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湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题(Word版附解析)
展开这是一份湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题(Word版附解析),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.若复数是纯虚数,则实数a的值为( )
A.0B.1C.-1D.
2.已知一组数据4,8,9,3,3,5,7,9,则( )
A.这组数据的上四分位数为8B.这组数据没有众数
C.这组数据的极差为5D.这组数据的平均数为6
3.已知,为实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.在三角形中,,则( )
A.10B.22C.D.
5.已知,则( )
B. C. D.
6.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童,其中上,下底面均为正方形,且边长分别为8和4,侧面是全等的等腰梯形,且梯形的高为,则该盆中最多能装的水的体积为( )
A.B.C.D.448
7.已知函数是定义在上周期为4的奇函数,且,则不等式在上的解集为( )
A.B.
C.D.
8.在中,,为外心,且,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多选题
9.在棱长为 1 的正方体中,分别为棱的中点,则( )
A.直线与是异面直线
B.直线与所成的角是
C.直线平面
D.平面截正方体所得的截面面积为.
10.已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.直线为图象的一条对称轴
D.将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象
11.已知函数其中,且,则( )
A.B.函数有2个零点
C.D.
三、填空题
12.数据的方差为1,则数据的方差为 .
13.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马,侧棱底面为棱的中点,则直线与平面所成角的余弦值为 .
14.设定义在上的函数的值域为A,若集合A为有限集,且对任意,存在,使得,则满足条件的集合A的个数为 .
四、解答题
15.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数,以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中
的值;
(2)求理科综合分数的中位数;
16.已知为虚数单位,是实系数一元二次方程的两个虚根.
(1)设满足方程,求;
(2)设,复数所对的向量分别是与,若向量与的夹角为钝角,求实数的取值范围.
17.已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若,恒成立,求实数m的取值范围.
18.如图,已知是圆柱下底面圆的直径,点是下底面圆周上异于的动点,,是圆柱的两条母线.
(1)求证:平面;
(2)若,,圆柱的母线长为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.已知函数为偶函数.
(1)求的值;
(2)若,判断在的单调性,并用定义法给出证明;
(3)若在区间上恒成立,求的取值范围.
参考答案:
1.A
【分析】根据纯虚数的概念列方程求解.
【详解】根据题意,复数是纯虚数,
所以且,解得.
故选:A
2.D
【分析】根据给定条件,结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即得.
【详解】对于A,给定数据由小到大排列为3,3,4,5,7,8,9,9,而,
所以这组数据的上四分位数为,A错误;
对于B,这组数据的众数是3和9,B错误;
对于C,这组数据的极差为6,C错误;
对于D,这组数据的平均数为,D正确.
故选:D
3.A
【分析】利用不等式的等价思想,作差分析,结合充分性与必要性进行推理即可.
【详解】由,得,
所以,充分性成立;
由,得,不妨取满足不等式,
所以推不出,从而得不到,必要性不成立.
故选:A.
4.B
【分析】根据数量积的运算律计算即可.
【详解】.
故选:B.
5.【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦函数图象的对称性得,再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】因为,
所以,即,,
所以.
故选:B
6.B
【分析】根据题意可知,这个刍童为棱台,求出棱台的高,再根据棱台的体积公式即可得出答案.
【详解】根据题意可知,这个刍童为棱台,
如图,为垂直底面的截面,
则棱台的高为,
所以该几何体的体积为,
即该盆中最多能装的水的体积为.
故选:B.
7.B
【分析】由函数的图象向右平移1个单位长度,作出函数在上的图象,结合图象,即可求解.
【详解】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数,且,
所以当时,;
当时,,所以;
当时,,所以,
函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到,
作出函数在上的图象,如图所示.
由图可知不等式在上的解集为.
故选:B.
8.A
【分析】
根据三角形外心性质及数量积的几何意义,可得在方向上的投影向量为,从而求得,再根据余弦定理及基本不等式可求得最值.
【详解】
由O为△ABC外心,可得在方向上的投影向量为,
则,故,
又,设,
则
,
当且仅当时等号成立,
由可知,,
故的最大值为.
故选:A.
9.ABD
【分析】根据异面直线成角,线面垂直的判定定理,梯形面积公式逐项判断即可.
【详解】对于A,由于平面,平面,
故直线与是异面直线,故A正确;
对于B,如图,连接,因为分别为棱的中点,所以,
所以直线与所成的角即为直线与所成的角,
又因为是等边三角形,所以直线与所成的角为,
故直线与所成的角是,故B正确;
对于C,如图,假设直线平面,又因为平面,所以,而,这三边不能构成直角三角形,
所以与不垂直,故假设错误,故C错误;
对于D,如图,连接,因为,所以,
所以平面截正方体所得的截面为梯形,
且,所以梯形的高为,
所以截面面积为,故D正确.
故选:ABD.
10.ACD
【分析】根据函数的图象,求得,可得判定A正确,B不正确,再结合三角函数的性质,以及三角函数的图象变换,可判定C、D正确.
【详解】由函数的图象,可得,可得,则,
又由,所以,
又由,即,
因为,所以,可得,所以,
所以A正确;B不正确;
对于C中,由为函数的最大值,
所以直线为图象的一条对称轴,所以C正确;
对于D中,将图象上的所有点向左平移个单位长度,
可得,所以D正确.
故选:ACD.
11.ACD
【分析】先作出函数图象,结合图象逐一判定即可.
【详解】解:,故A正确;
作出函数的图象如图所示,
观察可知,,而,
故,有3个交点,
即函数有3个零点,故B错误;
由对称性,,而,
故,故C正确;
b,c是方程的根,故,
令,则,
故,而,均为正数且在上单调递增,
故,故D正确,
故选:ACD.
12.4
【分析】直接利用方差公式求解即可.
【详解】设的平均数为,
则的平均数为,
所以的方差为:
.
故答案为:4.
13./
【分析】首先证明平面,再根据线面角的定义,即可作出线面角的平面角,再计算这个平面角的大小.
【详解】
因为平面ABCD,平面ABCD,故可得,
又,,平面,故平面,
连接,故即为所求直线与平面所成角.
由,故在直角三角形中,,故,
则,则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为,
故答案为:.
14.5
【分析】根据题意,得到A中最大元素不超过1,最小元素不小于,再跟进集合元素的个数,分类讨论,结合集合中元素的性质,即可求解.
【详解】解:若A中最大元素为大于1的元素为a,则,不满足题意,
故A中最大元素不超过1,同理可得A中最小元素不小于,
若集合A中只有一个元素a,则,可得或,所以或,
若集合A中有两个元素,则或,
当时,可得(舍去)或,此时,可得,所以;
当时,,所以,可得,截得,所以,
所以或(舍去),所以;
若集合A中有三个元素,则或或,
当时,或(舍),此时,,,
所以,或,解得,,(舍去),
当时,,,可得,,所以,,即,
其集合A中有四个或四个以上元素,
则由上推导可得,,,矛盾,即此时A无解.
综上,所满足条件的集合A可以为,共5个.
故答案为:5.
15.(1)
(2)224
【分析】(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程,解得即可;
(2)首先判断中位数在内,再设出未知数,列出方程,解得即可.
【详解】(1)由频率分布直方图可得,
解得:.
(2)由于,,
因此理科综合分数的中位数在内,
设中位数为,由,
解得,
∴月平均用电量的中位数为224.
16.(1)或
(2)
【分析】(1)设出的代数形式根据复数相等可得答案;
(2)求出与的坐标,根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案.
【详解】(1)不妨设,则,
因为满足方程,
所以,
可得,
所以,解得,
所以,或;
(2)设,则,
因为复数所对的向量分别是与,
所以,,
可得,
,
若向量与的夹角为钝角,
则,且,
即,且,
解得,,
实数的取值范围是.
17.(1)
(2)
【分析】(1)变形得到,结合得到,求出解集;
(2)换元后得到对任意恒成立,由基本不等式求出最小值,得到答案.
【详解】(1)当时,可得,
即,
整理为,
因为,
所以,解得,
所以不等式的解集为;
(2)因为,令,可得,
由,可得,
,恒成立,即对任意恒成立,
又因为,当且仅当,即时取等,
所以,
即实数m的取值范围为.
18.(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)先证明线面垂直,通过线面垂直得到线线垂直,再证线面垂直,最后得到面面垂直即可;
(2)先作出底面的垂线,再由垂足作两个面的交线的垂线,最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可.
【详解】(1)因为是底面的一条直径,是下底面圆周上异于的动点,
所以,
又因为是圆柱的一条母线,所以底面,
而底面,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,
又因为,所以平面平面;
(2)如图所示,
过作圆柱的母线,连接,
因为底面//上底面,所以即求平面与平面所成锐二面角的大小,
因为在底面的射影为,且为下底面的直径,所以为上底面的直径,
因为是圆柱的母线,所以平面,
又因为为上底面的直径,所以,而平面,
所以为平面与平面所成的二面角的平面角,
又因为在底面射影为,所以,,
所以,又因为母线长为,所以,
又因为平面,平面,所以,
所以,
所以,
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19.(1)
(2)单调递增,证明见解析
(3)
【分析】(1)根据,得到方程,求出;
(2)先得到,定义法判断函数单调性步骤,取值,作差,判号,下结论;
(3)参变分离得到,构造,换元后得到,根据单调性求出其最值,得到结论.
【详解】(1)定义域为R,
,
由于函数为偶函数,所以,
即,即,
即恒成立,
.
(2)已知函数,由于函数在上单调递增,
由第(1)问可得,因此
不妨设,,且
则
因为,因此,由因为,,因此,
所以,故,所以函数在单调递增.
(3)由题得在区间上恒成立,即在区间上恒成立,
因为,所以,所以在区间上恒成立,
令,令,
则,
因为在单调递增,
所以函数在上单调递减,故.
.
对任意的恒成立,且,
.
实数的取值范围是.
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