2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.2等比数列的前n项和公式(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.2等比数列的前n项和公式(精讲)(原卷版+解析)，共40页。
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列前项和公式的应用
重点题型二：等比数列前项和的性质
重点题型三：分组求和法求数列的前项和
重点题型四：错位相减法求数列的前项和
重点题型五：等差数列与等比数列的综合问题
重点题型六：等比数列求和在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等比数列前项和公式
若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和
知识点二:等比数列前项和的性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时,
当是奇数时,
(3)
知识点三：错位相减法求数列的和
推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（ ）
A．86里B．172里C．96里D．192里
4．(2023·上海市复兴高级中学高一期末）已知等比数列，首项，公比为，前项和为；则____________．
5．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列前项和公式的应用
典型例题
例题1．(2023·甘肃白银·高三开学考试（文））设等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．128B．127C．64D．63
例题2．(2023·全国·高二课时练习）一个球从高度处自由落下，每次着地后又跳回到原来的再落下，当它第5次着地时共经过的路程是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的前项和，，其中，求数列的前项和．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知公比大于的等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求.
4．(2023·全国·高三专题练习）已知公差为正的等差数列的前项和为，若构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
重点题型二：等比数列前项和的性质
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）设等比数列中，前项和为，已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
例题2．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·全国·高二）设等比数列的前项和为，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．4
例题4．(2023·全国·高二）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
例题5．(2023·山东聊城一中高三期末）已知等比数列的公比，且，则___________.
同类题型归类练
1．(2023·辽宁·高二期中）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
2．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
3．(2023·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·湖北十堰·高二阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________.
5．(2023·江西·南昌十中模拟预测（文））已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______
6．(2023·全国·高二课时练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
重点题型三：分组求和法求数列的前项和
典型例题
例题1．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
例题2．(2023·江苏·高三开学考试）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，______.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
同类题型归类练
1．(2023·四川·成都七中高三开学考试（理））已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，，求数列的前n项和.
2．(2023·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和
重点题型四：错位相减法求数列的前项和
典型例题
例题1．(2023·宁夏吴忠·高一期中）等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
例题2．(2023·广东·南海中学高二阶段练习）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
例题3．(2023·山东·高三开学考试）设为数列的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
同类题型归类练
1．(2023·河南大学附属中学高二阶段练习（理））已知数列满足，（且）．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
2．(2023·湖南衡阳·高二期末）已知等比数列的前项和为，，是与18的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
重点题型五：等差数列与等比数列的综合问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，，成等差数列，求．
例题2．(2023·江苏南通·高三开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)（i）求证：；
（ii）求所有满足的正整数，.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且 ， .
(1)求和的通项公式；
(2)设 ，求数列的前n项和 .
2．(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已如数列前n项和为，若，且成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，求证：.
重点题型六：等比数列求和在传统文化中的应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C． D．
例题2．(2023·安徽滁州·高二期末）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（ ）
A．天B．天C．天D．天
例题3．(2023·安徽省宣城中学高二期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3B．4C．5D．6
例题4．(2023·全国·高三专题练习）毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
2．（2023·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．(2023·湖南·模拟预测）已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．(2023·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
5．(2023·四川巴中·模拟预测（理））已知数列的前项和为，若，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
4.3.2等比数列的前n项和公式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列前项和公式的应用
重点题型二：等比数列前项和的性质
重点题型三：分组求和法求数列的前项和
重点题型四：错位相减法求数列的前项和
重点题型五：等差数列与等比数列的综合问题
重点题型六：等比数列求和在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等比数列前项和公式
若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和
知识点二:等比数列前项和的性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时,
当是奇数时,
(3)
知识点三：错位相减法求数列的和
推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】解：由题意得：
设的公差为
又
又，
故选：D
2．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为，所以数列为等比数列，公比，
所以，解得：，
所以
故选：D
3．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（ ）
A．86里B．172里C．96里D．192里
答案：D
【详解】设此人第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可形成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．
故选：D．
4．(2023·上海市复兴高级中学高一期末）已知等比数列，首项，公比为，前项和为；则____________．
答案：
【详解】由已知得，
故答案为：.
5．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
答案：
【详解】由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等比数列前项和公式的应用
典型例题
例题1．(2023·甘肃白银·高三开学考试（文））设等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．128B．127C．64D．63
答案：D
【详解】由，解得，所以公比，所以．
故选：D
例题2．(2023·全国·高二课时练习）一个球从高度处自由落下，每次着地后又跳回到原来的再落下，当它第5次着地时共经过的路程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】解：由题设知当小球5次着地时共经过的米数：
．
故选：D．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】解：因为，，
当时，
当时，所以，即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故选：A
例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的前项和，，其中，求数列的前项和．
答案：
【详解】对于，
当时，，
当时，，
当时，上式也符合，所以.
所以.
由于，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
其前项和.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
故选:D．
2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【详解】因为，所以，即，解得或，
又，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
，所以C不正确；
由，得，，
所以，所以D正确．
故选:ABD
3．(2023·全国·高三专题练习）已知公比大于的等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求.
答案：(1)
(2)
（1）解：设等比数列的公比为，则，所以，，
整理可得，因为，则，.
（2）解：因为，且，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
4．(2023·全国·高三专题练习）已知公差为正的等差数列的前项和为，若构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
答案：(1)(2)
（1）由为正项等差数列，，得，则，
又构成等比数列，所以，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）由（1）知，所以，
又因为，
所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以数列的前项和
重点题型二：等比数列前项和的性质
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）设等比数列中，前项和为，已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
例题2．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
例题3．(2023·全国·高二）设等比数列的前项和为，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．4
答案：B
【详解】解：已知等比数列的前项和为，，
由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1
即成等比数列，
，，
.
故选：B.
例题4．(2023·全国·高二）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
答案：C
【详解】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
例题5．(2023·山东聊城一中高三期末）已知等比数列的公比，且，则___________.
答案：120
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
同类题型归类练
1．(2023·辽宁·高二期中）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
答案：A
【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
2．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
答案：C
【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C.
3．(2023·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
4．(2023·湖北十堰·高二阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________.
答案：##
【详解】设，因为为等比数列，所以，，成等比数列.
因为，，所以，解得或（舍去）.
所以，的等差中项为.
故答案为：.
5．(2023·江西·南昌十中模拟预测（文））已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______
答案：
【详解】设等比数列的公比为.
若，当为偶数时，，不合乎题意，所以，，
由等比数列片段和的性质可知，、、、成等比数列，
且公比为，所以，，，
因此，.
故答案为：.
6．(2023·全国·高二课时练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
答案：2
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比
故答案为2
重点题型三：分组求和法求数列的前项和
典型例题
例题1．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）∵为各项都不相等的等差数列，设的公差为，
，且，，成等比数列.所以，
解得，∴数列的通项公式.
（2）由（1）知，，记数列的前项和为，
则.
记，，
则，.
故数列的前项和.
例题2．(2023·江苏·高三开学考试）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，______.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
答案：(1)选①，；选②，
(2)
（1）选①，由及，可知，所以，
当时，有
.
当时，适合上式，故.
选②，由，得，所以为等差数列，
由，，得该数列的公差，
所以.
（2），∴，
则 ，
∴.
同类题型归类练
1．(2023·四川·成都七中高三开学考试（理））已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，，求数列的前n项和.
答案：(1)；
(2).
（1）由题设，则，即，
所以，而，易得，则，
故.
（2）由（1）知：，则，
所以.
2．(2023·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和
答案：(1)；(2)
（1）假设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
所以，即，因为，所以，
所以的通项公式为；
（2）因为，
所以
重点题型四：错位相减法求数列的前项和
典型例题
例题1．(2023·宁夏吴忠·高一期中）等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：（1）；（2）.
【详解】解：（1）设数列的公比为，
则，由
得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
例题2．(2023·广东·南海中学高二阶段练习）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：（1）；（2）
【详解】（1）
当时，，解得；
当时，
，
，
两式相减可得，，
解得，易知也符合上式，
综上所述，，.
（2）依题意：，
下面先求数列的前项和；
，
，
两式相减可得，
，
即
所以，
化简可得，，
故.
例题3．(2023·山东·高三开学考试）设为数列的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）解：因为是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，
当时，
当时，所以，当时也成立，
所以.
（2）解：由（1）可知，
记数列的前项和为，
所以，
所以，
所以
，
所以.
同类题型归类练
1．(2023·河南大学附属中学高二阶段练习（理））已知数列满足，（且）．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
答案：（1）证明过程详见解析，；（2）
【详解】（1）由两边除以，化简得，则数列为等差数列.其首项为，公差为，故，所以.
（2）由于，所以，
，两式相减得
，
化简得.
2．(2023·湖南衡阳·高二期末）已知等比数列的前项和为，，是与18的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
(1)由解得
所以的公比
故
(2)由（1）可知，，设数列的前项和为
则，
两式相减得
故.
重点题型五：等差数列与等比数列的综合问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，，成等差数列，求．
答案：(1)
(2)
（1）当时，；
当时，，
满足，故.
（2）设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，即①.
因为，所以②.
由①②及，可得.
所以
例题2．(2023·江苏南通·高三开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)（i）求证：；
（ii）求所有满足的正整数，.
答案：(1)，；
(2)（i）证明见解析；（ii）或.
（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，
设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）（i）由（1）知，，
当时，，此时数列是递减的，恒有，
当时，，此时数列是递增的，恒有，
又，，即，
所以，.
（ii）由（i）知，，当时，，若，则，解得，
即有，当时，，即，解得，
当时，，即，即，无整数解，
当时，，即，解得，
所以或.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且 ， .
(1)求和的通项公式；
(2)设 ，求数列的前n项和 .
答案：(1)
(2)
（1）设等差数列的公差为d，
因为，
所以 ，所以d=2，
所以 .
设等比数列的公比为q，因为,
所以 ，
所以q=3，所以 .
（2）由（1）知，，
所以 ，
所以 ，①
则 ,②
①-②得，
，
所以.
2．(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已如数列前n项和为，若，且成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，求证：.
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1），因为成等差数列，所以，
所以，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知.
一方面，；
另一方面，是递增数列，所以.
综上所述，.
重点题型六：等比数列求和在传统文化中的应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C． D．
答案：D
【详解】设该等比数列为,公比为q,则,故.
对于A：插入的第8个数为.故A正确；
对于B：插入的第5个数为，插入的第1个数为，所以.故B正确；
对于C：.
要证，即证，即证，即证，即证，
而成立，故C正确；
对于D：.
因为，所以，所以，所以，即，所以
故D错误.
故选：D
例题2．(2023·安徽滁州·高二期末）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（ ）
A．天B．天C．天D．天
答案：D
【详解】解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，
由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，
故，
即，
因为在上单调递增，当时，，而，
故的解为,故至少需要5天，
故选：D．
例题3．(2023·安徽省宣城中学高二期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3B．4C．5D．6
答案：B
【详解】解：设需要n天时间才能打穿，则，
化简并整理得，
令，则；，
又在单调递增，
∴在内存在一个零点，
∴至少需要4天时间才能打通．
故选：B．
例题4．(2023·全国·高三专题练习）毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________.
答案：##
【详解】由题意可得且，所以，数列为等比数列，且该数列的首项和公比均为，
因此，.
故答案为：.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
答案：D
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．（2023·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：A
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3．(2023·湖南·模拟预测）已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
【详解】令，则可得，故，
将两边同除得，
为递减数列，
，
可得，
所以，所以，
根据等比数列求和公式得，
综上，，
故选：C
4．(2023·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
5．(2023·四川巴中·模拟预测（理））已知数列的前项和为，若，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
答案：(1)；
(2).
（1）因为，故，
故即.
而，故，故，
故，且，故，
所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.
（2）,
故，
故，
所以，
所以.