2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.2导数的运算(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.2导数的运算(精练)(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·河南·高三阶段练习（文））设函数的图象在点处的切线为，当的斜率最大时，切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·河南·高三阶段练习（文））若的一条切线与直线平行，则的值可以是（ ）
A．B．C．2D．
6．(2023·湖北·荆州中学高三阶段练习）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为（ ）
A．0B．C．D．
7．(2023·陕西·西安中学高二阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·河北邢台·高三阶段练习）已知直线l是曲线与曲线的一条公切线，直线l与曲线相切于点，则a满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的导函数为，且，函数的图像与x轴恰有一个交点，则的取值可为（ ）.
A．3B．2C．1D．0
10．(2023·全国·高二课时练习）已知函数若，则实数的值可为（ ）
A．2B．C．D．4
三、填空题
11．(2023·广东·深圳中学高三阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为，则与轴交点的纵坐标为______．
12．(2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知函数的导函数是.若，则______.
四、解答题
13．(2023·陕西·西安中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
14．(2023·陕西安康·高二期末（文））已知，求：
(1)当时，求；
(2)当时，求a；
(3)在处的切线与直线平行，求a？
B能力提升
15．(2023·江苏常州·高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)过点作曲线的切线，若切线有且仅有1条，求实数的值．
16．(2023·浙江金华第一中学高二期中）（1）求函数在处的导数；
（2）已知函数的导函数为，且，求．
C综合素养
17．(2023·河南·南阳中学模拟预测（文））对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
5.2导数的运算（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】对于A，，故A不正确；
对于B，，B错误.
对于C，，C正确
对于D，，D错误.
故选：C
2．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】对函数求导，得，
所以，即函数的图像在点处的切线斜率为2，
所以函数的图像在点处的切线方程为，即.
故选：A
3．(2023·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】，，
则的瞬时速度为.
故选：B.
4．(2023·河南·高三阶段练习（文））设函数的图象在点处的切线为，当的斜率最大时，切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】依题意得，，
故切线的斜率，
所以当时，取得最大值12，
此时，即切点为，
所以切线的方程为，即.
故选：C.
5．(2023·河南·高三阶段练习（文））若的一条切线与直线平行，则的值可以是（ ）
A．B．C．2D．
答案：C
【详解】因为，所以，设切点为可得，
所以，
故选：C.
6．(2023·湖北·荆州中学高三阶段练习）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为（ ）
A．0B．C．D．
答案：A
【详解】，
，，
则曲线在点处的曲率为
故选：A.
7．(2023·陕西·西安中学高二阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】的导数为，
由于存在垂直于轴的切线，
可得有实数解，
即有，即有，
解得或．
故选：B
8．(2023·河北邢台·高三阶段练习）已知直线l是曲线与曲线的一条公切线，直线l与曲线相切于点，则a满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】记，得，记，得，
设直线与曲线相切于点，
由于是公切线，故可得，即，即，
又因为，即，
将代入，得，即，
整理得.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的导函数为，且，函数的图像与x轴恰有一个交点，则的取值可为（ ）.
A．3B．2C．1D．0
答案：AB
【详解】∵，
∴，∴，又∵，∴.
又由函数的图像与x轴恰有一个交点，
得，则，所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故可取的值是3和2.
故选：AB
10．(2023·全国·高二课时练习）已知函数若，则实数的值可为（ ）
A．2B．C．D．4
答案：BC
【详解】当时，，
解得，（舍去）；当时，，解得．
故选：BC
三、填空题
11．(2023·广东·深圳中学高三阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为，则与轴交点的纵坐标为______．
答案：
【详解】解：函数的导数为，
可得图象在点,处的切线斜率为，
且，
则切线方程为，
令，可得，与轴交点的纵坐标为
故答案为：．
12．(2023·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知函数的导函数是.若，则______.
答案：
【详解】，，解得：，
，.
故答案为：.
四、解答题
13．(2023·陕西·西安中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
答案：(1)
(2)
（1）
解：因为，则，
所以，，解得.
（2）
解：因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.
14．(2023·陕西安康·高二期末（文））已知，求：
(1)当时，求；
(2)当时，求a；
(3)在处的切线与直线平行，求a？
答案：(1)
(2)
(3)1
(1)
解：当时，，
(2)
解：由题知，
因为，所以，解得
所以
(3)
解：由（2）知，
因为在处的切线与直线平行
所以，解得.
此时，切线方程为：，即
满足与直线平行
所以.
B能力提升
15．(2023·江苏常州·高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)过点作曲线的切线，若切线有且仅有1条，求实数的值．
答案：(1)
(2)或1
（1）
，令，，，
故曲线在点处的切线方程为，分别令，
则，，则与两坐标轴交点为，，三角形面积为．
（2）
设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为
直线过点，则，化简得
切线有且仅有1条，即，化简得，
即，解得或1．
16．(2023·浙江金华第一中学高二期中）（1）求函数在处的导数；
（2）已知函数的导函数为，且，求．
答案：（1）10；（2）.
【详解】（1）函数，求导得：函数，
所以；
（2）因，两边求导得：，
当时，，解得，
所以.
C综合素养
17．(2023·河南·南阳中学模拟预测（文））对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
答案：(1)
(2)证明见解析，
（1）
∵，，∴令，
得.
有，∴“拐点”A为.
（2）
证明：设，是图像上任意一点，则.
，是关于“拐点”的对称点为.
把点坐标代入得左边，
右边，∴左边＝右边.
∴点在的图像上.
∴关于“拐点”A对称.
由对称性可得
.