高考数学微专题集不动点与蛛网图(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集不动点与蛛网图(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了相关的概念，进一步分析，不动点的分类等内容，欢迎下载使用。

第一讲 实数数列的“不动点”
一、相关的概念
1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.得到的函数如：，把当作y，把当做；
2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.
前一次计算时的y，
是后一次计算的x.
3、数列的不动点：满足的的数值.
例1.己知.若是常数数列，求的值.
解：∵，∴或，∴或1
（1）数列的“不动点”其实不是点，而是数值；
（2）若不动点，则数列是常数数列，不动点.
二、进一步分析：
满足，的的数值，叫数列的“不动点”；
任何实数数列都有不动点吗？无实数解
例2.已知数列满足.若数列有不动点，则实数b的取值范围是___________.
（1）数列角度
（2）函数角度：有解
（3）函数图象的角度：
①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；
②生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标=不动点.
例3、已知数列满足，则（ ）
A.当时，恒成立
B.当时，恒成立
C.当时，恒成立
D.当时，恒成立
解：（1）当时，数列有不动点，即有实数解；
（2）图象角度：当时，抛物线与直线有交点；
（3）不动点的数值：①B中，由得：
②C中，由得：或2
③D中，由得：
选项B中，取，则不成立；
C，D同理可排除.
实际不用算，看图判断出：不动点即可.
问题：当，即时，无论取何值，为什么恒成立？
1、观察抛物线和直线的位置关系：
（1）函数角度：恒成立；
（2）数列角度：恒成立；
严格单调递增
2、如何保证呢？
∵
∴
∴
∴
∴
∴，∴
∴
三、不动点的分类
例4.已知.讨论的单调性.
解：（1）当时，为常数数列；
（2）当时，用归纳法或同号法，可证明：
∴
∴递增
如时，…
与不动点的差，随n增大而增大.
（3）当时，同理可证，且递减
如时，与不动点的差，也随n增大而增大.
总之，当时，随着n增大，逐渐“远离”不动点.
这种不动点，叫“排斥不动点
例5.己知.讨论的单调性.
解：（1）当时，为常数数列；
（2）当时，如时，
数列递减，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；
（3）当时，如时，
数列递增，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；
这种不动点，叫“吸引不动点”，
总之，不动点可分为“排斥不动点”、“吸引不动点”等，具体的判定方法和应用，我们下节课会结合“蛛网图”讨论.
本讲小结
1、数列的迭代运算：逐个代入，计算各项的过程.如：
前一次计算时的y，是后一次计算的x.蛛网图的原理！
2、数列的“生成函数”：得到的函数的生成函数是：
3、数列的不动点：满足的的数值，叫数列的“不动点”；
（1）数列本身的角度：
①当不动点时，为常数数列.
②不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.
（2）生成函数图象的角度：
①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；
②不动点=生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标.
第二讲 “蛛网图”的来历和本质
一、“蛛网图”的来历和本质
上节课例4.已知.讨论的单调性.
当时，
前一步的y，是后一步的x
迭代计算是一个代数运算的过程；
“蛛网图”是把迭代过程→几何（图象）化处理.
已知.讨论的单调性.
时，…
时，，…
刚才是在x轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线进行转换.
蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线
，对迭代过程进行图象化处理.
（1）画出生成函数图象和直线；
（2）当x，当y，在生成函数图象上画出点；
（3）向直线作水平线，得交点；
（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点，…
二、不动点的类型和性质
上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：
对于型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为，
（1）若，则该不动点为“吸引不动点”；（其中不恒等于0）
（2）若，则该不动点为“排斥不动点”；
（3）若，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.
1、，吸引不动点
定理：当时，
若，则数列递增；
若，则数列递减.
定理：当时，
与单调性相反.
每次都“吸引过头”.
2、，排斥不动点
定理：当时，
若，则数列递增；
若，则数列递减.
3、时
数列单调递增：；数列严格单调递增：.
数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关！
本讲小结
1.不动点的分类
相交型不动点：
2.蛛网图的原理
借助于直线，把递推数列的迭代过程，用图象表示出来.
优点：代数问题几何化，形象、直观；
缺点：不能替代大题目的代数证明.
第三讲 “不动点”和“蛛网图”的应用（一）
应用1、判定数列的单调性和极限
例1.已知数列满足.分别判断和时数列的单调性；
均单调递减
单调递增
例2已知.
（1）判定数列单调性；
（2）判断是否恒成立.
选项（1）：数列递增；
选项（2）：极限为1（4）不恒成立，
存在，使得时，.
应用2、已知数列的生成函数和单调性，求的取值范围
由例1，例2可知：生成函数确定的情况下，数列的单调性有时还与迭代初始值有关.
例4首项为正数的数列满足.若对一切，都有，求的取值范围.
解：
∴或
例5已知数列满足，且对任意，有，则的取值范围是____________.
解：由得：，不动点
画出函数及直线的图象
（1）时，是吸引不动点，数列递增；
（2）时，吸引、1排斥数列递减；
（3）时，1排斥递增到“高台跳水”；
（4）时，
∴
例6已知常数，数列满足，首项为，前n项和为.若对任意成立，则的取值范围为_________.
解：（1）生成函数为在上方，数列递增
（2）恒成立是什么意思？；
∴
（3），∵
∴
∴
法2：
∵，∴，∴递增
法3：设，则，∴作图或者作差数列递增，
记数列的前n项和为，则，∴且
后面同理
本讲小结
1、不动点和蛛网图的应用
应用1、判定数列的单调性和极限；
应用2、已知数列的生成函数及单调性，求的取值范围
2、注意事项
（1）灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；
（2）生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.
（3）碰到复杂而陌生的问题，要注意“退”的思想和“换元法”的应用.
第四讲 “不动点”和“蛛网图”的应用
应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围
例1.数列满足.若单调递增，则实数c的取值范围是______________.
分析：生成函数，抛物线随着c的变化而上下平移.
（1）当时，从不动点角度：令相切
从数列角度：时，
（2）当时，抛物线在直线的下方递减
（3）当时，假如，蛛网图判断：
（4）怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！
前一个y，是后一个x.对称轴，
即：顶点不得高于直线
例2若数列满足，若对任意正整数n都有，则实数m的最大值为（ ）
A.0.5 B.1 C.2 D.4
解：生成函数，图象是抛物线，开口向上
（1）若，则数列递增，∴的必要条件是：方程有解
有解，∴
（2）当时，抛物线与直线相切
∵，∴在直线上方迭代，数列递增，不动点为2，
∴答案：C
例3 数列满足，若对一切，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：生成函数为
左加右减：，向右平移m个单位
（1）当时，图象在直线上方，
没有不动点，无限递增，不合题意；
（2）当时，相切型不动点2
生成函数递增，，符合题意；
（3）当时，吸引不动点
∵，，符合题意.
答案：A
例4.已知数列满足.若，则的最小值是_______；
若，且存在常数，使得任意，则实数k的取值范围是__________.
解：（1）∵，
可知：，
∴
∴
例4-2.己知数列满足.若，且存在常数，
使得任意，则实数k的取值范围是___________.
分析：生成函数含参考虑参数对图象的影响坐标变换
通过怎样的坐标变换，才会得到？x不变，y变k倍
（1）时，，符合题意；
（2）时，k的取值对图象的影响：动图
解：（1）时，，
∴时，左侧的排斥不动点
法一、
法二、算临界状态
点在直线上，此时
法三、不低于点
∴，∴
∴时，抛物线开口向上
在直线的上方时，数列发散；
∴，∴
综合以上分析可知：（1）时，2，0，0，0…，成立；
（2）时，左侧的排斥不动点
即不低于点
∴，∴
（3）时，右侧的排斥不动点
即不高于点
∴，
∴
综上所述，
第五讲 “不动点”和“蛛网图”的应用
应用4、判定与的大小关系
判定单调性是比较与的大小，实际上可以推广到与或其它形式.
例1已知，.（2）判断是否恒成立；
解：初始值开始迭代，
直线
迭代区域在直线上方
∴恒成立
例2已知.（4）判断是否恒成立.
解：（1）当时，是否成立？
（2）当时，是否恒成立？
∴
∴成立
例3已知数列满足.下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
解：与直线对照：切线不等式
A.正确： B.，正确；C正确； D.，错误.
与比大小与比高低（迭代范围内）
【强化训练】
1．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是________；若数列单调递增，则c的取值范围是__________.
2．已知数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．数列满足：，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.
5．已知数列，满足.若则的最小值是___________，若，且存在常数，使得任意，则的取值范围是______________.
6．设数列满足.若存在常数，对于任意，恒有，则的取值范围是_________.
7．设数列满足，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是________.
8．已知数列若（且），若对任意恒成立，则实数t的取值范围是_________.
9．设，数列中，， ,则
A．当B．当
C．当D．当
10．数列满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列 满足0，且，则
A．B．
C．D．
12．已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是
A．B．
C．D．
14．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
不动点与蛛网图
不动点与蛛网图
第一讲 实数数列的“不动点”
一、相关的概念
1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.得到的函数如：，把当作y，把当做；
2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.
前一次计算时的y，
是后一次计算的x.
3、数列的不动点：满足的的数值.
例1.己知.若是常数数列，求的值.
解：∵，∴或，∴或1
（1）数列的“不动点”其实不是点，而是数值；
（2）若不动点，则数列是常数数列，不动点.
二、进一步分析：
满足，的的数值，叫数列的“不动点”；
任何实数数列都有不动点吗？无实数解
例2.已知数列满足.若数列有不动点，则实数b的取值范围是___________.
（1）数列角度
（2）函数角度：有解
（3）函数图象的角度：
①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；
②生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标=不动点.
例3、已知数列满足，则（ ）
A.当时，恒成立
B.当时，恒成立
C.当时，恒成立
D.当时，恒成立
解：（1）当时，数列有不动点，即有实数解；
（2）图象角度：当时，抛物线与直线有交点；
（3）不动点的数值：①B中，由得：
②C中，由得：或2
③D中，由得：
选项B中，取，则不成立；
C，D同理可排除.
实际不用算，看图判断出：不动点即可.
问题：当，即时，无论取何值，为什么恒成立？
1、观察抛物线和直线的位置关系：
（1）函数角度：恒成立；
（2）数列角度：恒成立；
严格单调递增
2、如何保证呢？
∵
∴
∴
∴
∴
∴，∴
∴
三、不动点的分类
例4.已知.讨论的单调性.
解：（1）当时，为常数数列；
（2）当时，用归纳法或同号法，可证明：
∴
∴递增
如时，…
与不动点的差，随n增大而增大.
（3）当时，同理可证，且递减
如时，与不动点的差，也随n增大而增大.
总之，当时，随着n增大，逐渐“远离”不动点.
这种不动点，叫“排斥不动点
例5.己知.讨论的单调性.
解：（1）当时，为常数数列；
（2）当时，如时，
数列递减，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；
（3）当时，如时，
数列递增，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；
这种不动点，叫“吸引不动点”，
总之，不动点可分为“排斥不动点”、“吸引不动点”等，具体的判定方法和应用，我们下节课会结合“蛛网图”讨论.
本讲小结
1、数列的迭代运算：逐个代入，计算各项的过程.如：
前一次计算时的y，是后一次计算的x.蛛网图的原理！
2、数列的“生成函数”：得到的函数的生成函数是：
3、数列的不动点：满足的的数值，叫数列的“不动点”；
（1）数列本身的角度：
①当不动点时，为常数数列.
②不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.
（2）生成函数图象的角度：
①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；
②不动点=生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标.
第二讲 “蛛网图”的来历和本质
一、“蛛网图”的来历和本质
上节课例4.已知.讨论的单调性.
当时，
前一步的y，是后一步的x
迭代计算是一个代数运算的过程；
“蛛网图”是把迭代过程→几何（图象）化处理.
已知.讨论的单调性.
时，…
时，，…
刚才是在x轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线进行转换.
蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线
，对迭代过程进行图象化处理.
（1）画出生成函数图象和直线；
（2）当x，当y，在生成函数图象上画出点；
（3）向直线作水平线，得交点；
（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点，…
二、不动点的类型和性质
上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：
对于型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为，
（1）若，则该不动点为“吸引不动点”；（其中不恒等于0）
（2）若，则该不动点为“排斥不动点”；
（3）若，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.
1、，吸引不动点
定理：当时，
若，则数列递增；
若，则数列递减.
定理：当时，
与单调性相反.
每次都“吸引过头”.
2、，排斥不动点
定理：当时，
若，则数列递增；
若，则数列递减.
3、时
数列单调递增：；数列严格单调递增：.
数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关！
本讲小结
1.不动点的分类
相交型不动点：
2.蛛网图的原理
借助于直线，把递推数列的迭代过程，用图象表示出来.
优点：代数问题几何化，形象、直观；
缺点：不能替代大题目的代数证明.
第三讲 “不动点”和“蛛网图”的应用（一）
应用1、判定数列的单调性和极限
例1.已知数列满足.分别判断和时数列的单调性；
均单调递减
单调递增
例2已知.
（1）判定数列单调性；
（2）判断是否恒成立.
选项（1）：数列递增；
选项（2）：极限为1（4）不恒成立，
存在，使得时，.
应用2、已知数列的生成函数和单调性，求的取值范围
由例1，例2可知：生成函数确定的情况下，数列的单调性有时还与迭代初始值有关.
例4首项为正数的数列满足.若对一切，都有，求的取值范围.
解：
∴或
例5已知数列满足，且对任意，有，则的取值范围是____________.
解：由得：，不动点
画出函数及直线的图象
（1）时，是吸引不动点，数列递增；
（2）时，吸引、1排斥数列递减；
（3）时，1排斥递增到“高台跳水”；
（4）时，
∴
例6已知常数，数列满足，首项为，前n项和为.若对任意成立，则的取值范围为_________.
解：（1）生成函数为在上方，数列递增
（2）恒成立是什么意思？；
∴
（3），∵
∴
∴
法2：
∵，∴，∴递增
法3：设，则，∴作图或者作差数列递增，
记数列的前n项和为，则，∴且
后面同理
本讲小结
1、不动点和蛛网图的应用
应用1、判定数列的单调性和极限；
应用2、已知数列的生成函数及单调性，求的取值范围
2、注意事项
（1）灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；
（2）生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.
（3）碰到复杂而陌生的问题，要注意“退”的思想和“换元法”的应用.
第四讲 “不动点”和“蛛网图”的应用
应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围
例1.数列满足.若单调递增，则实数c的取值范围是______________.
分析：生成函数，抛物线随着c的变化而上下平移.
（1）当时，从不动点角度：令相切
从数列角度：时，
（2）当时，抛物线在直线的下方递减
（3）当时，假如，蛛网图判断：
（4）怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！
前一个y，是后一个x.对称轴，
即：顶点不得高于直线
例2若数列满足，若对任意正整数n都有，则实数m的最大值为（ ）
A.0.5 B.1 C.2 D.4
解：生成函数，图象是抛物线，开口向上
（1）若，则数列递增，∴的必要条件是：方程有解
有解，∴
（2）当时，抛物线与直线相切
∵，∴在直线上方迭代，数列递增，不动点为2，
∴答案：C
例3 数列满足，若对一切，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：生成函数为
左加右减：，向右平移m个单位
（1）当时，图象在直线上方，
没有不动点，无限递增，不合题意；
（2）当时，相切型不动点2
生成函数递增，，符合题意；
（3）当时，吸引不动点
∵，，符合题意.
答案：A
例4.已知数列满足.若，则的最小值是_______；
若，且存在常数，使得任意，则实数k的取值范围是__________.
解：（1）∵，
可知：，
∴
∴
例4-2.己知数列满足.若，且存在常数，
使得任意，则实数k的取值范围是___________.
分析：生成函数含参考虑参数对图象的影响坐标变换
通过怎样的坐标变换，才会得到？x不变，y变k倍
（1）时，，符合题意；
（2）时，k的取值对图象的影响：动图
解：（1）时，，
∴时，左侧的排斥不动点
法一、
法二、算临界状态
点在直线上，此时
法三、不低于点
∴，∴
∴时，抛物线开口向上
在直线的上方时，数列发散；
∴，∴
综合以上分析可知：（1）时，2，0，0，0…，成立；
（2）时，左侧的排斥不动点
即不低于点
∴，∴
（3）时，右侧的排斥不动点
即不高于点
∴，
∴
综上所述，
第五讲 “不动点”和“蛛网图”的应用
应用4、判定与的大小关系
判定单调性是比较与的大小，实际上可以推广到与或其它形式.
例1已知，.（2）判断是否恒成立；
解：初始值开始迭代，
直线
迭代区域在直线上方
∴恒成立
例2已知.（4）判断是否恒成立.
解：（1）当时，是否成立？
（2）当时，是否恒成立？
∴
∴成立
例3已知数列满足.下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
解：与直线对照：切线不等式
A.正确： B.，正确；C正确； D.，错误.
与比大小与比高低（迭代范围内）
【强化训练】
1．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是________；若数列单调递增，则c的取值范围是__________.
2．已知数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．数列满足：，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.
5．已知数列，满足.若则的最小值是___________，若，且存在常数，使得任意，则的取值范围是______________.
6．设数列满足.若存在常数，对于任意，恒有，则的取值范围是_________.
7．设数列满足，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是________.
8．已知数列若（且），若对任意恒成立，则实数t的取值范围是_________.
9．设，数列中，， ,则
A．当B．当
C．当D．当
10．数列满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列 满足0，且，则
A．B．
C．D．
12．已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是
A．B．
C．D．
14．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
参考答案：
1． ## ##
分析：若数列单调递减，则恒成立，可得恒成立，由此可得c的范围.
若数列单调递增，则，即，且母函数.数列有极限，其值为其不动点.又在上单调增加，故，所.于是只需要证明时满足条件，时不满足条件即可.
【详解】①若数列单调递减，
∵，∴，∴，
∴恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，∴c＜0.
②数列单调递增，则当时，.
当时，，
而在上单调递增，
∴，即，
假设当n＝k，k∈时，，
则，即，
故由数学归纳法可得，即数列单调递增；
当时，
∵，∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴，
令，
故当时，，
此时，而在上单调递减，
∴，即，与题意矛盾.
综上，的取值范围是.
2．B
【解析】构造函数，求导判断函数的单调性，判断数列的单调性，结合单调性判断的取值范围.
【详解】设，
因为，
当时，得；则在和单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
且，可得，
所以，即数列为单调递增数列，
又，，
根据数列单调性可得：，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查数列的单调性及判断，考查数列的函数特性，难度一般，根据函数的性质判断数列的单调性是关键.
3．A
分析：由，变形为开方求解判断.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
则，
故，
因为，
所以，
。
故选：A
4．2
分析：根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.
【详解】因为,
累加可得.
若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.
所以.
当时,证明：对任意的正整数都有.
当时, 成立.
假设当时结论成立,即,
则,即结论对也成立.
由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.
综上可知,所求实数的最大值是2.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.
5．
分析：第一空：令,将问题转化为函数问题,则表示点与原点连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：将问题转化为当,则，结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.
【详解】（1）令，， 表示点与原点连线的斜率，因为，所以，由于为最高点，所以最小，等于.
（2）当时，显然存在；当时，由，则 ，由图象可知，使得任意成立，则需即 又,所以,故的取值范围是.
【点睛】本题考查数列的综合应用.数列是一种特殊的函数，所以在求解数列最值问题可以借助函数的思想解决.
6．
分析：首先根据题意得到，当时，设，进而求出，然后判断是否满足题意，当时，得出数列和函数的单调性，进而判断是否满足题意.
【详解】由题意，，所以.
若，令，则，，此时，存在M=2，使得；
若，，即数列是递增数列，而函数在上单调递增，且值域为，故此时数列不满足题意.
综上：的取值范围是.
故答案为：.
7．
分析：由已知条件可得，得，结合已知可得，从而可求出的取值范围
【详解】因为，所以，
即，即，
等价于，
故只需，解得，
所以，故，即，
所以的取值范围为
故答案为：
8．
分析：方法一，根据必要条件求出的取值范围，再证明范围内的满足，即可确定的取值范围；
方法二，利用蛛网法，分和两种情况，结合图象列式即可求出的取值范围.
【详解】法1：必要先行
；
.
，得证.
法2：蛛网法
记函数，过定点.
当时，迭代收敛于点A，只需位于直线下方，即；
当时，迭代收敛于点A，由蛛网图：单调递减，故只需
即
综上.
9．A
【解析】若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.
【详解】若数列为常数列，则，由，
可设方程
选项A：时，，，
，
故此时不为常数列，
，
且，
，则，
故选项A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，
即当时，数列为常数列，，
则，故选项B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，
同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，
则选项D错误.
故选：A.
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
10．D
分析：根据题意设，利用导数讨论函数的单调性，进而得出在上恒成立，作出图象，结合图象即可得出结果.
【详解】由题意知，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
画出函数和的图象，如图，
由图象可得，，
故选：D.
11．A
分析：先取特殊值进行排除，再利用递推关系计算前6项，进行猜测结论并证明.
【详解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；
==，=>；且，，均小于，猜测，下面由图说明：
当时，由迭代蛛网图：
可得，单调递增，此时不动点为，当n时，，则有，.
当时，由迭代蛛网图：
可得，当n分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点，由图像得，，
综上可得，
故选A.
【点睛】本题考查了数列的递推关系的应用，涉及三角函数的运算，考查了由特殊到一般的思维方法，考查了分类讨论与数形结合思想，属于难题.
12．D
分析：先求的大小，又单调递减，可推出的大小，再得到的大小，可得到，反复这个过程，可得到各项大小关系得出答案.
【详解】由已知，,由指数函数单调递减，
得，又，即，即，
再由可得，即，
反复，则有.
故选：D
【点睛】本题考查指数函数的单调性和数列的递推公式，反复迭代得到项的大小是解决问题的关键.
13．D
分析：，可以判断数列是递减数列，即可判断出正误；
B. ，可得，可以求出，，即可判断正误；
C. ，可得时，函数单调递减，时，函数单调递增，由，，，可得，得，即可判断正误；
D. ，，可以判断函数的单调性，计算出的取值范围，最后可以判断出，因此可以判断正误.
【详解】，因为，所以数列是递减数列，因此有，故符合题意；
B. ，可得，因为，
所以有，因此，所以，故符合题意；
C. ，可得时，函数单调递减，时，函数单调递增，因为，，，所以，所以有，故符合题意；
D. ，，所以函数是上的递增函数，
，以此类推得，不符合题意，故本题选D.
【点睛】本题考查了数列的递推关系，考查了用导数研究函数的单调性，考查了推理论证能力.
14．A
分析：由单调递增，可得恒成立，则，分析和可排除错误选项.
【详解】由单调递增，可得，
由，可得，所以.
时，可得.①
时，可得，即.②
若，②式不成立，不合题意；
若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.
排除B,C,D,故选A.
【点睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.