高考数学微专题集第04节三角函数与导数结合的命题点预测(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集第04节三角函数与导数结合的命题点预测(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了利用导数研究三角函数的性质等内容，欢迎下载使用。

1．利用导数研究三角函数的性质
三角函数的性质主要是指单调性、奇偶性、对称性等，利用导数研究这些性质的途径如下．
1）若函数在上单调递增（或递减），则（或）．
2）可导奇函数的导函数为偶函数，可导偶函数的导函数为奇函数．
3）当为函数的对称轴时，函数取得最大或最小值，此时函数在最高点或最低点处的切线斜率为0，即．
例1设函数，则（ ）．
A．的最大值为
C．在单调递增D．在单调递减
解析
对于A，，A正确．
对于B，令，则，由，得，整理得，解得．
，所以，B错误．
对于C，易知
，
令，则在上单调递减，且，
所以存在唯一的，使得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，C错误．
对于D，在上恒成立，所以在上单调递减，D正确．
综上，选A，D．
点评本题考查三角函数的恒等变换、周期、最单调性等性质及函数零点、导数的应用．考查的知识容量大；需要考生掌握三角函数的恒等变换，熟练运用设参、三角函数的有界性、求导、函数零点判断等知识与方法进行求解，考查的能力素养较全面．
2利用导数求三角函数的最值
要求三角函数的最值通常利用导数先研究函数的单调性，进而求出最值．
例2已知三个内角为A，B，C，且成等差数列，则的最小值为_________，最大值为_______．
解析因为成等差数列，所以，
由正弦定理得．
由余弦定理得．
由基本不等式得，所以．
由B是的内角知，所以．
记，则
．
令，解得，由于，故．
当时，单调递增，故，即．
当时，单调递减，故，即．
因此，当时，取得最大值，且；当时，取得最小值，且．
综上所述，的最小值为，最大值为．
点评该解法首先利用正弦定理、余弦定理、基本不等式求得角B的范围，进而构造函数，并利用导数研究函数的单调性，从而求得最值，体现了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养的渗透与应用．
3利用导数求三角函数的极值点
利用导数求三角函数的极值点问题，常结合函数零点存在定理和三角函数的图象与性质，同时，要紧扣极值点的概念进行求解，即函数在处满足，若导函数的值在该点附近符合“左正右负”，则是极大值点；若符合“左负右正”，则是极小值点．
例3已知函数为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点．
解析的定义域为，因为，
所以．令，
则．
在上恒成立，
故在上单调递减，且，，
所以，使得，所以当时，；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，则为唯一的极大值点．
综上所述，在区间存在唯一极大值点．
点评求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，再根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而证得结论．
4借助导数讨论三角函数的零点个数
利用导数考查函数零点问题，经常要使用零点存在定理，证明在某个区间内存在零点．
例4已知函数为的导数．证明：有且仅有2个零点．
解析由题意知的定义域为．当时，
由例3可知在上单调递增，所以，所以在上单调递减．
又，所以为在上的唯一零点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，所以在上单调递增，
此时，不存在零点．
又，
所以，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，
所以在上恒成立，从而在上不存在零点．
当时，，则在上单调递减．
又，所以在上存在唯一零点．
当时，，，所以，即在上不存在零点．
综上所述，有且仅有2个零点．
点评本题考查了利用导数解决函数零点个数的问题．解决零点问题的关键是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，同时，要利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可．
5利用导数研究三角不等式问题
例5已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求a的值．
解析（1）．
当时，，所以．
当时，，所以单调递减，
而，所以．
当时，．
当时，．
设，则当时，，
所以单调递增，，则．
（2）由已知条件得．设，所以．
由（1）知，当时，，
所以在上单调递增，．
若，则，故存在唯一，使得．
当时，单调递减，
而，所以．
若，故存在唯一，使得．
当时，单调递增，
而，所以．
若．
若，当时，．
当时，单调递增，．
当时，单调递减，
又，故；
当时，单调递增，，
所以．
综上，．
点评本题是三角不等式问题与导数应用的交会问题，在分类讨论的基础上，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性求参数的值，充分考查了数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模等数学核心素养．
6导数与三角结合的综合问题
例6
1．已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
点评本题是三角函数与导数结合的综合问题，考查了变换、放缩等解题技巧及数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养
第04节 三角函数与导数结合的命题点预测
第四节 三角函数与导数结合的命题点预测
1．利用导数研究三角函数的性质
三角函数的性质主要是指单调性、奇偶性、对称性等，利用导数研究这些性质的途径如下．
1）若函数在上单调递增（或递减），则（或）．
2）可导奇函数的导函数为偶函数，可导偶函数的导函数为奇函数．
3）当为函数的对称轴时，函数取得最大或最小值，此时函数在最高点或最低点处的切线斜率为0，即．
例1设函数，则（ ）．
A．的最大值为
C．在单调递增D．在单调递减
解析
对于A，，A正确．
对于B，令，则，由，得，整理得，解得．
，所以，B错误．
对于C，易知
，
令，则在上单调递减，且，
所以存在唯一的，使得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，C错误．
对于D，在上恒成立，所以在上单调递减，D正确．
综上，选A，D．
点评本题考查三角函数的恒等变换、周期、最单调性等性质及函数零点、导数的应用．考查的知识容量大；需要考生掌握三角函数的恒等变换，熟练运用设参、三角函数的有界性、求导、函数零点判断等知识与方法进行求解，考查的能力素养较全面．
2利用导数求三角函数的最值
要求三角函数的最值通常利用导数先研究函数的单调性，进而求出最值．
例2已知三个内角为A，B，C，且成等差数列，则的最小值为_________，最大值为_______．
解析因为成等差数列，所以，
由正弦定理得．
由余弦定理得．
由基本不等式得，所以．
由B是的内角知，所以．
记，则
．
令，解得，由于，故．
当时，单调递增，故，即．
当时，单调递减，故，即．
因此，当时，取得最大值，且；当时，取得最小值，且．
综上所述，的最小值为，最大值为．
点评该解法首先利用正弦定理、余弦定理、基本不等式求得角B的范围，进而构造函数，并利用导数研究函数的单调性，从而求得最值，体现了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养的渗透与应用．
3利用导数求三角函数的极值点
利用导数求三角函数的极值点问题，常结合函数零点存在定理和三角函数的图象与性质，同时，要紧扣极值点的概念进行求解，即函数在处满足，若导函数的值在该点附近符合“左正右负”，则是极大值点；若符合“左负右正”，则是极小值点．
例3已知函数为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点．
解析的定义域为，因为，
所以．令，
则．
在上恒成立，
故在上单调递减，且，，
所以，使得，所以当时，；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，则为唯一的极大值点．
综上所述，在区间存在唯一极大值点．
点评求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，再根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而证得结论．
4借助导数讨论三角函数的零点个数
利用导数考查函数零点问题，经常要使用零点存在定理，证明在某个区间内存在零点．
例4已知函数为的导数．证明：有且仅有2个零点．
解析由题意知的定义域为．当时，
由例3可知在上单调递增，所以，所以在上单调递减．
又，所以为在上的唯一零点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，所以在上单调递增，
此时，不存在零点．
又，
所以，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，
所以在上恒成立，从而在上不存在零点．
当时，，则在上单调递减．
又，所以在上存在唯一零点．
当时，，，所以，即在上不存在零点．
综上所述，有且仅有2个零点．
点评本题考查了利用导数解决函数零点个数的问题．解决零点问题的关键是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，同时，要利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可．
5利用导数研究三角不等式问题
例5已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求a的值．
解析（1）．
当时，，所以．
当时，，所以单调递减，
而，所以．
当时，．
当时，．
设，则当时，，
所以单调递增，，则．
（2）由已知条件得．设，所以．
由（1）知，当时，，
所以在上单调递增，．
若，则，故存在唯一，使得．
当时，单调递减，
而，所以．
若，故存在唯一，使得．
当时，单调递增，
而，所以．
若．
若，当时，．
当时，单调递增，．
当时，单调递减，
又，故；
当时，单调递增，，
所以．
综上，．
点评本题是三角不等式问题与导数应用的交会问题，在分类讨论的基础上，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性求参数的值，充分考查了数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模等数学核心素养．
6导数与三角结合的综合问题
例6
1．已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
点评本题是三角函数与导数结合的综合问题，考查了变换、放缩等解题技巧及数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养
参考答案：
1．（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.
（2）证明见解析；
（3）证明见解析.
分析：(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)[方法一]由题意将所给的式子进行变形，利用四元基本不等式即可证得题中的不等式；
(3)[方法一]将所给的式子进行恒等变形，构造出(2)的形式，利用(2)的结论即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)[方法一]【最优解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，当且仅当，
即或时等号成立．
所以．
[方法二]：构造新函数+齐次化方法
因为，令，则问题转化为求的最大值．
求导得，令，得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的最大值为，故．
[方法三]：结合函数的周期性进行证明
注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即.
(3)[方法一]【最优解】：利用(2)的结论
由于，
所以．
[方法二]：数学归纳法+放缩
当时，，显然成立；
假设当时原式成立，即．
那么，当时，有
，
即当时不等式也成立．
综上所述，不等式对所有的都成立．
【整体点评】(2)方法一：基本不等式是证明不等式的重要工具，利用基本不等式解题时一定要注意等号成立的条件；
方法二：齐次化之后切化弦是一种常用的方法，它将原问题转化为一元函数的问题，然后构造函数即可证得题中的不等式；
方法三：周期性是三角函数的重要特征，结合函数的周期性和函数的最值证明不等式充分体现了三角函数有界限的应用.
(3)方法一：利用(2)的结论体现了解答题的出题思路，逐问递进是解答题常见的设问方式；
方法二：数学归纳法是处理与自然数有关的命题的常见策略，放缩法是不等式证明中常见的方法.