2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.1数列的概念(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.1数列的概念(精讲)(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了数列的概念，数列与函数的关系等内容，欢迎下载使用。
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：数列的概念及分类
重点题型二：根据数列的前几项求通项公式
重点题型三：数列中具体某项的求解与判断
重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式
类型五：数列的单调性的判断及其应用
类型六：求数列中的最大(小)项
类型七：与周期有关的数列问题
类型八：根据数列的前项和求
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：数列的概念
1、数列的概念
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.
数列的一般形式是,,…,,…,简记为.
2、数列与函数的关系
由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：
所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.
也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.
另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.
知识点二:数列的分类
知识点三：数列的通项公式
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
知识点四：数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知识点五：数列的性质
1、数列的单调性
若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；
①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；
②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；
2、数列的周期性
一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期.
知识点六：数列的前项和
1、数列前项和的概念
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即
2、数列前项和与通项的关系
当时，
当时，
用
化简得：
所以：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·福建·莆田一中高二期末）已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（ ）
A．9B．17C．33D．65
2．(2023·山东东营·高二期末）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第1011项B．第1012项C．第1013项D．第1014项
3．(多选）(2023·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（ ）
A．，B．，，
C．， D．，，
5．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则的最小值为______，此时n=______．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且，求的通项公式．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：数列的概念及分类
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列，，与数列，，是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为
D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
例题2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）下列叙述正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C．数列0，1，0，1，…是常数列
D．数列是递增数列
重点题型二：根据数列的前几项求通项公式
典型例题
例题1．(2023·陕西西安·高二期中（文））由数列1，10，100，1000，…，猜想数列的第项可能是______.
例题2．（2023·甘肃·兰州市第三十三中学高二阶段练习（文））已知，，，，则数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·山东烟台·高二期末）数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高二课时练习）1. 观察下列各式：
…………
请写出第4个、第5个等式，并归纳出第个等式．
重点题型三：数列中具体某项的求解与判断
典型例题
例题1．(2023·天津河北·高二期末）已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.
例题2．(2023·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习（理））已知数列中，，，.
(1)求；
(2)判断66是不是该数列中的项?若是，是第几项?
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝，那么5是否为该数列中的项？如果是，是第几项？
2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是，那么56是这个数列中的项吗？如果是，那么是第几项？
3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项？为什么？
重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的通项公式___________.
例题2．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则通项公式=_____.
同类题型归类练
1．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））已知数列中，，时，，依次计算后猜想______.
类型五：数列的单调性的判断及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，则（ ）
A．不是单调数列B．是递减数列C．是递增数列D．是常数列
例题2．(2023·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．C．（－∞，1]D．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
(1)0.98是不是数列中的项？
(2)判断此数列的单调性.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，对于任意，恒成立，则实数的取值范围是______．
2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式.
(1)写出该数列的前5项；
(2)判断并证明该数列的单调性．
类型六：求数列中的最大(小)项
典型例题
例题1．(2023·广东潮州·高二期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，试求中的最大项.
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是．
(1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象；
(2)这个数列中有没有最小的项？
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则数列的最小项的值是_______．
2．(2023·全国·高二课时练习）已知，求数列的最小值.
3．(2023·浙江·高三专题练习）已知数列满足，
（1）数列中有哪些项是负数？
（2）当为何值时，取得最小值？并求出此最小值．
类型七：与周期有关的数列问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
例题2．(2023·北京大兴·高二期末）已知数列满足，，则等于（ ）
A．1B．2
C．4D．－4
例题3．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，则的值为__________.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，，（且），则（ ）
A．B．2C．D．
2．(2023·全国·高二期中）数列中，，当时，等于的个位数字，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则___________.
类型八：根据数列的前项和求
典型例题
例题1．(2023·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
例题2．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．
同类题型归类练
1．(2023·青海西宁·二模（文））数列满足，则______．
2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）已知数列的前项和为，若.
(1)求，，；
(2)求数列的通项公式
3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，求数列的通项公式；
第五部分：新 定 义 问 题
1．(2023·北京市第十二中学高二阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）
A．2696B．2697C．2698D．2700
2．(2023·全国·高三专题练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，．设．若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之差为（ ）
A．5B．C．0D．10
3．(2023·北京·高三专题练习）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ）
A．4B．6C．32D．128
4．(2023·浙江绍兴·模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是，则第11项和第12项之和是__________．
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河南·模拟预测（文））设数列满足且，则（ ）
A．B．C．D．3
3．(2023·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
4．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列满足：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满足条件的数列的通项公式_________．
5．(2023·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中
递减数列
常数列
4.1数列的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：数列的概念及分类
重点题型二：根据数列的前几项求通项公式
重点题型三：数列中具体某项的求解与判断
重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式
类型五：数列的单调性的判断及其应用
类型六：求数列中的最大(小)项
类型七：与周期有关的数列问题
类型八：根据数列的前项和求
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：数列的概念
1、数列的概念
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.
数列的一般形式是,,…,,…,简记为.
2、数列与函数的关系
由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：
所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.
也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.
另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.
知识点二:数列的分类
知识点三：数列的通项公式
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
知识点四：数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知识点五：数列的性质
1、数列的单调性
若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；
①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；
②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；
2、数列的周期性
一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期.
知识点六：数列的前项和
1、数列前项和的概念
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即
2、数列前项和与通项的关系
当时，
当时，
用
化简得：
所以：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·福建·莆田一中高二期末）已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（ ）
A．9B．17C．33D．65
答案：C
【详解】.
故选：C.
2．(2023·山东东营·高二期末）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第1011项B．第1012项C．第1013项D．第1014项
答案：B
【详解】解：由数列，
可得，
令，解得，
所以是这个数列的第1012项.
故选：B.
3．(多选）(2023·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（ ）
A．，B．，，
C．， D．，，
答案：B
【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含，
由此可得数列满足.
故选：B．
5．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则的最小值为______，此时n=______．
答案： －2 2或3
【详解】因为，所以当或时，取得最小值，为．
故答案为：；2或3．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且，求的通项公式．
答案：.
【详解】当时，；
当时，，显然满足上式，
∴；
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：数列的概念及分类
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列，，与数列，，是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为
D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
答案：D
【详解】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；
数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；
是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.
故选：D.
例题2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
答案：B
【详解】因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ,故数列的图象是一群孤立的点，A正确；
数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；
观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确；
数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确，
故选：B
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）下列叙述正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C．数列0，1，0，1，…是常数列
D．数列是递增数列
答案：D
【详解】A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误；
B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误；
C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误；
D由数列的通项an＝知， an＋1－an＝－＝>0，
即数列{}是递增数列，故D正确；
故选：D．
重点题型二：根据数列的前几项求通项公式
典型例题
例题1．(2023·陕西西安·高二期中（文））由数列1，10，100，1000，…，猜想数列的第项可能是______.
答案：
【详解】，则猜想数列的第n项可能是
故答案为：
例题2．（2023·甘肃·兰州市第三十三中学高二阶段练习（文））已知，，，，则数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：，，，，
则，
故选：．
同类题型归类练
1．(2023·山东烟台·高二期末）数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】A.当时，，不符；
B.当时，，不符；
C.当时，，不符；
D.当时，，
当时，，符合.
故选：D.
2．（2023·全国·高二课时练习）1. 观察下列各式：
…………
请写出第4个、第5个等式，并归纳出第个等式．
答案：第4个等式：；第5个等式：；第个等式：.
【详解】解：由题可知，
，
，
，
则第4个等式为：，
第5个等式为：，
所以第个等式为：.
重点题型三：数列中具体某项的求解与判断
典型例题
例题1．(2023·天津河北·高二期末）已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.
答案：
【详解】因为，所以数列的前5项为.
故答案为：
例题2．(2023·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习（理））已知数列中，，，.
(1)求；
(2)判断66是不是该数列中的项?若是，是第几项?
答案：(1)
(2)是，第12项
(3)当或4时，有最小值，最小值为
(1)
由题可知，，解之得p=7，q=6．
可得，所以.
(2)
设数列的第n项为66，则，即，
解之得n=12或－5（舍去），所以66是数列的第12项．
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝，那么5是否为该数列中的项？如果是，是第几项？
答案：是，第7项.
【详解】由，可得n＝7，则5是该数列中的第7项.
2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是，那么56是这个数列中的项吗？如果是，那么是第几项？
答案：6
【详解】由题意，可令，
即，解得，或 （舍去），
故56是这个数列中的第6项.
3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项？为什么？
答案：（1）；（2）不是，理由见解析；
【详解】.
（1）令，得第10项.
（2）令，得.
此方程无正整数解，∴不是该数列中的项.
重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的通项公式___________.
答案：
【详解】因为，，
所以，所以当时，，
所以
（）
当，满足上式，
所以.
故答案为：
例题2．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则通项公式=_____.
答案：2+ln n
【详解】解析：∵an+1=an+ln，
∴a2-a1=ln=ln 2，
a3-a2=ln=ln，
a4-a3=ln=ln，
……
an-an-1=ln=ln.
以上(n-1)个等式相加，得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n.
∵a1=2，∴an=2+ln n.
∵a1=2+ln 1=2，
∴{an}的通项公式为2+ln n.
答案：2+ln n.
同类题型归类练
1．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））已知数列中，，时，，依次计算后猜想______.
答案：
【详解】因为，，所以，，，所以猜想.
故答案为：.
类型五：数列的单调性的判断及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，则（ ）
A．不是单调数列B．是递减数列C．是递增数列D．是常数列
答案：C
【详解】因为，
所以是递增数列.
故选：C.
例题2．(2023·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．C．（－∞，1]D．
答案：D
【详解】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
(1)0.98是不是数列中的项？
(2)判断此数列的单调性.
答案：(1)是.
(2)数列是递增数列.
(1)若0.98是数列中的项，则存在正整数n，满足.化简，
得，解得或（舍去）.所以0.98是数列中的项.
(2)因为，
所以数列是递增数列.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，对于任意，恒成立，则实数的取值范围是______．
答案：
【详解】当时，恒成立，
当时，，不合题意；
当时，，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式.
(1)写出该数列的前5项；
(2)判断并证明该数列的单调性．
答案：(1)前5项分别是1，，，，.
(2)单调递减数列，证明见解析
(1)
解：因为，所以，，，，，所以前5项分别是1，，，，.
(2)
解：数列是单调递减数列．
因为，所以，从而数列是单调递减数列．
类型六：求数列中的最大(小)项
典型例题
例题1．(2023·广东潮州·高二期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.
答案：5
【详解】因为,所以,由于,所以当时,最大,此时
故答案为：5
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，试求中的最大项.
答案：时，最大项为129
【详解】由题,对于,当时取得最大值,由于,故取不到,
,
当时,；当时,
故当时,取得中的最大项为
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是．
(1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象；
(2)这个数列中有没有最小的项？
答案：(1)，，，，，图象如下：
(2)有，为最小项.
(1)
，，，，，图象如下：
(2)
，当时，取得最小值，为最小项
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则数列的最小项的值是_______．
答案：
【详解】由题意，数列的通项公式为，
因为，当时，；当时，，
结合二次函数的性质，可得数列的最小项的值是.
故答案为：.
2．(2023·全国·高二课时练习）已知，求数列的最小值.
答案：4
【详解】因为二次函数的对称轴为，
故在上，为增函数，
而，故当时，为递增数列，
故当时，的最小值为.
3．(2023·浙江·高三专题练习）已知数列满足，
（1）数列中有哪些项是负数？
（2）当为何值时，取得最小值？并求出此最小值．
答案：（1）数列中第1，2，3，4，5项为负数，即，，，，；（2）当，3时取得最小值，最小值为．
【详解】解：（1），解得，
，
数列中第1，2，3，4，5项为负数，即，，，，，
（2），当，3时取得最小值，最小值为．
类型七：与周期有关的数列问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
答案：D
【详解】因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，
则.
故选：D.
例题2．(2023·北京大兴·高二期末）已知数列满足，，则等于（ ）
A．1B．2
C．4D．－4
答案：A
【详解】因为，，所以，，……，所以数列是以为周期的周期数列，
又
所以.
故选：A.
例题3．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，则的值为__________.
答案：
【详解】依题意，，
所以，
，
，
所以数列是周期为的数列，
所以.
故答案为：
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，，（且），则（ ）
A．B．2C．D．
答案：A
【详解】因为，，（且），
所以，，
，，
，，
所以的周期，所以.
故选：A.
2．(2023·全国·高二期中）数列中，，当时，等于的个位数字，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由题意可得，数列中项分别为：
故可知数列是周期为的周期数列，.
故选：C
3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则___________.
答案：2
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因此，，所以该数列的周期为3，
，
故答案为：2
类型八：根据数列的前项和求
典型例题
例题1．(2023·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
（1）当时，，
当时，，，
两式相减可得：，
检验：当时，，成立，可得数列的通项公式：.
例题2．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)；
(2).
（1）由，得
，即，
解得：(舍或.
（2）由，
得，
即或（舍）
当时，．
当时，．
验证时上式成立，
．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．
答案：.
【详解】对任意的，，
当时，则，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，
，
满足，
因此，对任意的，.
同类题型归类练
1．(2023·青海西宁·二模（文））数列满足，则______．
答案：
【详解】因为，
当时，，
当时，，
两式相减可得，即
当时，也成立，
综上可知，
故答案为：
2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）已知数列的前项和为，若.
(1)求，，；
(2)求数列的通项公式
答案：(1)，，；
(2)
(1)；
，∴；
，∴；
(2)当时，，
当时，，不满足上式，
∴.
3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，求数列的通项公式；
答案：
【详解】解：因为①
所以当时，，可得；
当时，，②
①-②得，所以，
当时也满足上式，
所以的通项公式为.
第五部分：新 定 义 问 题
1．(2023·北京市第十二中学高二阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）
A．2696B．2697C．2698D．2700
答案：A
【详解】解：由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以，
，
，
故选：A
2．(2023·全国·高三专题练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，．设．若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之差为（ ）
A．5B．C．0D．10
答案：C
【详解】若且，则，，为原位大三和弦，
即有，，；，，；，，；，，；，，，共5个；
若且，则，，为原位小三和弦，
可得，，；，，；，，；，，；，，，共5个，
个数差为0．
故选：C.
3．(2023·北京·高三专题练习）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ）
A．4B．6C．32D．128
答案：B
【详解】
所以不同值的个数为.
故选：B
4．(2023·浙江绍兴·模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是，则第11项和第12项之和是__________．
答案：132
【详解】由，
则第11项为，第12项为，第11项和第12项之和为.
故答案为：132.
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
2．(2023·河南·模拟预测（文））设数列满足且，则（ ）
A．B．C．D．3
答案：D
【详解】由题意可得：，，
，，
据此可得数列是周期为4的周期数列，
则.
故选：D
3．(2023·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
答案：A
【详解】依题意，因为，其中，当时，，
当时，，，两式相除有，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为
故选：A
4．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列满足：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满足条件的数列的通项公式_________．
答案：
【详解】设，则，，
当，数列单调递减，
当，数列单调递增，即，
可得当时数列取得最小值，
故答案为：
5．(2023·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
答案：##0.5
【详解】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.
故答案为：.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中
递减数列
常数列
2