k））；
③写出动直线MN方程，并整理成kf（x，y）＋g（x，y）＝0；
④根据直线过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组
⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．

2．双参数法
①设动直线MN方程（斜率存在）为y＝kx＋t；
②由核心方程得到f（k，t）＝0（常用韦达定理）；
③把t用k表示或把k用t表示，即kf（x，y）＋g（x，y）＝0（或tf（x，y）＋g（x，y）＝0）；
④根据直线过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组
⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．
四、典型例题精析
1．直线过定点问题
（1）直线过定点问题的解题模型
（2）求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点．
1．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
2．已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
例3．(2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）
3．已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.
(1)求抛物线方程和N点坐标；
(2)求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.
4．如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
例5．(2023届北京大学附属中学高三12月月考）
5．已知点，，曲线C上的动点M满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C相交于另一点N，当直线MN不垂直于x轴时，点M关于轴的对称点为P，证明：直线PN恒过一定点．
6．椭圆C的焦点为，，且点在椭圆上．过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
2．圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为
例7．(2023届广西“智桂杯”高三上学期大联考）
7．已知椭圆的右焦点为，与轴不重合的直线过焦点，与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，，的延长线分别交直线于，两点，证明：以为直径的圆过定点.
3．与定点问题有关的基本结论
（1）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
（2）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
（3）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点．
（4）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点；
（5）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（6）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（7）设点是椭圆C：上一定点，点A，B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点；
（8）设点是双曲线C：一定点，点A，B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点．
例8．(2023届海南华侨中学高三上学期月考）
8．已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.
例9．(2023届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）
9．已知抛物线的焦点为，点 在上，且．
(1)求点的坐标及的方程；
(2)设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
【强化训练】
10．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为. 直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.
11．已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)直线与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标．若不是，说明理由．
12．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
13．双曲线C：（，）的一条渐近线l的倾斜角为，过左、右焦点，分别作l的垂线，两垂足间的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（1，0）且斜率不为0的直线与双曲线C交于M，N两点，记N关于x轴的对称点为Q，证明直线MQ过x轴上的定点．
(2023届河南省焦作市高三上学期开学考试）
14．在中，已知、，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上一点，直线与交点的横坐标为，求证：直线过定点.
(2023届陕西省西安市高三上学期模拟）
15．已知与圆相切的直线l，过抛物线的焦点F，且直线l的倾斜角为.
(1)求抛物线E的方程；
(2)直线与抛物线E交于点A，B两点，且A，B关于直线对称，在上是否存在点N，使得以为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N的坐标；否则，请说明理由.
(2023届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）
16．已知椭圆的右焦点为F，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)若，且直线l的斜率为4，求直线(点为坐标原点)的斜率．
(2)若直线，的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
17．过点的任一直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值．
(2)已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点．
(2023届上海市进才中学高三上学期12月联考）
18．在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；
(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
19．在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
(2023届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）
20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
(2023届江苏省南通市高三上学期期末）
21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
22．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证：为定值.
参考答案：
1．(1) .
(2)证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.
试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.
2．(1)，点M的坐标为
(2)存在，
分析：（1）根据椭圆的离心率以及过点P(0，1)，可以得出a，b，c的方程，求出，得出椭圆的方程．
（2）设点Q的坐标是，由条件转化到正切值的关系，进而转化为斜率求得．
（1）
由题意知，代入点，得，∴．
由离心率为，知，则．
由，得．
∴椭圆C的方程是．
由点和的坐标，得出直线PA的方程为．
令，得，∴点M的坐标为．
（2）
点在椭圆上，有．
点B的坐标为，直线PB的方程为．
令，得，∴点N的坐标为．
设点Q的坐标是，则，．
∵，∴，即．
∴．
∴，点Q的坐标为，∴在y轴上存在点，使得．
3．(1)，
(2)证明见解析，定点
分析：（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.
（1）
设抛物线的标准方程为，，其焦点为
则，
∴
所以抛物线的方程为.
，所以，所以.
因为，所以，所以.
（2）
由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），
联立方程得
设两个交点，（，）.
所以
所以，
即
整理得，此时恒成立，
此时直线l的方程为，可化为，
从而直线过定点.
4．(1)．
(2)
(3)证明见解析
分析：（1）根据题意可得kAP·kOP＝－1，可求出，再由椭圆M过点P，将点P坐标代入椭圆方程可求出，从而可求出椭圆方程，
（2）求出直线AP的方程，设，再求出点Q到直线AP的距离，从而可表示出△APQ面积，再利用三角函数的性质可求得结果，
（3）解法1：单参数法，由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，可求出点的坐标，同理求出点的坐标，从而可表示出直线DE的方程，从而可求得结果，解法2：设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，利用根与系数关系，再由k1k2＝1，可求出，从而可求得结果.
（1）
由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1．
又点A的坐标为（－a，0），
所以，解得a＝1．
又因为椭圆M过点P，所以，解得，
所以椭圆M的方程为．
（2）
由题意易求直线AP的方程为，即x－y＋1＝0．
因为点Q在椭圆M上，故可设，
又，
所以，
当，即时，，
取得最大值．
（3）
法一：单参数法
由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y，
得，
设D（xD，yD），则，
即，所以．
设E（xE，yE），同理可得，．
又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，
所以，
所以
故直线DE的方程为．
令y＝0，可得．
故直线DE过定点（－2，0）．
法二：双参数法
设D（xD，yD），E（xE，yE）．
若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD，
此时与题设矛盾，
若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x，
得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0，
则．
又，
可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0，
所以，
，
化简得，
解得s＝－2或s＝－1．
又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2．
所以DE的方程为x＝ty－2．
故直线DE过定点（－2，0）．
5．(1)；
(2)证明见解析.
分析：（1）由题意得出，根据椭圆的定义可知曲线C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程；
（2）设直线MN的方程为或，把直线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据点M的坐标写出点的坐标，从而求出直线PN的方程，证明直线PN与轴的交点为定点即可.
（1）
因为，，
所以曲线C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以，，．
所以曲线C的方程为．
（2）
解法一：因为直线MN不与x轴垂直，所以设直线MN的方程为
由，得，
因为点在曲线C内，所以恒成立，
设，，则，．
因为点P与点M关于x轴对称，所以．
所以直线PN的斜率，直线PN的方程是．
令，得．
所以此时直线PN过定点．
当直线MN与x轴重合时，直线PN为x轴，显然过点．
综上所述，直线MN恒过定点．
解法二：当MN不与x轴重合时，设直线MN的方程为，
由，得，
．
设，，设，．
因为点P与点M关于x轴对称，所以．
所以直线PN的斜率，直线PN的方程是
令，得
，
所以此时直线PN过定点．
当直线MN与x轴重合时，直线PN为x轴，显然过点．
综上所述，直线MN恒过定点．
6．(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
分析：（1）计算，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程得到根与系数的关系，通过特殊直线得到定点为，再计算斜率相等得到证明.
（1）
设椭圆C的标准方程为，
由已知得.
所以，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得.
设，，，则，
特殊地，当的坐标为时，，所以，，，
即，所以点B关于轴的对称点为，则直线的方程为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
如果存在定点Q满足条件，则为两直线交点，
，，
又因为
所以，即三点共线，故直线恒过定点，定点坐标为．
7．(1)；
(2)证明见解析.
分析：(1)根据给定条件结合椭圆通径的意义及计算即可得解.
(2)设出直线方程，再与椭圆C的方程联立，用点A，B的纵坐标表示出点M，N的纵坐标，然后借助韦达定理、向量数量积计算即可作答.
（1）
椭圆的右焦点，则半焦距，
当轴时，弦AB为椭圆的通径，即，则有，即，
而，于是得，又，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）
依题意，直线不垂直于y轴，且过焦点，设的方程为，，，
由得，，，
因点，则直线的方程为，令，得，
同理可得，于是有，
则
，
因此，，即在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆过定点.
【点睛】方法点睛：涉及过定点且不垂直于某条坐标轴的直线方程设法，若直线不垂直于x轴，可设其方程为： ；
若直线不垂直于y轴，可设其方程为：..
8．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）根据题意列方程组求得，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，分直线斜率存在与不存在两种情况证明.
当直线的斜率存在时，设：，联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得，由求得，代入直线方程可证得直线过定点，再考虑直线的斜率不存在时情况，易证得结果.
（1）
由题意可得，解得
所以椭圆的方程为.
（2）
设.
①当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得.
由，得.
所以．
所以，
即，所以，即，
所以，所以，所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，，则，所以，则直线也过定点.
综合①②，可得直线过定点.
9．(1)的坐标为，的方程为；
(2)直线过定点.
分析：(1)利用抛物线定义求出，进而求出p值即可得解.
(2)设出直线的方程，再联立直线l与抛物线C的方程，借助韦达定理探求出m与n的关系即可作答.
（1）
抛物线的准线：，于是得，解得，
而点在上，即，解得，又，则，
所以的坐标为，的方程为.
（2）
设，直线的方程为，
由消去x并整理得：，则，，，
因此，，
化简得，即，代入方程得，即，则直线过定点，
所以直线过定点.
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
10．（1）；（2）.
分析：（1）根据椭圆的离心率为，点在椭圆上，由求解；
（2）设，直线AB的方程为，与椭圆方程联立，则直线的方程，令，结合韦达定理求解.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点在椭圆上，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程；
（2），
直线AB的方程为，
联立，消去y得，
由韦达定理得，
直线的方程为，
令，得，
又，
所以，
所以直线与轴的交点是定点，其坐标是.
11．(1)
(2)是，以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．
分析：（1）由椭圆经过点，离心率为，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（2）直线代入椭圆方程，求出，的坐标，利用以线段为直径的圆过轴上的定点,，则等价于恒成立，即可得出结论．
（1）
解：由题意得，解得，．
∴椭圆C的方程是．
（2）
解：以线段为直径的圆过轴上的定点．
直线代入椭圆可得．
设,，,，则有，．
又因为点是椭圆的右顶点，所以点．
由题意可知直线的方程为，故点．
直线的方程为，故点．
若以线段为直径的圆过轴上的定点，，则等价于恒成立．
又因为,，,，
所以恒成立．
又因为，
，
所以，解得．
故以线段为直径的圆过轴上的定点，．
12．(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
分析：(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．(1)；
(2)证明见解析.
分析：（1）根据渐近线的倾斜角可得，由已知及点线距离公式求参数，进而写出双曲线C的方程；
（2）设为且、，（），联立双曲线方程应用韦达定理、两点式求，再由点斜式写出MQ的方程，令化简求x，即可证明定点.
（1）
依题意，渐近线l为，即．
由，得．
∵，到渐近线l的距离均为，，
∴两垂足间的距离为，解得，则．
∴双曲线C的方程为．
（2）
依题意，得直线的斜率存在且不为0．
设为且，代入双曲线C的方程中，消去y，整理得．
∵直线与双曲线C交于两点，
∴，解得且．
设，（），则，
，，则，
∴直线MQ的方程为，
令，则．
∴直线MQ过x轴上的定点(3,0)．
14．(1)；
(2)证明见解析.
分析：（1）设点的坐标为，利用斜率公式结合已知条件可求得曲线的方程，并注明；
（2）设直线与交点为，求出点、的方程，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线的坐标，即可得出直线所过定点的坐标.
（1）
解：设点的坐标为，
直线与的斜率分别为，，其中，
由已知得，化简得，由已知得，
故曲线的方程为.
（2）
证明：设直线与交点为，则直线的方程为，
由得，
设，则，即，
，
同理，直线的方程为，与椭圆方程联立，
消去整理得，
设，则，即，.
当时，直线的斜率为，
此时直线的方程为，
化简得：，故直线过定点.
当时，可得，所以直线也过定点.
综上所述：直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
15．(1)
(2)存在，或
分析：（1）根据点斜式设出直线方程，再由与圆相切求解即可；
（2）利用点差法求出中点，得出直线方程，再由圆的性质利用求解即可.
（1）
抛物线焦点为，直线斜率，
所以直线方程为，
由圆与直线相切可得，，
由可解得，
所以抛物线方程为.
（2）
设，
因为A，B关于直线对称，
所以设中点在上，且，
由相减可得，
，
所以，
又在上，
所以，
所以直线的方程为，
联立抛物线消元得，
，
,
若存在点N，
则,
即，
解得或，
即存在点或满足条件.
【点睛】方法点睛：存在性问题，一般假设符合条件的点存在，本题以以为直径的圆恰好过点N，可考虑垂直建立关系，也可考虑建立关系求解.
16．(1)；
(2)过定点，﹒
分析：(1)由值M为AB中点，由点差法即可得OM的斜率；
(2)根据椭圆对称性，结合已知条件可知l过定点时，定点应该在x轴上，设定点为(t，0)，写出直线方程，联立直线与椭圆方程根据韦达定理得到根与系数的关系，再由直线，的斜率互为相反数列出方程，即可求得定点坐标﹒
（1）
设，，依题意，M为线段的中点，
∵A，B在椭圆C上，故
两式相减可得，
则，
故，解得．
（2）
假设定点存在，根据椭圆对称性，可知该直线所过定点在x轴上，设定点坐标为，
则直线l的方程为，
联立，消去y整理得，
则，．
设直线，的斜率分别为，，由题可知，
则
．
即，
∴，，
即直线l过定点．
【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
17．(1)
(2)证明见解析
分析：(1) 设，直线的方程为，与抛物线方程联立，
可求，由列方程求的值；
(2) 设利用导数的几何意义求切线的方程，根据可得，化简直线的方程，证明直线过定点．
（1）
设，直线的方程为，与抛物线方程联立，
整理可得
所以，，
所以，
所以，
（2）
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设，则抛物线在点处的切线方程为
从而同理，
因为，所以，即，
又，
从而直线的方程为：，
将带入化简得：，
所以，直线恒过定点．
18．(1)
(2)0
(3)直线经过定点，定点坐标为
分析：(1)设出的坐标为，结合已知条件可得，然后化简即可求解；(2)设直线的方程，并联立椭圆方程，利用斜率公式表示出，然后结合韦达定理即可求解；(3)结合已知条件，设出直线EF的方程，并联立椭圆方程，利用和韦达定理求出，进而即可得到答案.
（1）
不妨设点的坐标为，
由题意可知，，
化简可得，，
故曲线C的方程为.
（2）
不妨设直线的方程：，，，
因为直线l不过点，易知，
由可得，，
由且可得，或，
由韦达定理可知，，，
因为，，，，
所以，
将，代入上式得，，
故的值为0.
（3）
由椭圆方程可知，点坐标为，
因为以为直径的圆恰过Q点，所以，
结合椭圆特征可知，直线的斜率存在，
不妨设直线方程：，且，，，
由可得，，
由可得，，
由韦达定理可知，，，
因为，，，，
所以，
将，代入上式并化简可得，，
故直线方程：，
易知直线必过定点，
从而直线经过定点，定点坐标为.
19．(1)证明见解析
(2)直线AB过定点.
分析：（1）根据函数切线的几何意义，结合中点坐标公式进行求解证明即可；
（2）根据中点公式，结合斜率公式进行求解即可.
（1）
设，由，
所以切线MA的斜率为， 因此切线MA的方程为： ，
M为直线y＝x－2上一动点，设，
因此有，
同理可得：，因此是方程的两个根，
所以，
因为N为AB的中点，所以，因此MN⊥x轴；
（2）
因为，
所以，
所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，
即y－2＝2t，
所以直线AB过定点．
20．(1)
(2)过定点，定点为
分析：（1）根据对称性得为等腰直角三角形，且，进而根据面积得，再结合离心率得，最后根据求解得答案；
（2）由题知，设直线的方程为，，进而根据题意得，进而整理得，再联立并结合韦达定理整理求解即可.
（1）
解：根据题意，由对称性得为等腰直角三角形，且，
因为的面积等于，所以，即，
因为椭圆的离心率等于，即，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）
解：由（1）得，
设直线的方程为，，
因为点关于轴的对称点在直线上，
所以直线与直线的斜率互为相反数，即，
因为，所以，
整理得
又因为，所以，
由消去得
所以，即，
所以，
整理得
由于，故解方程得，
此时直线的方程为，过定点
所以直线恒过定点.
21．(1)
(2)直线l过定点(，0)
分析：（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根据M为PQ的中点，利用点差法求解；
（2）根据＝，得到APQ是以A为直角顶点的直角三角形，则AP⊥AQ，然后直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在时，将直线方程y＝kx＋m，与双曲线方程－＝1联立，由(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0结合韦达定理求解.
（1）
解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
因为P、Q在双曲线上，
所以－＝1，－＝1，
两式作差得－＝0，
即＝，
即＝，
即k1·k2＝；
（2）
因为＝，
所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，
由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，
得t＝或a(舍)，
故直线l的方程为x＝；
②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入－＝1，
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－；
因为AP⊥AQ，
所以·＝0，
即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，
即＝0，
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，
所以k＝－或k＝－；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，此时经过A，舍去；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－ x＋m，
恒过定点(，0)，经检验满足题意；
综上①②，直线l过定点(，0)．
22．(1)
(2)①存在，；②证明见解析
分析：（1）根据当轴时，易得，求出，即可得出答案；
（2）①设直线l的方程为，联立直线与抛物线方程，消，设，，利用韦达定理求得，从而可求得线段AB的中点N的坐标连接QM，若四边形AQBM为平行四边形，则N是QM的中点，求得点的坐标，设直线PQ的方程为，代入抛物线C的方程，利用韦达定理可求的点的坐标，从而可求得点的坐标；
②利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，再利用弦长公式求得，从而可求的，同理可得，从而可得出结论.
（1）
解：当轴时，易得，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）
①解：易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
代入抛物线C的方程，并整理得，
设，，由根与系数的关系得，.
所以，所以线段AB的中点N的坐标为，连接QM，若四边形AQBM为平行四边形，则N是QM的中点，
易知，因此，
设直线PQ的方程为，代入抛物线C的方程，整理得，
所以，
故，因此，
故可得，，
故点M的坐标为，
因此存在定点，使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点到直线的距离，
由，，可得，
因此，
同理可得，
所以，为定值.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线中的存在性问题和定值问题，考查了学生的数据分析能力和计算能力，难度较大.