高考数学微专题集专题25圆锥曲线的光学性质及其应用微点2双曲线的光学性质及其应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题25圆锥曲线的光学性质及其应用微点2双曲线的光学性质及其应用(原卷版+解析)，共46页。
微点2 双曲线的光学性质及其应用
【微点综述】
近年来，高考、高校自主招生考试以及各类数学竞赛中都更加突出考察学生对于数学知识的综合应用，同时也加大了数学运算量，而往往也是这些综合性强、运算量大的数学试题成为拉开我们数学成绩的分水岭．在圆锥曲线中，经常遇到的题目有曲线方程、运动轨迹、切线相关问题等，如果运用一般的方法，不但计算复杂繁琐，而且非常容易出错，这时就需要借助巧妙方法，结合圆锥曲线的光学性质加以求解，不失为一种简便又精确的好方法，这不仅会给改卷老师以耳目一新的感觉，还有助于我们取得高分．本文研究和证明了双曲线的光学性质，并举例说明双曲线光学性质在求解双曲线问题中的巧妙应用．
一、双曲线光学性质及其证明
1．双曲线的光学性质：
【定理】从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．
双曲线这种反向虚聚焦性质在天文望远镜设计等方面有实际应用．
二、双曲线光学性质及其证明
1．几个引理
双曲线光学性质的证明，可以分几何证法和代数证法．几何证明需要用到以下几个引理：
【引理1】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．
证明：在直线上任取一个不同于点的点，则，根据三角形两边之和大于第三边，有，即，得证．
【引理2】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．
证明：在直线上任取一个不同于点的点，则，根据三角形两边之差小于第三边，有，即，得证．
【引理3】设双曲线方程为，分别是其左、右焦点，若点在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则．
证明：连接交双曲线于点，当时，根据三角形两边之和大于第三边，有
；当时，同理可证．
在这里我们把双曲线的光学性质定理1转化成数学命题例1，并给出几何证法和代数证法．
2．双曲线光学性质的几何证明
例1
1．已知，如图，双曲线，分别其左、右焦点，是过双曲线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），连接并延长，在延长线上取点．求证：．（人射角等于反射角）
3．双曲线光学性质的代数证明
同椭圆类似，同理可给出双曲线光学性质的代数证法，过程略．
三、双曲线光学（声学）性质的应用
上面我们用几何法和代数法怎么了圆锥曲线的光学性质，实际上，如果把光源改为声源，上述结论仍成立，即圆锥曲线也具有跟光学性质相似的声学性质．
1．解决入射与反射问题
例2
2．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
例3(2023·湖南衡阳·二模）
3．圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．点到轴的距离为
D．的角平分线所在直线的倾斜角为
2．双曲线的光学性质在实际生活中的应用
双曲线的光学（声学）性质在实际生活中有着广泛的应用，下面各举一些例子进行说明．
从双曲线的一个焦点发出的光源（或声源），经过双曲线反射后，反射光线（声音）是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样（见下图）．如果有一道双曲线形（一支）的围墙，一个人站在其中一个焦点处朝着墙壁说话，声音由墙壁反射到你的耳朵里，你会产生一种错觉，觉得声音不是从墙这边的这个人发出的，而是从墙外较远的一个地方（双曲线的另一个焦点）发出的．
我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”，就是利用双曲线的光学性质．原来使用的新闻灯个头比较大，外号叫“大头灯”，这种灯要在很近的距离才能照清楚，而且灯光很刺眼．而我国研制的“双曲线电瓶新闻灯”个头小，却可以照得很远，光线又柔和．1972年美国总统访问我国时，我国记者首次使用了这种灯，效果很好．
例4(2023贵州师大附中高二月考）
4．根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
例5(2023湖南·永州市第一中学高二月考）
5．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互和垂直时(其中为入射点)，的大小为（ ）
A．B．C．D．
例6
6．从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中，分别为该双曲线的左、右焦点，从发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点和点，且经过点的光线反射后经过点，，若点在以点为圆心、为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______．
例7
7．郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.
（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点.试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.
例8
8．阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．
(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；
(Ⅱ)如图（2），从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．
【强化训练】
一、单选题
9．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互和垂直时(其中为入射点)，的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为
A． B．C．D．
11．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
12．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆与双曲线有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为
A．B．C．D．
(2023·四川省泸县第四中学模拟预测）
13．根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
(2023湖南·高二期中）
14．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过下焦点．某双曲线方程为，为其下、上焦点，若从下焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（点、、三点共线），满足，则该双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
(2023·河北·高三月考）
15．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023·广东茂名·模拟预测）
17．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
(2023·广东湛江·高二期末）
18．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左､右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（，在同一直线上），满足，则（ ）
A．
B．
C．该双曲线的离心率的平方为
D．该双曲线的离心率的平方为
三、填空题
(2023·安徽·中国科技大学附属中学三模）
19．圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为____________.
(2023·福建省福州第一中学高二期末）
20．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

(2023湖北·大冶市第一中学高二月考）
21．圆锥曲线的光学性质（如图①所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有广泛的应用，如图②，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过与C的反射，又回到点F1，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点F1发出，经过C两次反射后又回到点F1历时n秒，若C与的离心率之比为，则=__________
(2023江苏南通·高二月考）
22．抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图中心截面示意图所示反射镜中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜中心截面是抛物线，当来自天体平行对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F为焦点的凸双面镜中心截面是双曲线D的一支的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点处以的中点为原点，为x轴，建立平面直角坐标系若单位：米，则抛物线C的方程为___________凹抛物面镜的口径MN为，凸双面镜的口径ST为，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D的离心率为___________.
四、解答题
23．阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．
(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；
(Ⅱ)如图（2），从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．
24．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．
专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点2 双曲线的光学性质及其应用
专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用
微点2 双曲线的光学性质及其应用
【微点综述】
近年来，高考、高校自主招生考试以及各类数学竞赛中都更加突出考察学生对于数学知识的综合应用，同时也加大了数学运算量，而往往也是这些综合性强、运算量大的数学试题成为拉开我们数学成绩的分水岭．在圆锥曲线中，经常遇到的题目有曲线方程、运动轨迹、切线相关问题等，如果运用一般的方法，不但计算复杂繁琐，而且非常容易出错，这时就需要借助巧妙方法，结合圆锥曲线的光学性质加以求解，不失为一种简便又精确的好方法，这不仅会给改卷老师以耳目一新的感觉，还有助于我们取得高分．本文研究和证明了双曲线的光学性质，并举例说明双曲线光学性质在求解双曲线问题中的巧妙应用．
一、双曲线光学性质及其证明
1．双曲线的光学性质：
【定理】从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．
双曲线这种反向虚聚焦性质在天文望远镜设计等方面有实际应用．
二、双曲线光学性质及其证明
1．几个引理
双曲线光学性质的证明，可以分几何证法和代数证法．几何证明需要用到以下几个引理：
【引理1】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．
证明：在直线上任取一个不同于点的点，则，根据三角形两边之和大于第三边，有，即，得证．
【引理2】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．
证明：在直线上任取一个不同于点的点，则，根据三角形两边之差小于第三边，有，即，得证．
【引理3】设双曲线方程为，分别是其左、右焦点，若点在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则．
证明：连接交双曲线于点，当时，根据三角形两边之和大于第三边，有
；当时，同理可证．
在这里我们把双曲线的光学性质定理1转化成数学命题例1，并给出几何证法和代数证法．
2．双曲线光学性质的几何证明
例1
1．已知，如图，双曲线，分别其左、右焦点，是过双曲线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），连接并延长，在延长线上取点．求证：．（人射角等于反射角）
3．双曲线光学性质的代数证明
同椭圆类似，同理可给出双曲线光学性质的代数证法，过程略．
三、双曲线光学（声学）性质的应用
上面我们用几何法和代数法怎么了圆锥曲线的光学性质，实际上，如果把光源改为声源，上述结论仍成立，即圆锥曲线也具有跟光学性质相似的声学性质．
1．解决入射与反射问题
例2
2．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
例3(2023·湖南衡阳·二模）
3．圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．点到轴的距离为
D．的角平分线所在直线的倾斜角为
2．双曲线的光学性质在实际生活中的应用
双曲线的光学（声学）性质在实际生活中有着广泛的应用，下面各举一些例子进行说明．
从双曲线的一个焦点发出的光源（或声源），经过双曲线反射后，反射光线（声音）是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样（见下图）．如果有一道双曲线形（一支）的围墙，一个人站在其中一个焦点处朝着墙壁说话，声音由墙壁反射到你的耳朵里，你会产生一种错觉，觉得声音不是从墙这边的这个人发出的，而是从墙外较远的一个地方（双曲线的另一个焦点）发出的．
我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”，就是利用双曲线的光学性质．原来使用的新闻灯个头比较大，外号叫“大头灯”，这种灯要在很近的距离才能照清楚，而且灯光很刺眼．而我国研制的“双曲线电瓶新闻灯”个头小，却可以照得很远，光线又柔和．1972年美国总统访问我国时，我国记者首次使用了这种灯，效果很好．
例4(2023贵州师大附中高二月考）
4．根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
例5(2023湖南·永州市第一中学高二月考）
5．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互和垂直时(其中为入射点)，的大小为（ ）
A．B．C．D．
例6
6．从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中，分别为该双曲线的左、右焦点，从发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点和点，且经过点的光线反射后经过点，，若点在以点为圆心、为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______．
例7
7．郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.
（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点.试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.
例8
8．阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．
(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；
(Ⅱ)如图（2），从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．
【强化训练】
一、单选题
9．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互和垂直时(其中为入射点)，的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为
A． B．C．D．
11．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
12．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆与双曲线有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为
A．B．C．D．
(2023·四川省泸县第四中学模拟预测）
13．根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
(2023湖南·高二期中）
14．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过下焦点．某双曲线方程为，为其下、上焦点，若从下焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（点、、三点共线），满足，则该双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
(2023·河北·高三月考）
15．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023·广东茂名·模拟预测）
17．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
(2023·广东湛江·高二期末）
18．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左､右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（，在同一直线上），满足，则（ ）
A．
B．
C．该双曲线的离心率的平方为
D．该双曲线的离心率的平方为
三、填空题
(2023·安徽·中国科技大学附属中学三模）
19．圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为____________.
(2023·福建省福州第一中学高二期末）
20．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

(2023湖北·大冶市第一中学高二月考）
21．圆锥曲线的光学性质（如图①所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有广泛的应用，如图②，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过与C的反射，又回到点F1，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点F1发出，经过C两次反射后又回到点F1历时n秒，若C与的离心率之比为，则=__________
(2023江苏南通·高二月考）
22．抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图中心截面示意图所示反射镜中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜中心截面是抛物线，当来自天体平行对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F为焦点的凸双面镜中心截面是双曲线D的一支的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点处以的中点为原点，为x轴，建立平面直角坐标系若单位：米，则抛物线C的方程为___________凹抛物面镜的口径MN为，凸双面镜的口径ST为，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D的离心率为___________.
四、解答题
23．阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．
(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；
(Ⅱ)如图（2），从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．
24．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．
参考答案：
1．证明见解析.
分析：作关于切线的对称点，连接交于点，利用同一法可得与点重合，进而即得.
【详解】作关于切线的对称点，连接交于点，则，
则要证，只需证明点和点重合，
由引理2知点是直线上使得值最大的唯一点（显然点和点到直线的距离不相等）；
并且由引理3知点也是直线上使得值最大的唯一点，
与点重合，
所以．
2．C
分析：求出点，进而求出，利用余弦定理即可得出结果.
【详解】设在第一象限，，
，，
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.
3．AD
分析：证明出双曲线在其上一点的切线的方程为，将点的坐标代入切线方程，求出点的坐标，可判断ABC选项的正误；计算出的斜率，可计算出的角平分线所在直线的斜率，可判断D选项的正误.
【详解】先证明结论双曲线在其上一点的切线的方程为，
由已知，联立可得，即，解得，
所以，双曲线在其上一点的切线的方程为.
本题中，设点，则直线的方程为，
将点代入切线方程可得，所以，即点到轴的距离为，C错；
在双曲线中，，，则，则、，
所以，，，所以，，A对；
，，所以，，
则，B错；
因为的角平分线交轴于点，则，
所以，，，则，
故的角平分线所在直线的倾斜角为，D对.
故选：AD.
4．D
分析：显然在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解．
【详解】解：由已知可得在第一象限，
将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，
又由双曲线的方程可得，，所以，则，
所以，且点，都在直线上，又，
设过点与双曲线相切的直线方程为，代入
所以，
设的角平分线为，则，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
因为，解得
所以直线的斜率为
故选：D．
5．D
【解析】先利用双曲线的离心率为，得到，不妨设双曲线的标准方程为，设，利用双曲线的定义得到的长，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出结果.
【详解】因为，
所以，，
不妨设双曲线的标准方程为，
设，
则.
所以，
解得(已舍去).
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用双曲线的相关知识解决实际问题.属于较易题.
6．
分析：连接，，由题易知，，三点共线，设，，则，．再由余弦定理得到，即可求出双曲线的离心率；
【详解】解：如图，连接，，由题易知，，三点共线，则由可知．设，，则，．由已知得，即，所以，所以，．在中，由余弦定理可得，得，故．
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、几何性质，余弦定理的应用，考查数形结合思想，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的学科素养是理性思维、数学探索、数学应用．
7．（1）当的位置使得为的平分线时，取最大值；（2）证明见解析.
分析：（1）作点A关于直线l对称点，直线与x轴的交点即为取最大值时的点P，由三角形两边之差小于第三边可证；
（2）设入射光线从出射，入射点，则点在（曲线在入射点处的）切线上，先证明是切线上唯一使得取最大值的点，再由结论（1）可得切线即的角平分线，即反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.
【详解】（1）不妨设点到直线的距离比点到直线的距离大，作点关于直线的对称点.
当，，三点共线，即为的平分线时，
有，
当，，三点不共线，即不是的平分线时，取这样的点，则，，能构成一个三角形，
故(两边之差小于第三边)，
因此，当且仅当的位置使得为的平分线时，取最大值.
（2）不妨设双曲线的焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为b，左右焦点分别为，，入射光线从出射，入射点，反射光线，双曲线在点处的切线，在点处的垂线，
由光的反射定律，，关于对称，故，关于对称，
要证：反射光线过点，
只要证：是的角平分线，
定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，
由双曲线的定义，，双曲线上任意一点满足方程为，
若，满足不等式，即与焦点同在双曲线内部；
若，满足不等式，即在双曲线外部.
故：对于双曲线内部的任意一点，有，
对于双曲线外部的任意一点，有，
又是双曲线在点处的切线，故在上有且仅有一点使得，
上其他点均有，
故是上唯一使得取最大值的点，
又，到直线距离不相等，根据(1)中结论，可知是的角平分线，
故反射光线过点，命题得证.

【点睛】设双曲线左右焦点分别为，，则有：
若为双曲线上任意一点，则，且；
若为双曲线内部任意一点，则，且；
若为双曲线外部任意一点，则，且.
8．(Ⅰ)，焦点坐标为，；(Ⅱ).
分析：(Ⅰ)由题意联立直线方程与双曲线方程确定a,b,c的值即可确定焦点坐标和离心率；
(Ⅱ)由题意首先确定直线与反比例函数的交点坐标，然后结合点的坐标求解直线方程即可.
【详解】(Ⅰ)联立直线方程与反比例函数可得双曲线的顶点坐标为，，
结合题意可得：，，则离心率，
且，设焦点坐标为，则，则
故焦点坐标为，.
(Ⅱ)设入射光线与反比例函数的交点坐标为，由可得：
，整理可得：，
则，很明显，故，
则，原问题等价于求解直线PF的方程，

所以直线PF的方程为，即
9．D
【解析】先利用双曲线的离心率为，得到，不妨设双曲线的标准方程为，设，利用双曲线的定义得到的长，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出结果.
【详解】因为，
所以，，
不妨设双曲线的标准方程为，
设，
则.
所以，
解得(已舍去).
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用双曲线的相关知识解决实际问题.属于较易题.
10．B
【解析】根据椭圆和双曲线的定义,分别列出关系式再做差,得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程;然后计算单椭圆光学装置中光线路程,两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系,即可得两离心率的关系,即可求得答案.
【详解】如图,由双曲线定义得:①,
由椭圆定义得: ②,
②①得:;
椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为:
对于单椭圆光学装置,光线经过次反射后回到左焦点,
路程为;
由于两次光速相同,路程比等于时间比,
,
.
.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了圆锥曲线在实际中的应用,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和理解题意,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
11．C
分析：求出点，进而求出，利用余弦定理即可得出结果.
【详解】设在第一象限，，
，，
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.
12．D
分析：根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长．
【详解】
因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出
所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点
如图，，
所以光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为
故选：．
13．B
分析：显然，在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设出角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解．
【详解】解：由已知可得，在第一象限，
将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，
又由双曲线的方程可得，，所以，则，
所以，且点，都在直线上，又，
所以，所以，
设的角平分线为，则，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
故选：B．
14．D
分析：根据已知条件建立的关系式，再利用求解即可
【详解】设，由
知，即
在中，可得
由双曲线的定义知
又，得
在中，
则，即，可得，
故选：D
15．B
分析：结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理即可得到，从而可求出结果.
【详解】由题意知延长则必过点,如图：
由双曲线的定义知，
又因为，，所以，设，则，因此，从而，所以，又因为，所以，即，即，
故选：B.
16．D
分析：设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，设，
则.因为，所以，
则，则，
又因为，所以，则,
在中，，即，
所以.
故选：D
17．CD
分析：对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.
故B错误；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正确
故选：CD
18．BD
分析：设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，设，
则.因为，所以，
则，则，
又因为，所以，
则.
在中，，即，
所以.
故选：BD
19．2
分析：根据直角三角形的性质，可知，根据对称轴与双曲线的交点可得实半轴的长a，利用等轴双曲线可求出c，即可得解.
【详解】是双曲线的焦点，，分别为入射光线、反射光线，且，如图，
由解得，故，又双曲线为等轴双曲线，
所以，所以，即,
所以,
故答案为：2
20．
分析：结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆；双曲线，
双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有，
所以①，②，
根据椭圆的定义由，
所以路程
.
故答案为：
21．
分析：由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，
由，
依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，
两式相减得，
将装置中的去掉，则有，
所以
故答案为：．
22．
分析：根据抛物线C的焦点坐标为，求得其方程；根据，求得M的坐标，由ST=，求得S的纵坐标，再根据，求得其横坐标，再根据双曲线的焦点为F，设双曲线方程为，将S的坐标代入求解.
【详解】因为曲线C的焦点坐标为，
所以，
则抛物线C的方程为，
因为，
所以 ，则，
设，因为ST=，则，
易知，
则，解得，
又双曲线的焦点为F，则，
所以双曲线方程为，
将，代入上式，
解得或，
又，则，
所以，
故答案为：，
23．(Ⅰ)，焦点坐标为，；(Ⅱ).
分析：(Ⅰ)由题意联立直线方程与双曲线方程确定a,b,c的值即可确定焦点坐标和离心率；
(Ⅱ)由题意首先确定直线与反比例函数的交点坐标，然后结合点的坐标求解直线方程即可.
【详解】(Ⅰ)联立直线方程与反比例函数可得双曲线的顶点坐标为，，
结合题意可得：，，则离心率，
且，设焦点坐标为，则，则
故焦点坐标为，.
(Ⅱ)设入射光线与反比例函数的交点坐标为，由可得：
，整理可得：，
则，很明显，故，
则，原问题等价于求解直线PF的方程，

所以直线PF的方程为，即
24．双曲线方程为，抛物线方程为
分析：根据题意，对于双曲线，有，求出，，可得双曲线的方程；求出抛物线的顶点的横坐标，可得抛物线的方程．
【详解】解：对于双曲线，有，，，
，
双曲线的方程为；
抛物线的顶点的横坐标是，
抛物线的方程为．