2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展六：利用导数研究双变量问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展六：利用导数研究双变量问题(精讲)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了导数中求解双变量问题的一般步骤，破解双参数不等式的方法等内容，欢迎下载使用。
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：分离双参，构造函数
重点题型二：糅合双参（比值糅合）
重点题型三：糅合双参（差值糅合）
重点题型四：变更主元法
第三部分：高考（模拟）题体验
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：分离双参，构造函数
1．(2023·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高二）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
4．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习），均有成立，则的取值范围为___________.
5．(2023·安徽·六安一中高三阶段练习）设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
6．(2023·山东·高三阶段练习）设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
7．(2023·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在的函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于，，使得成立，求实数a的取值范围．
重点题型二：糅合双参（比值糅合）
1．(2023·福建省福州高级中学高三阶段练习）已知函数.且函数有两个零点，
(1)求实数a的取值范围；
(2)设的两个零点，且，求证：.
2．(2023·全国·高三专题练习）设，函数，若有两个相异零点，求证：.
3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
4．(2023·宁夏·银川二中一模（理））已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
5．(2023·广西玉林·高二期末（理））已知函数．
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异零点，求证：.
7．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证.
重点题型三：糅合双参（差值糅合）
1．(2023·河南河南·模拟预测（理））设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点和，设，证明：（为的导函数）.
2．(2023·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）函数.
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有两个不相等的实数解，，证明.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
重点题型四：变更主元法
1．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数.
(1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求x的取值范围.
2．(2023·福建省德化第一中学高二期末）设函数.
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.
4．(2023·全国·高一专题练习）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围．
拓展六：利用导数研究双变量问题（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：分离双参，构造函数
重点题型二：糅合双参（比值糅合）
重点题型三：糅合双参（差值糅合）
重点题型四：变更主元法
第三部分：高考（模拟）题体验
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：分离双参，构造函数
1．(2023·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】解：设，因为对，当时都有恒成立，
等价于，即，
令，则，所以在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
又，，且，
所以，
所以，解得，
故选：A.
2．(2023·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】不妨设，可得，可得，
令，则，
所以，函数在上为增函数，
对任意的恒成立，所以，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
3．(2023·全国·高二）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
答案：14,+∞##k|k≥14
【详解】因为对任何，，
所以对任何，，
所以在上为减函数.
，，
所以恒成立，即对恒成立，
所以，
所以.
即的取值范围是.
故答案为：.
4．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习），均有成立，则的取值范围为___________.
答案：
【详解】不妨设，则，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，则，
因为，所以在上单调递减，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
所以，因为在上单调递减，
所以，
所以，
故答案为：
5．(2023·安徽·六安一中高三阶段练习）设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
答案：(1) 当时，，此时在上单调递减，在上单调递增；
当时，，此时在上单调递增，在上单调递减；
(2)
【详解】(1) )令，所以，
当时，，此时在上单调递减，在上单调递增；
当时，，此时在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，在上单调递减，在单调递增.
所以对任意，有，
又已知存在，使，所以
即存在，使
即
又因为当，
所以，
即实数的取值范围.
6．(2023·山东·高三阶段练习）设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）极小值为；（2）.
【详解】（1）因为，则.
曲线在点处的切线与直线平行，此切线的斜率为，
即，解得，则，
，
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，故的极小值为；
（2）对任意，恒成立等价于：对任意，
恒成立，
设，
则对任意，，即，
所以，函数在上单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故实数的取值范围是.
7．(2023·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在的函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于，，使得成立，求实数a的取值范围．
答案：（1）；（2）．
【详解】（1）设，则，所以，又是奇函数，所以，所以，又，所以
（2）由题意得．
当时，，所以在上单调递增，
所以；
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以．
对于，因为，，所以，当且仅当即时等式成立．
所以，
所以，整理得，
所以实数a的取值范围是．
重点题型二：糅合双参（比值糅合）
1．(2023·福建省福州高级中学高三阶段练习）已知函数.且函数有两个零点，
(1)求实数a的取值范围；
(2)设的两个零点，且，求证：.
答案：(1)；
(2)证明见解析.
（1）
函数的定义域为，对函数求导得，
当时，，函数在上单调递增，至多有一个零点，不成立；
当时，，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，
故若函数有两个零点，则极大值，
解得：.
故实数a的取值范围是.
（2）
由(1)可知，
因是函数的两个零点，则，即，，
要证，两边同时取自然对数，只需证明，
只需证明，即证，
只需证，即证，
令，而，则，只需证明，
令函数，，求导得：
令函数，，求导得，
则函数在上单调递增，于是有，
因此，函数在上单调递减，则，即成立，
所以原不等式得证.
2．(2023·全国·高三专题练习）设，函数，若有两个相异零点，求证：.
答案：证明见解析
【详解】由已知得，，
所以，
所以要证，即证，
即证，
设，令，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，即，即
所以原题得证.
3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
答案：(1)当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数；
(2)；详见证明过程．
(1)
的定义域为，且，
当时，成立，所以在为增函数，
当时，
①当时，，所以在上为增函数，
②当时，，所以在上为减函数；
综上：当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数，
(2)
结合（1），当时，取得极小值，
又∵函数有两个零点，∴，可得，
综上所述，；
下面证明结论成立：
不妨设，
设，，
可得，，
∴在上单调递增，
∴，即，，，
∴当时， ，
又∵，，∴，
又∵当时，单调递增，
∴，即，
设，，则，两式相比得，
即，∴，
又∵，
令，则，
令，则，
则在内单调递减，即，即，
故，故在上单调递减，
∴，
∴，即；
综上所述，．
4．(2023·宁夏·银川二中一模（理））已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
答案：(1)单调递增区间为，无单调递减区间
(2)证明见解析
(1)
解：依题意，.
令，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
(2)
证明：要证，即证.
依题意，、是方程的两个不等实数根，不妨令，
因为，故，
两式相加可得，
两式相减可得，
消去，整理得，故，
令，故只需证明，即证明，
设，故，故在上单调递增，
从而，因此.
故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
5．(2023·广西玉林·高二期末（理））已知函数．
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：．
答案：(1)；
(2)证明见解析.
(1)
当时，，
则，，
所以，则曲线在点处的切线方程为：
，即；
(2)
由，
得函数的定义域为R，
，
由题意知，方程有3个根，
则，方程有2个根，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
作出函数的大致图象，如图，
由图可知，当时，函数图象有2个交点，
横坐标分别为，且，
要证明，即证，即证，
因为，得，有，即.
下面证明，即证，
设，令，则，，令，
，所以函数在上单调递减，
故，所以；
接下来证明，即证，设，
令，则，，令，
，所以函数在上单调递增，
故，所以，
综上，得，
即，所以，故，
所以.
6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异零点，求证：.
答案：（1）时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.
【详解】解：由题意得，
①时，恒成立，
所以，所以在单调递增.
②时，在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增.
综上，时，在单调递增.
时，在单调递减，在单调递增.
（2）因为有两个相异零点，，由（1）可知，，
不妨设，因为，，
所以，，
所以，
要证，
即证，
等价于证明，而，
所以等价于证明，
也就是. （*）
令，则，
于是欲证（*）成立，等价于证明成立，
设函数，
求导得，
所以函数是上的增函数，
所以，
即成立，
所以成立.
7．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.
答案：（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，则，设，则，
易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，
∴，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
（2）依题意，，则
两式相除得，，设，
则，，，∴，，
∴，
设（），
则，
设，则，
所以在单调递增，
则，
∴，则在单调递增，
又，且
∴，
∴，即的最大值为.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证.
答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）解：的定义域为
令，方程的判别式，
（i）当，即时，恒成立，
即对任意，
所以在上单调递增.
（ii）当，即或
①当时，恒成立，即对任意，
所以在上单调递增.
②当时，由，解得
所以当时，当时，当时，，
所以在上，
在上，
所以函数在和上单调递增；
在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：
由，可得
得，因此，
因为，
令，则，
所以，所以，
要证明，只需证
即证
由（1）可知，时，在上是增函数，所以当时，，而，因此成立所以
重点题型三：糅合双参（差值糅合）
1．(2023·河南河南·模拟预测（理））设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点和，设，证明：（为的导函数）.
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）
解：因为，则，
若，对任意的，则，函数的单调递减区间为；
若，令，得，
当时，，当时，.
所以的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）
证明：不妨令，由题设可得，
两式相减整理可得.
所以，
要证，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，即，故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．(2023·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）函数.
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有两个不相等的实数解，，证明.
答案：(1)
(2)证明见解析
(1)
解：函数，则，
要使恒成立，需使得为函数的最小值点，
由
①当时，，此时在R上单调递减，不符合题意；
②当时，令得，令得
∴在单调递减，在单调递增，
∴时取最小即
∴
(2)
解：若有两个不相等的实数解，，
则，，
两式相减得：，即，
故要证，只需证：，
即证：，即证：，
不妨设，令，，
则需证：，
设，，则，，
设，，则，当时取等号，
即，单调递减，故，
即是，单调递减函数，故，
即成立，故原不等式成立.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
答案：（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．
【详解】解：（1），
，
（i）当时，，函数在上递减；
（ii）当时，令，解得；令，解得，
函数在递减，在递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增；
（2）证明：，依题意，不妨设，则，
两式相减得，，
因为，要证，即证，即证，
两边同除以，即证.
令，即证，
令，则，
令，则，
当时，，所以在上递减，
，在上递减，
，即，
故．
重点题型四：变更主元法
1．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数.
(1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求x的取值范围.
答案：(1)；
(2)或.
（1）
解法一：对任意的，恒成立，即恒成立，
即对任意的恒成立.
①当时，不等式为恒成立，此时；
②当时，，
∵，∴，
∴，
当且仅当时，即时取“=”，
∴，
综上，a的取值范围为；
解法二：由题可得对任意成立，
所以，
对于二次函数，对称轴为轴，
当时，函数在上单调递增，
则，
解得；
当时，则，
解得；
当时，函数在上单调递减，
则，无解，
综上，a的取值范围为；
（2）
由题可得，
则当时，不等式恒成立，
则，
整理得：，
解得：或，
∴x的取值范围为或.
2．(2023·福建省德化第一中学高二期末）设函数.
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.
答案：(1)
(2)
(1)
若不等式对于一切实数恒成立，
①当时，，恒成立，符合题意，
②当时，只需，
解得，
综上所述，的取值范围是；
(2)
若不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
则只需，即，
解得，或，
所以的取值范围是.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）若对于任意,恒成立，
则有，解得；
（2）由于对于任意，恒成立，故．
又函数的图象的对称轴方程为，
当时，，求得无解；
当时，，求得；
当时，，求得．
综上可得，的范围为；
（3）若对于任意，恒成立，等价于，
∴，求得，即的范围为．
4．(2023·全国·高一专题练习）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围．
答案：
【详解】由得
令，这是关于m的一次函数，
由于一次函数为单调函数，
所以当时，函数值恒为负，即
解该不等式组得