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高考数学微专题集专题27圆锥曲线与四心问题微点1圆锥曲线与重心问题(原卷版+解析)
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这是一份高考数学微专题集专题27圆锥曲线与四心问题微点1圆锥曲线与重心问题(原卷版+解析)，共38页。
微点1 圆锥曲线与重心问题
【微点综述】
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．
一、三角形重心的定义
三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．
二、三角形重心常见结论
（1）是△的重心；重心坐标：；
（2）为△的重心，P为平面上任意点，则；
（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；
（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．
（5）焦点三角形重心轨迹方程：
①设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图1，设，则有 （否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为，△由重心为，由三角形重心坐标公式，有，即，代入椭圆方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原椭圆的长轴长的为长轴，以原椭圆的短轴长的为短轴的椭圆（顶点除外）．
②设点为双曲线的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图2，设，则有 （否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标为△由重心为，由重心坐标公式，有，即，代入双曲线方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原双曲线的实轴长的为实轴，以原双曲线的虚轴长的为虚轴的双曲线（顶点除外）．
三、典型例题精析
1．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．与大小不确定
3．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.
6．已知直线交椭圆 于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是__________．
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．3
8．在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
9．已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．
10．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
11．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．B．C．D．
12．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
【强化训练】
13．设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则
A．9B．6C．3D．2
14．已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有
A．0个B．1个C．3个D．无数个
15．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是___________．
16．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
17．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为
A．B．C．D．
18．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________．
19．设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.
20．已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．与的取值有关
21．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．
22．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为______________；
23．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
24．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
25．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为
A．B．C．D．
26．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
27．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
28．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为
A．B．2C．D．3
30．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
31．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线C的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为G，满足平行于轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
32．已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
34．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为________________．
35．已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（ ）
A．B．C．D．
36．已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（ ）
A．2B．C．D．
37．已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点1 圆锥曲线与重心问题
专题27 圆锥曲线与四心问题
微点1 圆锥曲线与重心问题
【微点综述】
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．
一、三角形重心的定义
三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．
二、三角形重心常见结论
（1）是△的重心；重心坐标：；
（2）为△的重心，P为平面上任意点，则；
（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；
（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．
（5）焦点三角形重心轨迹方程：
①设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图1，设，则有 （否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为，△由重心为，由三角形重心坐标公式，有，即，代入椭圆方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原椭圆的长轴长的为长轴，以原椭圆的短轴长的为短轴的椭圆（顶点除外）．
②设点为双曲线的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图2，设，则有 （否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标为△由重心为，由重心坐标公式，有，即，代入双曲线方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原双曲线的实轴长的为实轴，以原双曲线的虚轴长的为虚轴的双曲线（顶点除外）．
三、典型例题精析
1．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．与大小不确定
3．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.
6．已知直线交椭圆 于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是__________．
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．3
8．在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
9．已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．
10．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
11．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．B．C．D．
12．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
【强化训练】
13．设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则
A．9B．6C．3D．2
14．已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有
A．0个B．1个C．3个D．无数个
15．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是___________．
16．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
17．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为
A．B．C．D．
18．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________．
19．设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.
20．已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．与的取值有关
21．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．
22．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为______________；
23．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
24．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
25．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为
A．B．C．D．
26．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
27．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
28．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为
A．B．2C．D．3
30．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
31．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线C的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为G，满足平行于轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
32．已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
34．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为________________．
35．已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（ ）
A．B．C．D．
36．已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（ ）
A．2B．C．D．
37．已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
参考答案：
1．A
【解析】根据重心坐标公式求出的横坐标为，纵坐标为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用、求出表示出的坐标，结合抛物线的方程，求出的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．
【详解】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，
由重心的坐标公式得，，，
设直线的方程为，由，消去得，
，
由韦达定理得，，
所以，，
故，，
将点的坐标代入抛物线的方程得，得，
则，得，
则.
不在直线上，则，此时，，则.
因此，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．
2．B
分析：作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.
【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：
因为是的内心，设内切圆的半径为，
所以，所以，所以，
又因为是的重心，所以，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.
3．B
分析：根据的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点P为上顶点，再根据为为重心，由求解.
【详解】因为的椭圆上一点，且恒成立，
不妨设点P为上顶点，如图所示：
因为为为重心，
所以，
而，
即，
所以，
所以，
所以，
即，
解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
4．B
【解析】由双曲线的性质可得点，，设点，则，再由基本不等式可得，进而可得点，即可求得重心坐标.
【详解】由题意点，，
设点，
则，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，解得，所以点，
则重心坐标为即．
故选：B.
【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.
5．
分析：空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a， c，再根据椭圆中a，b，c之间的关系求出m的值，最后求出上顶点B的坐标；
空2：设出直线MN的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.
【详解】空1：因为右焦点为，所以有且，
而，所以，因此椭圆上顶点的坐标为：；
空2：设直线MN的方程为：，由（1）可知：椭圆的标准方程为：
，直线方程与椭圆方程联立：，化简得：
，设，线段的中点为，于是有：，，
所以点坐标为：，
因为的重心恰为点，所以有，
即，
因此有：，
得：，所以直线斜率为.
故答案为：；
【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.
6．
分析：结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程
【详解】由题可知，，，设，
由重心坐标得，
所以弦的中点坐标为，即，
又在椭圆上，故，
作差得
将中点坐标代入得，所以直线的方程为：，
即
故答案为：
【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题
7．C
分析：由已知可得直线的斜率，利用抛物线定义将用表示，再由，得出关系，再由为的重心，求出，即可求解.
【详解】由题意知，
带入得，
即．由为的重心，
则有，
即，即，所以，
因此有．故所在直线的斜率.
故选：C．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形重心公式，抛物线定义的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.
8．C
【详解】如图，由平行于轴得则所以的面积
又
由焦半径公式，因此代入椭圆方程得
故选C．
9．
分析：不妨设点在第一象限，，根据已知求出，再化简即得解.
【详解】解：不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点．
由切线长定理以及双曲线的定义，得
，
∴，∴．
设，由为的重心知，，
则．
∴，
∴．
设内切圆的半径为，
则．
又，
∴，∴．
故答案为：
10．
【解析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：.
【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，
内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，
由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，
设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：
设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，
连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，
则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，
可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|，
由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，
所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2
=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，
而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，
由角平分线的性质可得，所以可得OM，
所以可得MN=ON﹣OM，
所以ME=OE﹣OM=x0，
所以，即INPEy0，
（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），
所以整理为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于，， 的齐次式，化简可得.本题属于难题.
11．A
分析：设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】设为的重心，点坐标为，
∵，∴IG∥x轴 ∴I的纵坐标为，
在中，，
，
又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即为内切圆半径，
内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，
，
即，，
∴椭圆C的离心率.
故选：A
12．或
分析：设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.
【详解】∵过点且斜率不为0，
∴可设的方程为，设，，
由得
∴，，
∴，
又∵，∴，即，
∴，
令，解得
∴直线的方程为或．
故答案为：或．
13．C
【详解】本题考查抛物线标准方程和几何性质，平面几何知识.
抛物线的焦点设则
又的重心是所以；根据三角形面积公式得，即则.故选C
14．D
分析：当时，为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，利用“点差法”可证明总存在以为中点的弦，从而可得结果.
【详解】抛物线方程为为曲线上三点，
当时，为的重心，
用如下办法构造，
连接并延长至，使，
当在抛物线内部时，
设，若存在以为中点的弦，
设，
则
则，两式相减化为，
，
所以总存在以为中点的弦，
所以这样的三角形有无数个，故选D.
【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
15．
【详解】将代入椭圆方程，得，即．由，得，即．设点，，则，从而．因为的重心在轴右侧，点，则，所以，即．
故答案为：．
考点：直线与椭圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数得到，降低计算量，再由
．再由韦达定理得．又由的重心在轴右侧的取值范围是．
16．C
【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解
【详解】
由于点P为椭圆上一点，
又
故为等腰三角形，以为底的高为：
故
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
17．B
分析：设出点A、B、C三点坐标,根据F为△ABC的重心,可得三点横坐标的关系,求出的表达式，最后根据每点的横坐标、纵坐标关系即可求出答案.
【详解】设,所以有抛物线的焦点坐标为,△ABC的重心坐标为,由题意可知：,即.
,
所以.
故选B
【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.
18．8
分析：设，由题可得，，则得，又为的重心，故即可求解.
【详解】由椭圆方程得，，
设，则有，所以，
又，则得，所以得，
又为的重心，故.
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，有关焦点三角形的面积计算，考查了学生的运算求解能力.
19．
分析：结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解
【详解】如图：
由题可知，，，则，即，
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题
20．B
【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，所以，故选B．
考点：1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．
21．
分析：设出A,B,F点的坐标，由重心坐标公式得到，，利用抛物线的定义得到，再利用弦长公式得到|AB|,进行整理即可得答案.
【详解】设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,
由重心坐标公式可得,，即， ，
由抛物线的定义可得,
由点在抛物线上可得，作差，
化简得，
代入弦长公式得|AB|=，
则，
故答案为
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的定义和弦长公式以及三角形重心坐标公式的应用，属于中档题.
22．9
分析：由题意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因为△ABC的重心在原点O，所以，代入即可得出答案.
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
对于椭圆，，
则，因为A（x1，y1）在椭圆上，
所以，
所以，
，
则|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），
∵△ABC的重心在原点O，∴，又a=3，∴|AF|+|BF|+|CF|=9．
故答案为：.
23．或
分析：设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.
【详解】∵过点且斜率不为0，
∴可设的方程为，设，，
由得
∴，，
∴，
又∵，∴，即，
∴，
令，解得
∴直线的方程为或．
故答案为：或．
24．A
分析：设点P（m，n ），则 设△PF1F2的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，解出m、n的解析式代入①化简可得所求．
【详解】由双曲线的方程可得 a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）．
设点P（m，n ），则 ①．设△PF1F2的重心G（x，y）（y≠0），则由三角形的重心坐标公式可得
x=，y=，即 m=3x，n=3y，代入①化简可得
，故△PF1F2的重心G的轨迹方程是，
故选A．
【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n ）与重心G（x，y） 的坐标间的关系是解题的关键．
25．C
分析：设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.
【详解】设则，得，
同理，，三式相加得，
故与前三式联立，得，，，
则.故所求重心的坐标为，故选C.
【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
26．A
分析：根据内心及重心的性质，可知点距轴的距离为，再利用等面积法建立关于与的等式，再利用点在椭圆C上可求解.
【详解】设点距轴的距离为，因为，则点距轴的距离为，连接，则，
，
所以，所以，
所以椭圆方程为．
故选：A
27．C
【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解
【详解】
由于点P为椭圆上一点，
又
故为等腰三角形，以为底的高为：
故
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
28．D
【解析】设，由，可得．结合的重心坐标，即可求得．
【详解】设，∵，
则．
∵的重心为，∴，
∴，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线定义的应用及三角形的重心坐标公式，属于基础题.
29．B
【详解】为抛物线的焦点，所以. 设
由抛物线定义知：，解得.
重心的横坐标.
故选B.
30．C
【解析】如图所示，过点作，垂足为点，计算，，得到，的方程为，联立方程得到，，根据重心公式计算得到答案.
【详解】如图所示，过点作，垂足为点，
因为，反射光线的倾斜角为，所以，，
可得，，即点，.
将点代入（）中，得，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为，直线的方程为.
设点，，联立消去得，
显然，故.
又因为，所以.
设的重心坐标为，
所以，，
所以的重心坐标为，
故选：C.
【点睛】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系、三角形的重心坐标公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.
31．C
分析：根据，得到，进而结合双曲线的定义得到，从而求得，然后将点的坐标带入方程即可得到关于的齐次式方程，从而可求出结果.
【详解】
设分别为圆在上的三个切点，
所以,
由双曲线的定义可知，即，因此
又因为，故，故为双曲线的右顶点，
从而，又因为内切圆的半径为，所以，
而，因此，又因为是的重心，所以,故，
∴
，
由 ，
因此 ，
故选：C．
32．D
分析：由A，B的中点到抛物线准线的距离为5可得，由的重心为可得，即可解出.
【详解】A，B的中点到抛物线准线的距离为5，，即，
，的重心为F ，，即，
，.
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线性质的应用，属于基础题.
33．A
分析：求出a，b，c得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可．
【详解】实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），可得a＝，c＝2，则b＝，不妨B（0，），则△BF1F2的重心G，双曲线的渐近线方程为：y＝x的距离为：d＝．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
34．
分析：根据抛物线的定义和性质, 由，解得，利用重心坐标公式可得结果.
【详解】根据题意，拋物线的焦点为，
设，
准线方程为，由抛物线的定义可得
，
，解得，
的重心纵坐标为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
35．D
分析：设,由和重心的纵坐标为利用直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式得到关于的方程,联立方程求出,利用抛物线方程和直线的斜率公式求出即可.
【详解】设，
则,同理,
由重心的纵坐标为得,
即，由可得,
,所以.
故选:D
【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.
36．A
分析：首先直线与双曲线方程联立，得到根与系数的关系，并利用重心坐标公式表示，由条件可知，最后代入根与系数的关系后可得的值.
【详解】设，，由，消去得，
，，由于，，可知，，
由题意可得，，，
，即，.
故选：A
【点睛】本题考查直线与双曲线位置关系的综合问题，涉及三角形重心坐标公式，直线与圆锥曲线联立，根与系数的关系，向量数量积的坐标表示解决几何问题，属于中档题型.
37．D
分析：由点在双曲线上可得，设、，的中点为，的方程为，结合题意可得的坐标，再由、在双曲线上，利用“点差法”求得直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.
【详解】∵点是右焦点为的双曲线上一点，
∴，得，
即双曲线方程为，右焦点，
设、，的中点为，的方程为，
而，又的重心恰好落在椭圆的右焦点上，
由重心坐标公式可得，，
故，，则的中点为，
又、在双曲线上，，
两式相减可得，
可得，
又由直线过点 ，
则直线的方程是，整理得：，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线与双曲线相交的位置关系、三角形的重心坐标公式，利用“点差法”求出直线的斜率是解题的关键，属于中档题.
微点1 圆锥曲线与重心问题
【微点综述】
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．
一、三角形重心的定义
三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．
二、三角形重心常见结论
（1）是△的重心；重心坐标：；
（2）为△的重心，P为平面上任意点，则；
（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；
（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．
（5）焦点三角形重心轨迹方程：
①设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图1，设，则有 （否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为，△由重心为，由三角形重心坐标公式，有，即，代入椭圆方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原椭圆的长轴长的为长轴，以原椭圆的短轴长的为短轴的椭圆（顶点除外）．
②设点为双曲线的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图2，设，则有 （否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标为△由重心为，由重心坐标公式，有，即，代入双曲线方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原双曲线的实轴长的为实轴，以原双曲线的虚轴长的为虚轴的双曲线（顶点除外）．
三、典型例题精析
1．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．与大小不确定
3．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.
6．已知直线交椭圆 于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是__________．
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．3
8．在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
9．已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．
10．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
11．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．B．C．D．
12．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
【强化训练】
13．设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则
A．9B．6C．3D．2
14．已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有
A．0个B．1个C．3个D．无数个
15．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是___________．
16．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
17．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为
A．B．C．D．
18．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________．
19．设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.
20．已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．与的取值有关
21．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．
22．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为______________；
23．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
24．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
25．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为
A．B．C．D．
26．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
27．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
28．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为
A．B．2C．D．3
30．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
31．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线C的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为G，满足平行于轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
32．已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
34．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为________________．
35．已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（ ）
A．B．C．D．
36．已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（ ）
A．2B．C．D．
37．已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点1 圆锥曲线与重心问题
专题27 圆锥曲线与四心问题
微点1 圆锥曲线与重心问题
【微点综述】
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．
一、三角形重心的定义
三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．
二、三角形重心常见结论
（1）是△的重心；重心坐标：；
（2）为△的重心，P为平面上任意点，则；
（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；
（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．
（5）焦点三角形重心轨迹方程：
①设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图1，设，则有 （否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为，△由重心为，由三角形重心坐标公式，有，即，代入椭圆方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原椭圆的长轴长的为长轴，以原椭圆的短轴长的为短轴的椭圆（顶点除外）．
②设点为双曲线的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．
证明：如图2，设，则有 （否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标为△由重心为，由重心坐标公式，有，即，代入双曲线方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原双曲线的实轴长的为实轴，以原双曲线的虚轴长的为虚轴的双曲线（顶点除外）．
三、典型例题精析
1．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．与大小不确定
3．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.
6．已知直线交椭圆 于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是__________．
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．3
8．在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
9．已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．
10．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
11．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．B．C．D．
12．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
【强化训练】
13．设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则
A．9B．6C．3D．2
14．已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有
A．0个B．1个C．3个D．无数个
15．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是___________．
16．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
17．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为
A．B．C．D．
18．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________．
19．设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.
20．已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．与的取值有关
21．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．
22．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为______________；
23．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为_________．
24．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
25．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为
A．B．C．D．
26．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
27．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
28．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为
A．B．2C．D．3
30．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
31．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线C的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为G，满足平行于轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
32．已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
34．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为________________．
35．已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（ ）
A．B．C．D．
36．已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（ ）
A．2B．C．D．
37．已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
参考答案：
1．A
【解析】根据重心坐标公式求出的横坐标为，纵坐标为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用、求出表示出的坐标，结合抛物线的方程，求出的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．
【详解】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，
由重心的坐标公式得，，，
设直线的方程为，由，消去得，
，
由韦达定理得，，
所以，，
故，，
将点的坐标代入抛物线的方程得，得，
则，得，
则.
不在直线上，则，此时，，则.
因此，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．
2．B
分析：作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.
【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：
因为是的内心，设内切圆的半径为，
所以，所以，所以，
又因为是的重心，所以，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.
3．B
分析：根据的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点P为上顶点，再根据为为重心，由求解.
【详解】因为的椭圆上一点，且恒成立，
不妨设点P为上顶点，如图所示：
因为为为重心，
所以，
而，
即，
所以，
所以，
所以，
即，
解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
4．B
【解析】由双曲线的性质可得点，，设点，则，再由基本不等式可得，进而可得点，即可求得重心坐标.
【详解】由题意点，，
设点，
则，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，解得，所以点，
则重心坐标为即．
故选：B.
【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.
5．
分析：空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a， c，再根据椭圆中a，b，c之间的关系求出m的值，最后求出上顶点B的坐标；
空2：设出直线MN的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.
【详解】空1：因为右焦点为，所以有且，
而，所以，因此椭圆上顶点的坐标为：；
空2：设直线MN的方程为：，由（1）可知：椭圆的标准方程为：
，直线方程与椭圆方程联立：，化简得：
，设，线段的中点为，于是有：，，
所以点坐标为：，
因为的重心恰为点，所以有，
即，
因此有：，
得：，所以直线斜率为.
故答案为：；
【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.
6．
分析：结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程
【详解】由题可知，，，设，
由重心坐标得，
所以弦的中点坐标为，即，
又在椭圆上，故，
作差得
将中点坐标代入得，所以直线的方程为：，
即
故答案为：
【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题
7．C
分析：由已知可得直线的斜率，利用抛物线定义将用表示，再由，得出关系，再由为的重心，求出，即可求解.
【详解】由题意知，
带入得，
即．由为的重心，
则有，
即，即，所以，
因此有．故所在直线的斜率.
故选：C．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形重心公式，抛物线定义的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.
8．C
【详解】如图，由平行于轴得则所以的面积
又
由焦半径公式，因此代入椭圆方程得
故选C．
9．
分析：不妨设点在第一象限，，根据已知求出，再化简即得解.
【详解】解：不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点．
由切线长定理以及双曲线的定义，得
，
∴，∴．
设，由为的重心知，，
则．
∴，
∴．
设内切圆的半径为，
则．
又，
∴，∴．
故答案为：
10．
【解析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：.
【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，
内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，
由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，
设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：
设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，
连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，
则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，
可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|，
由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，
所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2
=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，
而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，
由角平分线的性质可得，所以可得OM，
所以可得MN=ON﹣OM，
所以ME=OE﹣OM=x0，
所以，即INPEy0，
（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），
所以整理为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于，， 的齐次式，化简可得.本题属于难题.
11．A
分析：设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】设为的重心，点坐标为，
∵，∴IG∥x轴 ∴I的纵坐标为，
在中，，
，
又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即为内切圆半径，
内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，
，
即，，
∴椭圆C的离心率.
故选：A
12．或
分析：设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.
【详解】∵过点且斜率不为0，
∴可设的方程为，设，，
由得
∴，，
∴，
又∵，∴，即，
∴，
令，解得
∴直线的方程为或．
故答案为：或．
13．C
【详解】本题考查抛物线标准方程和几何性质，平面几何知识.
抛物线的焦点设则
又的重心是所以；根据三角形面积公式得，即则.故选C
14．D
分析：当时，为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，利用“点差法”可证明总存在以为中点的弦，从而可得结果.
【详解】抛物线方程为为曲线上三点，
当时，为的重心，
用如下办法构造，
连接并延长至，使，
当在抛物线内部时，
设，若存在以为中点的弦，
设，
则
则，两式相减化为，
，
所以总存在以为中点的弦，
所以这样的三角形有无数个，故选D.
【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
15．
【详解】将代入椭圆方程，得，即．由，得，即．设点，，则，从而．因为的重心在轴右侧，点，则，所以，即．
故答案为：．
考点：直线与椭圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数得到，降低计算量，再由
．再由韦达定理得．又由的重心在轴右侧的取值范围是．
16．C
【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解
【详解】
由于点P为椭圆上一点，
又
故为等腰三角形，以为底的高为：
故
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
17．B
分析：设出点A、B、C三点坐标,根据F为△ABC的重心,可得三点横坐标的关系,求出的表达式，最后根据每点的横坐标、纵坐标关系即可求出答案.
【详解】设,所以有抛物线的焦点坐标为,△ABC的重心坐标为,由题意可知：,即.
,
所以.
故选B
【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.
18．8
分析：设，由题可得，，则得，又为的重心，故即可求解.
【详解】由椭圆方程得，，
设，则有，所以，
又，则得，所以得，
又为的重心，故.
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，有关焦点三角形的面积计算，考查了学生的运算求解能力.
19．
分析：结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解
【详解】如图：
由题可知，，，则，即，
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题
20．B
【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，所以，故选B．
考点：1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．
21．
分析：设出A,B,F点的坐标，由重心坐标公式得到，，利用抛物线的定义得到，再利用弦长公式得到|AB|,进行整理即可得答案.
【详解】设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,
由重心坐标公式可得,，即， ，
由抛物线的定义可得,
由点在抛物线上可得，作差，
化简得，
代入弦长公式得|AB|=，
则，
故答案为
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的定义和弦长公式以及三角形重心坐标公式的应用，属于中档题.
22．9
分析：由题意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因为△ABC的重心在原点O，所以，代入即可得出答案.
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
对于椭圆，，
则，因为A（x1，y1）在椭圆上，
所以，
所以，
，
则|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），
∵△ABC的重心在原点O，∴，又a=3，∴|AF|+|BF|+|CF|=9．
故答案为：.
23．或
分析：设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.
【详解】∵过点且斜率不为0，
∴可设的方程为，设，，
由得
∴，，
∴，
又∵，∴，即，
∴，
令，解得
∴直线的方程为或．
故答案为：或．
24．A
分析：设点P（m，n ），则 设△PF1F2的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，解出m、n的解析式代入①化简可得所求．
【详解】由双曲线的方程可得 a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）．
设点P（m，n ），则 ①．设△PF1F2的重心G（x，y）（y≠0），则由三角形的重心坐标公式可得
x=，y=，即 m=3x，n=3y，代入①化简可得
，故△PF1F2的重心G的轨迹方程是，
故选A．
【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n ）与重心G（x，y） 的坐标间的关系是解题的关键．
25．C
分析：设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.
【详解】设则，得，
同理，，三式相加得，
故与前三式联立，得，，，
则.故所求重心的坐标为，故选C.
【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
26．A
分析：根据内心及重心的性质，可知点距轴的距离为，再利用等面积法建立关于与的等式，再利用点在椭圆C上可求解.
【详解】设点距轴的距离为，因为，则点距轴的距离为，连接，则，
，
所以，所以，
所以椭圆方程为．
故选：A
27．C
【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解
【详解】
由于点P为椭圆上一点，
又
故为等腰三角形，以为底的高为：
故
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
28．D
【解析】设，由，可得．结合的重心坐标，即可求得．
【详解】设，∵，
则．
∵的重心为，∴，
∴，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线定义的应用及三角形的重心坐标公式，属于基础题.
29．B
【详解】为抛物线的焦点，所以. 设
由抛物线定义知：，解得.
重心的横坐标.
故选B.
30．C
【解析】如图所示，过点作，垂足为点，计算，，得到，的方程为，联立方程得到，，根据重心公式计算得到答案.
【详解】如图所示，过点作，垂足为点，
因为，反射光线的倾斜角为，所以，，
可得，，即点，.
将点代入（）中，得，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为，直线的方程为.
设点，，联立消去得，
显然，故.
又因为，所以.
设的重心坐标为，
所以，，
所以的重心坐标为，
故选：C.
【点睛】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系、三角形的重心坐标公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.
31．C
分析：根据，得到，进而结合双曲线的定义得到，从而求得，然后将点的坐标带入方程即可得到关于的齐次式方程，从而可求出结果.
【详解】
设分别为圆在上的三个切点，
所以,
由双曲线的定义可知，即，因此
又因为，故，故为双曲线的右顶点，
从而，又因为内切圆的半径为，所以，
而，因此，又因为是的重心，所以,故，
∴
，
由 ，
因此 ，
故选：C．
32．D
分析：由A，B的中点到抛物线准线的距离为5可得，由的重心为可得，即可解出.
【详解】A，B的中点到抛物线准线的距离为5，，即，
，的重心为F ，，即，
，.
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线性质的应用，属于基础题.
33．A
分析：求出a，b，c得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可．
【详解】实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），可得a＝，c＝2，则b＝，不妨B（0，），则△BF1F2的重心G，双曲线的渐近线方程为：y＝x的距离为：d＝．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
34．
分析：根据抛物线的定义和性质, 由，解得，利用重心坐标公式可得结果.
【详解】根据题意，拋物线的焦点为，
设，
准线方程为，由抛物线的定义可得
，
，解得，
的重心纵坐标为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
35．D
分析：设,由和重心的纵坐标为利用直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式得到关于的方程,联立方程求出,利用抛物线方程和直线的斜率公式求出即可.
【详解】设，
则,同理,
由重心的纵坐标为得,
即，由可得,
,所以.
故选:D
【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线的斜率公式和三角形的重心坐标公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.
36．A
分析：首先直线与双曲线方程联立，得到根与系数的关系，并利用重心坐标公式表示，由条件可知，最后代入根与系数的关系后可得的值.
【详解】设，，由，消去得，
，，由于，，可知，，
由题意可得，，，
，即，.
故选：A
【点睛】本题考查直线与双曲线位置关系的综合问题，涉及三角形重心坐标公式，直线与圆锥曲线联立，根与系数的关系，向量数量积的坐标表示解决几何问题，属于中档题型.
37．D
分析：由点在双曲线上可得，设、，的中点为，的方程为，结合题意可得的坐标，再由、在双曲线上，利用“点差法”求得直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.
【详解】∵点是右焦点为的双曲线上一点，
∴，得，
即双曲线方程为，右焦点，
设、，的中点为，的方程为，
而，又的重心恰好落在椭圆的右焦点上，
由重心坐标公式可得，，
故，，则的中点为，
又、在双曲线上，，
两式相减可得，
可得，
又由直线过点 ，
则直线的方程是，整理得：，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线与双曲线相交的位置关系、三角形的重心坐标公式，利用“点差法”求出直线的斜率是解题的关键，属于中档题.
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