高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题01含参数及创新定义的集合问题(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题01含参数及创新定义的集合问题(原卷版+解析)，共28页。
一．解决与集合有关的创新题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
二．解决与集合有关的参数问题的对策
（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
【典型例题】
例1．(2023·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值不可以是（ ）
A．0B．C．D．2
例2．(2023·全国·高一专题练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
例3．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
例4．(2023·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合，且，实数a的值为 （ ）
A．0B．1C．D．2
例5．(2023·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
例6．(2023·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____．
例7．(2023·全国·高一专题练习）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：
①集合A＝{0}为闭集合；
②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；
③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中所有正确结论的序号是__．
例8．(2023·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合，集合．
（1）求A∩B；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
例9．(2023·全国·高一专题练习）设集合， ．
（1）若，试求；
（2）若，求实数的取值范围．
例10．(2023·全国·高一专题练习）已知集合，．
（1）求集合；
（2）当时，求；
（3）若，求的取值范围．
例11．(2023·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合．
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
例12．(2023·北京·高二期末）设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集．
（1）当时，写出集合的积集；
（2）若是由个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江西省铜鼓中学高一期末（理））表示集合中整数元素的个数，设，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．(2023·河南焦作·高一期中）两个集合A与B之差记作A－B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，已知A＝{2，3}，B＝{1，3，4}，则A－B等于（ ）
A．{1，4}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}
3．(2023·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，这种有理数的分割就是数学史上有名的戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是（ ）
A．有最大元素，有一个最小元素
B．没有最大元素，也没有最小元素
C．没有一个最大元素，有一个最小元素
D．有一个最大元素，没有最小元素
4．(2023·全国·高一单元测试）定义集合运算：．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·江苏·高一期末）已知全集，集合或，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·江苏·高一单元测试）设集合，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则有4个元素
D．若，则
7．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，．设集合中有个元素，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·江西·兴国县将军中学高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
9．(2023·陕西·西安一中高一期中）已知集合，，若，则实数a满足（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，，，则（ ）
A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9
11．(2023·全国·高一单元测试）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
12．(2023·北京八中高一期中）对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为普通加法；③（其中M是任意非空集合，运算“”为求两个集合的交集．（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
二、多选题
13．(2023·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D．关于数的加法构成群
14．(2023·全国·高一期中）如图，集合是全集，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，则可表示为（ ）
A．B．
C．D．
15．(2023·河北·石家庄外国语学校高一期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，若与构成“偏食”，则实数取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．4
16．(2023·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2B．C．D．0
17．(2023·全国·高一单元测试）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
18．(2023·浙江·金华市曙光学校高一期中）在上定义运算，若关于的不等式的解集是集合的子集，则整数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．D．2
三、填空题
19．(2023·江西省崇义中学高一期中）若集合，，且，则实数的值为_____
20．(2023·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）设是实数，集合，若，则的取值集合是_______．
21．(2023·河南·林州一中高一开学考试）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____．
22．(2023·福建·福州三中高一开学考试）已知集合A={aR|（x﹣1）a2+7ax+x2+3x﹣4=0}，{0}A，则x的值为___________．
23．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推．若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________．
四、解答题
24．(2023·全国·高一单元测试）已知实数集R的子集S满足条件：①；②若，则．求证：
（1）若，则S中必有另外两个元素；
（2）集合S中不可能只有一个元素．
25．(2023·湖南永州·高一期末）已知集合，．
（1）求；
（2）定义且，求．
26．(2023·全国·高一期中）已知集合．
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）若，试判断是否属于集合，并说明理由．
27．(2023·北京·高一期末）已知集合，．
（1）求集合；
（2）当时，求；
（3）若，求的取值范围．
28．(2023·湖南益阳·高一期末）设集合，，．
（1）求；
（2）若_________，求实数m的取值范围．
请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如多选，则按第一个选择的解答给分）
29．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
微专题01 含参数及创新定义的集合问题
【方法技巧与总结】
一．解决与集合有关的创新题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
二．解决与集合有关的参数问题的对策
（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
【典型例题】
例1．(2023·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值不可以是（ ）
A．0B．C．D．2
答案：D
【解析】由题意，，因为，所以，若，则，满足题意；
若，则，因为，所以或，则或．
综上：或或．
故选：D．
例2．(2023·全国·高一专题练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
答案：C
【解析】对子集A分类讨论：
当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；
当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，
根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．
故选：C．
例3．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
答案：BCD
【解析】，，，
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，，
A不正确；B正确；而，C，D都正确．
故选：BCD
例4．(2023·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合，且，实数a的值为 （ ）
A．0B．1C．D．2
答案：ABC
【解析】由题设，又，故，
当时，；
当时，1或2为的解，则或．
综上，或或．
故选：ABC
例5．(2023·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
答案：或
【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或．
故答案为：或
例6．(2023·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____．
答案：13
【解析】∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；
当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，
∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}
＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），
（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，
共13个元素，
故答案为：13
例7．(2023·全国·高一专题练习）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：
①集合A＝{0}为闭集合；
②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；
③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中所有正确结论的序号是__．
答案：①③
【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确；
②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；
③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；
④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．
正确结论的序号是①③．
故答案为：①③．
例8．(2023·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合，集合．
（1）求A∩B；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
【解析】（1）或，或，
所以；
（2）由得，所以，解得．
例9．(2023·全国·高一专题练习）设集合， ．
（1）若，试求；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，解得或，
．
当时，得解得或
；
∴．
（2）由（1）知，，，
于是可分为以下几种情况．
当时，，此时方程有两根为，，则
，解得．
当时，又可分为两种情况．
当时，即或，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，解得，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，此时方程组无解，
当时，此时方程无实数根，则
，解得．
综上所述，实数a的取值为．
例10．(2023·全国·高一专题练习）已知集合，．
（1）求集合；
（2）当时，求；
（3）若，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，
故或
（2）当时，
故
（3）由（1）或
若，则
解得
例11．(2023·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合．
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254．
（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m1时，不等式的解集为{x|1