高考数学微专题集三角形中的最值问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集三角形中的最值问题(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了利用三角函数有界性求最值，利用均值不等式求最值，利用有限与无限思想求最值，利用解析法求最值，利用向量法求最值，与其它知识点交汇的最值问题等内容，欢迎下载使用。
一、利用三角函数有界性求最值
例1.
1．在△ABC中，(1)求B的大小；
(2)求cs A＋cs C的最大值．
二、利用均值不等式求最值
例2.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cs C的最小值．
例3.
3．已知中，，，则面积的最大值为__________．
三、利用有限与无限思想求最值
例4.
4．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．
例5.
5．已知中，，点P满足,则的最小值为_______．
例6.
6．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．
四、利用解析法求最值
例7.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边的中点，且，，则线段长的最小值为_______．
五、利用向量法求最值
例8.
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边的中点，且，，则线段长的最小值为_______．
通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果．
六、与其它知识点交汇的最值问题
研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理．
例9.
9．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量，分别满足：，且．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论．
同步练习
10．已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为__________．
12．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________.
13．在中，角所对的边分别为，若，，则的面积的最大值为________
14．已知A，B，C为的三个内角，若，且，求的最大值．
15．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
16．在，若，求面积的最大值．
17．已知中，，则面积的最大值为__________．
18．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为_____．
19．已知中，，，则面积的最大值是__________．
三角形中的最值问题
三角形中的最值问题
一、利用三角函数有界性求最值
例1.
1．在△ABC中，(1)求B的大小；
(2)求cs A＋cs C的最大值．
二、利用均值不等式求最值
例2.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cs C的最小值．
例3.
3．已知中，，，则面积的最大值为__________．
三、利用有限与无限思想求最值
例4.
4．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．
例5.
5．已知中，，点P满足,则的最小值为_______．
例6.
6．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．
四、利用解析法求最值
例7.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边的中点，且，，则线段长的最小值为_______．
五、利用向量法求最值
例8.
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边的中点，且，，则线段长的最小值为_______．
通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果．
六、与其它知识点交汇的最值问题
研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理．
例9.
9．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量，分别满足：，且．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论．
同步练习
10．已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为__________．
12．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________.
13．在中，角所对的边分别为，若，，则的面积的最大值为________
14．已知A，B，C为的三个内角，若，且，求的最大值．
15．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
16．在，若，求面积的最大值．
17．已知中，，则面积的最大值为__________．
18．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为_____．
19．已知中，，，则面积的最大值是__________．
参考答案：
1．（1）（2）1
【详解】试题分析：（1）由余弦定理及题设得；（2）由（1）知当时，取得最大值．
试题解析： （1）由余弦定理及题设得，
又∵，∴；（2）由（1）知，
，因为，所以当时，取得最大值．
考点：1、解三角形；2、函数的最值.
2．（1）见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.
试题解析：（1）由题意知，，
化简得：
即，因为，所以，
从而，由正弦定理得.
（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.
3．．
分析：利用余弦定理和基本不等式求出，利用面积公式即可求出面积的最大值.
【详解】设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理，得
．
所以，当且仅当时等号成立．
所以．
所以面积的最大值为．
故答案为：．
4．（，）
【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

考点：正余弦定理；数形结合思想
5．##
分析：以中点为原点，以所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可得．进而根据圆的几何性质即可求出结果.
【详解】以中点为原点，以所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．设，则，
由,得．
所以点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，．
由圆的几何性质可知，的最小值为．
故答案为：．
6．
【详解】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，
则，
则，
即，
解得，即，
即面积的最大值为.
7．．
分析：以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，求得，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解.
【详解】如图所示，
以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，
则点．
因为D为边的中点，
所以点，
所以，
，
，
．
当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为．
故答案为：
8．．
分析：以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，求得，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解.
【详解】如图所示，
以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，
则点．
因为D为边的中点，
所以点，
所以，
，
，
．
当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为．
故答案为：
9．（1）；（2）．
分析：（1）根据，利用数量积的坐标运算化简求解；
（2）根据余弦定理化简得到，再结合（1），利用两角和的正切公式结合基本不等式求解.
【详解】（1）因为，
由数量积的坐标运算可得：，
化简整理得：，
因为，
所以．
（2）由余弦定理得，
所以，
又因为（1）知，
所以A，B皆为锐角，即，，
所以，
所以，
即，
所以的最大值为．
10．B
【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，两式平方相加得，而，两式结合有，再用基本不等式求解.
【详解】因为a2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
当且仅当且即时，取等号.
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．3
分析：根据，利用正弦定理得，再利用两角和的正弦，有，再根据，表示：，，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.
【详解】由得，
所以，
由可得，
所以，，
所以
当时，面积取得最大值3.
【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．
分析：先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A的值，再利用边a的余弦定理和均值不等式求出bc的最大值后即可求解出面积的最大值.
【详解】因为，
所以根据正弦定理得:，
化简可得:，
即，(A为三角形内角)
解得:，
又，(b=c时等号成立)
故.
故答案为：
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.
13．
【解析】利用正弦定理得出的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解.
【详解】，，
由正弦定理可得：，
解得.
，
，可得（当且仅当时等号成立），
，
可得，
（当且仅当时等号成立）.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，是中档题.
14．．
分析：由结合二倍角余弦公式求得，进而得到角A，然后利用将，转化为关于角C的三角函数求解.
【详解】由得，即，
解得或（舍去），
又因为，
所以或，
由，则，
所以，
从而，
，
，
，
又因为，
所以，
从而．
故当时，原式取最大值为．
15．（1）；（2）.
分析：（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
16．．
分析：利用余弦定理结合基本不等式求解.
【详解】由余弦定理得：
∵，
∴
∴，当且仅当时等号成立
∴
所以的面积的最大值为．
17．3
分析：设，则，根据余弦定理及面积公式可得，再由二次函数的性质即可求得的最大值；或利用坐标法求出点C的轨迹方程，即求.
【详解】解法一：
设，由，得．
由余弦定理，得．
所以．
所以．
由得．
所以当时，面积的最大值为3．
解法二：以A为原点，以所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设．
由，得．
即．
所以点C的轨迹是圆心为，半径为2的圆（不含与共线的两点）．
所以．
即面积的最大值为3．
故答案为：3
18．6
【详解】设，由题设可得，则，故，即，则当时，，即，应填答案．
点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题．求解时，先运用余弦定理求得等腰三角形的顶角的余弦值，再运用三角函数中的平方关系求出其正弦值，然后依据三角形的面积公式，建立关于三角形的边长的函数关系，进而借助二次函数的图像和性质，分析探求出其最大值使得问题获解．
19．
【详解】依题意，设，则，又，
由余弦定理得：，
即，∴，
∴，∴，
∵，
∴，
当，即时，∴，∴，故答案为.
点睛：本题考查三角恒等式，余弦定理在解三角形中的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，也是难点，属于难题；设，则，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得，继而可求，从而可得面积的最大值.