2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展二：数列求和(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展二：数列求和(精讲)(原卷版+解析)，共67页。试卷主要包含了等差型，无理型，指数型，通项裂项为“”型等内容，欢迎下载使用。
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：倒序相加法
重点题型二：分组求和法
重点题型三：裂项相消法
角度1：等差型
角度2：无理型
角度3：指数型
角度4：通项裂项为“”型
重点题型四：错位相减法
重点题型五：奇偶项讨论求和
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
重点题型六：通项含绝对值数列求和
重点题型七：插入新数列混合求和
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
知识点二：分组求和法
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
知识点三：裂项相消法
1、等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
3、指数型
①
如：
4、通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
知识点四：错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
知识点五：奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
2、通项含有的类型；例如：
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：倒序相加法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知为等比数列，且，若，求的值．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
重点题型二：分组求和法
典型例题
例题1．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
例题2．(2023·四川·成都七中高三开学考试（理））已知公差不为0的等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，，求数列的前项和.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）在公差为2的等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
2．(2023·广东·南海中学高二阶段练习）已知数列的前n项和满足且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，数列的前n项和，求的值．
重点题型三：裂项相消法
角度1：等差型
典型例题
例题1．(2023·四川省高县中学校高二阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
例题2．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
例题3．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为．
(1)求和，并求时的表达式；
(2)令，数列的前项和为，求证：．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）若数列满足
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
2．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足，且数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式;
(2)已知，记数列的前项和为，求证:．
3．(2023·福建·厦门海沧实验中学高二期中）已知数列的前n项和为，且是和1的等差中项，等差数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
角度2：无理型
典型例题
例题1．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当，时，.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
2．(2023·黑龙江齐齐哈尔·一模（文））设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
角度3：指数型
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）设是等比数列的前项和，已知，
(1)求和；
(2)若，求数列的前项和．
例题2．(2023·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知数列的前项和为，______，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项和为，求证：.
同类题型归类练
1．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
3．(2023·广东·珠海市第二中学高二阶段练习）已知数列和的通项公式：，
(1)求数列的前n项和．
(2)求数列的前n项和．
4．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
角度4：通项裂项为“”型
典型例题
例题1．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和.
例题2．(2023·河北·石家庄二中高二期末）已知等差数列为递增数列，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和：
(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.
同类题型归类练
1．(2023·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．(2023·湖北·高二阶段练习）已知等差数列{}的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)令，设数列{}的前n项和，求.
重点题型四：错位相减法
典型例题
例题1．(2023·湖北·高三开学考试）已知数列前项和为，且.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
例题2．(2023·山西大附中高三阶段练习）在数列中，，，，其中.
(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；
(2)设，且，数列的前项和为，求；
同类题型归类练
1．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：.
2．(2023·湖南·高三开学考试）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
3．(2023·甘肃临夏·高二期末（理））已知等差数列．请你在①，②中选择一个求解．
①若，；②若，前3项和．
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
重点题型五：奇偶项讨论求和
角度1：求的前项和
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，点在曲线上．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
同类题型归类练
1．(2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）在等比数列中，公比，等差数列满足，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
2．(2023·江苏·高二期末）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，.
(1)求和的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
角度2：求的前项和
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
例题2．(2023·广东佛山·三模）设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．
(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例题3．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前项和为，且满足．
(1)求；
(2)设求数列的前项和．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，是数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
3．(2023·广东广州·高二期末）已知数列的前n项和为
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
重点题型六：通项含绝对值数列求和
典型例题
例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
例题2．(2023·广东·深圳实验学校高二阶段练习）设数列的前项和为，已知 ()．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项的和．
同类题型归类练
1．(2023·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知是数列的前项和，且．
（1）求；
（2）求数列的前项和为．
2．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
重点题型七：插入新数列混合求和
典型例题
例题1．(2023·重庆南开中学高二期末）已知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式及前项和；
(2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个构成新数列，求数列的前24项和．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，抽去数列的第3项､第6项､第9项､第项､，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前2023项和.
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
同类题型归类练
1．(2023·上海普陀·二模）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
2．(2023·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和中插入k个相同的数，构成一个新数列，，求的前45项和．
3．(2023·四川宜宾·高一期末）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)在0和之间插入n个数，使得这n＋2个数成等差数列且公差记为，求数列的前n项和．
拓展二：数列求和（精讲）（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：倒序相加法
重点题型二：分组求和法
重点题型三：裂项相消法
角度1：等差型
角度2：无理型
角度3：指数型
角度4：通项裂项为“”型
重点题型四：错位相减法
重点题型五：奇偶项讨论求和
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
重点题型六：通项含绝对值数列求和
重点题型七：插入新数列混合求和
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
知识点二：分组求和法
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
知识点三：裂项相消法
1、等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
3、指数型
①
如：
4、通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
知识点四：错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
知识点五：奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
2、通项含有的类型；例如：
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：倒序相加法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知为等比数列，且，若，求的值．
答案：2021
【详解】因为为等比数列，，所以，
因为，所以，
同理可得，
所以
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
答案：(1)
(2)
(3)
（1）
因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）
因为，所以，
所以.
（3）
由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
答案：
【详解】因为，
所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.
设 ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
答案：
【详解】因为，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以数列的通项公式为.
重点题型二：分组求和法
典型例题
例题1．(2023·四川·射洪中学高二开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）
∵为各项都不相等的等差数列，设的公差为，
，且，，成等比数列.所以，
解得，∴数列的通项公式.
（2）
由（1）知，，记数列的前项和为，
则.
记，，
则，.
故数列的前项和.
例题2．(2023·四川·成都七中高三开学考试（理））已知公差不为0的等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，，求数列的前项和.
答案：(1)；
(2).
（1）
由题设，则，即，
所以，而，易得，则，
故.
（2）
由（1）知：，则，
所以.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）在公差为2的等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
答案：(1)
(2)270
（1）由，得，所以，故．
（2）因为，所以，又，，，所以．
2．(2023·广东·南海中学高二阶段练习）已知数列的前n项和满足且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，数列的前n项和，求的值．
答案：(1)
(2)
(1)
当时，，解得或0（舍去）
当时，，，
两式相减得：，即，，
又因为，所以；所以，
即，数列是公差为1的等差数列，
(2)
因为，所以，，，…，所以
.
重点题型三：裂项相消法
角度1：等差型
典型例题
例题1．(2023·四川省高县中学校高二阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）
当时，，即，
当时，，
因为满足上式，
所以，
（2）
由（1）得，
所以数列的前n项和为
例题2．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）
解：因为，，
令 ， 则 ， 即， 解得，
由题知， 由， 两边同除以，得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）
解：由（1）及条件可得，
所以
例题3．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为．
(1)求和，并求时的表达式；
(2)令，数列的前项和为，求证：．
答案：(1)，，，；
(2)证明见解析
（2）由（1）可得当时，利用裂项相消法求和即可得证.
（1）
解：二次函数对称轴为，
当时函数单调递减，又，，
即在上的值域为，所以；
当时函数在上单调递减，在上单调递增，又，，
即在上的值域为，所以；
当时在上单调递增，
又，
所以，
（2）
解：由（1），
所以当时，
所以数列的前项和
.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）若数列满足
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
答案：(1)证明见解析
(2).
（1）
证明：因为an≠0，∵an＋1＝，
∴＝，∴－＝，
又a1＝，则＝2，
∴数列是以2为首项，为公差的等差数列.
（2）
由（1）知，＝2＋（n－1）＝，即an＝，
∴bn＝＝4，
∴Sn＝4
＝4＝.
2．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足，且数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式;
(2)已知，记数列的前项和为，求证:．
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
记数列的前n项和为，则．
当时．，
当时，，则，
∴．
（2）
由题意得，，
∴
．
3．(2023·福建·厦门海沧实验中学高二期中）已知数列的前n项和为，且是和1的等差中项，等差数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
答案：(1)，；(2).
（1）
∵是和1的等差中项，
∴，
当时，，∴,
当时，，
∴，即,
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，
∴，，
设的公差为d，，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴数列是一个递增数列，
∴，
综上所述，．
角度2：无理型
典型例题
例题1．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
答案：(1)
(2)
(1)
当时，，解得：；
当时，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
(2)
由（1）得：，，
.
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当，时，.
答案：(1)；
(2)证明见解析﹒
（1）
由题可知，，解得，∴；
（2）
，
，
，，
．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
答案：(1)
(2)
（1）
当时，，又，得，
由①
得②，①②两式相除可得，
则，且，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故.
（2）
当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
.
所以数列的前14项和为
.
2．(2023·黑龙江齐齐哈尔·一模（文））设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
答案：(1)
(2)
(1)
当时，，解得，
当时，，，
即，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
(2)
由（1）知，
，
所以
.
角度3：指数型
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）设是等比数列的前项和，已知，
(1)求和；
(2)若，求数列的前项和．
答案：(1)，；
(2)
（1）
设的公比为q，由题可得，又，所以，
又，所以，，
所以，；
（2）
由（1）得，
所以
例题2．(2023·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知数列的前项和为，______，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：(1)
(2)
（1）解：选①：当时，，，，时，，两式相减得，数列是以2为首项2为公比的等比数列， ；选②：，时，，两式相减得，即，又当时，，，满足上式，；选③：，时，，两式相除得，当时，，满足上式，；
（2）解：∵∴，∵对任意的，即对任意的都成立，∴对任意的都成立，，令，则，∵，，即，数列是递减数列，，，，∴的取值范围是.
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项和为，求证：.
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列
（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述
同类题型归类练
1．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
解：因为，所以，
两式相减得，
当时，， 又，所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）
证明：，
所以， 由，得，
所以，
综上，.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
答案：(1)
(2)Tn＝－1－.
（1）设数列的公比为q，依题意得，
所以即，
因为，所以，解得或，
因为，所以，
又因为，所以即，
所以；
（2）题意可得
，
则
.
3．(2023·广东·珠海市第二中学高二阶段练习）已知数列和的通项公式：，
(1)求数列的前n项和．
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
(1)
，，，
相减得，
所以．
(2)
因为，
所以
.
4．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
答案：(1)证明见解析
(2)8
（1）当时，，．当时，，两式相减得，即，，则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，，当时，，数列的通项公式为． ，，令，得，解得．
角度4：通项裂项为“”型
典型例题
例题1．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和.
答案：(1)
(2)数列的前2022项和为
（1）
设数列的公差为，则，
由题意可得：
解得：
∴数列的通项公式为；
（2）
由(1)，
，
设数列的前项和为，
所以数列的前2022项和
例题2．(2023·河北·石家庄二中高二期末）已知等差数列为递增数列，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和：
(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.
答案：(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
(1)
因为，所以，所以，
又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2，
所以.
(2)
因为，
所以①，
②，
①-②得，
；
(3)
，
记的前项和为，
则
，
当为奇数时随着的增大而减小，可得，
当为偶数时随着的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
同类题型归类练
1．(2023·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
答案：(1)证明见解析；
(2)
（1）
因为 ，所，
则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴，即；
（2）
，
则；
综上，， .
2．(2023·湖北·高二阶段练习）已知等差数列{}的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)令，设数列{}的前n项和，求.
答案：(1)
(2)
(1)
因为等差数列{}的公差为2，前n项和为，
所以，
因为，，成等比数列，
由题意得，解得，
所以
(2)
由题意可知，
当n为偶数时，
所以.
重点题型四：错位相减法
典型例题
例题1．(2023·湖北·高三开学考试）已知数列前项和为，且.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）
解：，
，
，
，
数列为等差数列，且，
又时，，
，
；
（2）
，
，
，
，
两式相减得，
，
，
，
.
例题2．(2023·山西大附中高三阶段练习）在数列中，，，，其中.
(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；
(2)设，且，数列的前项和为，求；
答案：(1)证明见解析
(2)
（1）
解：因为，，，
所以
，
又，所以数列是以为公差，为首项的等差数列；
（2）
解：由（1）可得，所以，
所以①，
②，
所以①②得
，
所以.
同类题型归类练
1．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：.
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
解：当时，，故.
当时，①，②，
由①②，得，可得，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，故.
（2）
解：，则，
所以，，
上述两个等式作差可得，
所以，.
2．(2023·湖南·高三开学考试）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
由得，两式相除得，
所以都是公比为2的等比数列，
由及得，
所以为奇数时，，
为偶数时，，
所以
（2）
，
则，
两式相减得，
所以，
因为，所以单调递增
所以成立，所以.
3．(2023·甘肃临夏·高二期末（理））已知等差数列．请你在①，②中选择一个求解．
①若，；②若，前3项和．
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
（1）
选择①，设数列的公差为d，
因为等差数列满足，，
得，解得所以；
选择②，设数列的公差为d，
因为等差数列满足，，
得，，得，得，所以；
（2）
由（1）可得，
所以，
，
两式相减得：，
，
化简得
重点题型五：奇偶项讨论求和
角度1：求的前项和
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，点在曲线上．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
答案：(1)证明见解析
(2)
（1）
因为点在曲线上，
所以，．
当时，；
当时，，
当时上式也成立，
所以数列的通项公式为，
，
所以数列为等差数列．
（2）
由（1）知，，，
故数列的前项和
．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
答案：(1)
(2)
（1）
当为奇数时，，
所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，
所以，
当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；
（2）
.
同类题型归类练
1．(2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）在等比数列中，公比，等差数列满足，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
答案：(1)；；
(2)
（1）
设等差数列的公差为，
因为等比数列的公比为（），，，，
所以，则，解得或（舍）
所以数列的通项公式为：；
数列的通项公式为；
（2）
由（1）可得，
所以数列的前项和
.
2．(2023·江苏·高二期末）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，.
(1)求和的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和.
答案：(1)，；
(2)．
(1)
设公差为d，公比为q，由，以及，即，而，解得：，，所以，．
(2)
3．(2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）变形为，因为，所以，故；
（2）当为奇数时，，当为偶数时，，则
角度2：求的前项和
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
答案：(1)，
(2)
（1），当时，，，解得．又，，，当时，，当时上式也成立，．
（2）数列满足，且．,，当为偶数时，数列的前项和为．当为奇数时，数列的前项和为,当时也成立， ．
例题2．(2023·广东佛山·三模）设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．
(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
答案：(1)；证明见解析；
(2)
(1)由题意可知，，且，解得：或（舍去）
又当时，，所以有
化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列
所以
(2)
由(1)可知
当时，
当时，
则，
①当是奇数时，
②当是偶数时，
综上所述：
例题3．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前项和为，且满足．
(1)求；
(2)设求数列的前项和．
答案：(1)
(2)
(1)
当时，，
当时，因为，
所以，
得，
所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，
得；
(2)
，
当n为偶数时，
，
当n为奇数时，
，
所以
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，是数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
答案：(1)
(2).
（1）
解：设数列的首项为，公差为d，
因为，，则，解得，故．
（2）
解：由（1）得．
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
所以．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
答案：(1)证明见解析
(2)
（1）证明：因为，，所以，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；
（2）解：由（1）可得，即，则.当n为偶数时，，则，当n为奇数时，则，综上所述，.
3．(2023·广东广州·高二期末）已知数列的前n项和为
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
（1）
解：当时，，两式作差，整理得，
当时，，所以，
故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）
由（1）得，，
当时，，
当时，
，
综上，
重点题型六：通项含绝对值数列求和
典型例题
例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
答案：(1)证明见详解；
(2)
(3)，，理由见详解
（1）因为，
又，
∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）由，得，即时，；时，，
∴
（3）
由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.
例题2．(2023·广东·深圳实验学校高二阶段练习）设数列的前项和为，已知 ()．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项的和．
答案：（1）；（2）.
【详解】解：（1）当时

当时
…

（2）数列前3项都小于0，第4项等于0， 从第5项开始都大于0
当时

当时

同类题型归类练
1．(2023·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知是数列的前项和，且．
（1）求；
（2）求数列的前项和为．
答案：（1），；（2）.
【详解】（1）由，可得，
时，，对也成立，
可得，；
（2）当时，，即有；
当时，，，
即有．
2．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
答案：(1)；
(2).
(1)
由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
(2)
由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
重点题型七：插入新数列混合求和
典型例题
例题1．(2023·重庆南开中学高二期末）已知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式及前项和；
(2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个构成新数列，求数列的前24项和．
答案：(1)，
(2)
(1)设等差数列的公差为，则，
，且，，成等比数列，
∴且，
解得或（舍），，且．
(2)由题意可知，新数列为，，，，，，，，，，…按照此规律，
假设第24项在与之间，
则，解得当时，
数列的前24项和
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，抽去数列的第3项､第6项､第9项､第项､，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前2023项和.
答案：(1)
(2)
（1）由题意，，整理得，解得或，
因为公比，所以，则，
所以，；
（2）由（1）可得，
当时，
，
当时，，
故.
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
答案：(1)；.
(2)（i）；（ii）存在；和.
（1）设的公差为，，则，解得，所以.由得，得，，所以，所以，即，所以.综上所述：；.
（2）（i）依题意得，，，，，，所以令，则，所以，所以，所以，所以，（ii）假设存在正整数，，使，即，即成立，因为，所以，所以，所以，令，则，所以数列单调递减，，，，当时，，所以由，得；由，得，所以存在正整数，，使，且所有的正整数对为：和.
同类题型归类练
1．(2023·上海普陀·二模）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
答案：(1)，
(2)8152
（1）解：设等比数列的公比为，则，解得，则等比数列的通项公式为，.
（2）解：数列中在之前共有项，当时，，当时，，则.则所求的数列的前项和为.
2．(2023·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和中插入k个相同的数，构成一个新数列，，求的前45项和．
答案：(1)；
(2)18.
(1)
由，
当时，，解得：，
当时，，，
所以，，即，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以的通项公式为：．
(2)
在和中插入k个相同的数，构成一个新数列，，
其项数为，
由，可得，
3．(2023·四川宜宾·高一期末）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)在0和之间插入n个数，使得这n＋2个数成等差数列且公差记为，求数列的前n项和．
答案：(1)证明见解析，；
(2).
(1)因数列满足，，有，因此，，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，有，
数列的通项公式为.
(2)由（1）知，，依题意，，
因此，，
所以数列的前n项和.