高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题12奇偶性问题(原卷版+解析)

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方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1、函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，
的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．
2、奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
3、用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．
若，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
【题型归纳目录】
题型一：函数奇偶性的判断
题型二：求函数值与解析式
题型三：已知奇偶性求参数
题型四：利用性质解决不等式问题
题型五：性质的综合运用
【典型例题】
题型一：函数奇偶性的判断
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
例3．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
例4．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是非奇非偶函数
例5．(2023·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例6．(2023·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．
题型二：求函数值与解析式
例7．(2023·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．
例8．(2023·全国·高一单元测试）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
例10．(2023·全国·高一期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
例11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
题型三：已知奇偶性求参数
例12．(2023·全国·高一单元测试）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，则_____．
例14．(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.
例15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上为奇函数，则___________.
例16．(2023·广西·高一阶段练习）已知函数是偶函数，则a＝______．
题型四：利用性质解决不等式问题
例17．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
例19．(2023·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.
例20．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．
例21．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例22．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
题型五：性质的综合运用
例23．(2023·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
例24．(2023·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：
①是偶函数；
②是奇函数；
③在上是增函数；
④在上是减函数．
则正确结论的序号是________．
例25．(2023·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
例26．(2023·全国·高一单元测试）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
例27．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；
(2)求函数，的解析式；
(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
例28．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
例29．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n．
例30．(2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，且满足：
①当时，；
②，．
则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京·中国农业大学附属中学高一期中）某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数是奇函数B．函数的值域是
C．函数在R上是增函数D．方程有实根
2．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
4．(2023·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·全国·高一单元测试）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
6．(2023·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
7．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高一单元测试）下列图象中，不可能是的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A．存在实数a，使得函数为奇函数
B．存在实数a，使得函数为偶函数
C．当时，的单调增区间为，
D．当时，的单调减区间为
10．(2023·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线x＝－1对称B．在上为增函数
C．D．
11．(2023·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
12．(2023·全国·高一期中）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A．B．C．是奇函数D．若，则
三、填空题
13．(2023·云南红河·高一期末）设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．
14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
15．(2023·全国·高一课时练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
16．(2023·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m的取值范围是____________．
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
18．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数．
(1)若，判断的奇偶性并加以证明．
(2)当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
微专题12 奇偶性问题
【方法技巧与总结】
方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1、函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，
的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．
2、奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
3、用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．
若，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
【题型归纳目录】
题型一：函数奇偶性的判断
题型二：求函数值与解析式
题型三：已知奇偶性求参数
题型四：利用性质解决不等式问题
题型五：性质的综合运用
【典型例题】
题型一：函数奇偶性的判断
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；
对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；
对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误；
故选：C
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
答案：B
【解析】由已知的定义域为R，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，
所以为偶函数，
又，，又，
所以，所以不为奇函数，
故选：B．
例3．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
答案：ABC
【解析】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，
对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；
对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C选项，设，则，
所以为偶函数，故C正确；
对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
例4．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是非奇非偶函数
答案：BC
【解析】对于A，由且，得，
则的定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故A错误;
对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，
，
当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;
对于C，由且，得，即，
的定义域关于原点对称，此时，
所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;
对于D，由且，得且x≠0，
的定义域关于原点对称，因为，
，所以函数为奇函数，故D错误.
故选:BC.
例5．(2023·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.
（1）的定义域是，关于原点对称，
又，所以是奇函数．
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（3）因为的定义域为，所以，
则既是奇函数又是偶函数．
（4）方法一（定义法） 因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．
①当x＞1时，，所以；
②当时，；
③当时，，所以．
综上，可知函数为偶函数．
方法二（图象法） 作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．
例6．(2023·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．
【解析】证明：函数的定义域为，关于原点对称，
因为函数对任意，都有，
令，则，得，
令，则，
所以，
即，所以为奇函数．
题型二：求函数值与解析式
例7．(2023·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．
答案：
【解析】当时，则，
因为当时，，且是定义在上的奇函数，
所以，即，
故时，的解析式为.
故答案为：.
例8．(2023·全国·高一单元测试）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
答案：
【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【解析】解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
例10．(2023·全国·高一期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
【解析】（1）的图象关于原点对称，
是奇函数，．
又的定义域为，，解得．
设，则，
当时，，
，
所以；
（2）由（1）可得的图象如下所示：
由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
例11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
题型三：已知奇偶性求参数
例12．(2023·全国·高一单元测试）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
答案：1
【解析】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，则_____．
答案：2
【解析】当时，，，
又为奇函数，，而当时，，
所以．
故答案为：2
例14．(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.
答案：
【解析】由题意，函数在上为偶函数，所以，解得，
又由的图象关于轴对称，可得，
可得，可得的最大值为，即，
所以.
故答案为：.
例15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上为奇函数，则___________.
答案：
【解析】因为函数在上为奇函数，
所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：.
例16．(2023·广西·高一阶段练习）已知函数是偶函数，则a＝______．
答案：1
【解析】函数是偶函数，
则，即，解之得
经检验符合题意.
故答案为：1
题型四：利用性质解决不等式问题
例17．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
答案：
【解析】由题意，的定义域为，
所以的定义域为，则，解得．
又是上的减函数，
所以奇函数在上单调递减．
由，得，
所以，即，解得．
综上，．
故答案为：．
例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
答案：
【解析】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．
故答案为：.
例19．(2023·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.
答案：或
【解析】因为为奇函数，且在上是增函数，，
所以，且在上也是增函数，
因为，
即或，∴或，即或，所所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
例20．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．
答案：
【解析】因为奇函数在单调递减，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，则等价于，解得，
故答案为：
例21．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
例22．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为满足，对任意的有，
所以在上单调递减
且为偶函数，则
由可得，即
故选:A
题型五：性质的综合运用
例23．(2023·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
答案：－6
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
故，即，则解得，
所以，，
所以，，
则，
故答案为：-6
例24．(2023·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：
①是偶函数；
②是奇函数；
③在上是增函数；
④在上是减函数．
则正确结论的序号是________．
答案：①③
【解析】先探究函数的奇偶性：
∵对任意，都有：
∴令，有，即；
令，有，即，解得；
∴令，有，即，
∴为偶函数．故①正确，②错误；
再探究函数在上上的单调性：
令，则；
∵ ，且当时，，
∴ ，
∴ ，即函数在上单调递增，故③正确，④错误；
故答案为：①③．
例25．(2023·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
答案：1
【解析】由题意知，（），
设，则，
因为，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以.
故答案为：1
例26．(2023·全国·高一单元测试）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝.
由已知条件得.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
（2）∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.
例27．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；
(2)求函数，的解析式；
(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【解析】（1）剩余的图象如图所示，
有图可知，函数的单调增区间为；
（2）因为当时，，
所以当时，则，有，
由为奇函数，得，
即当时，，
又，
所以函数的解析式为；
（3）由(2)得，，
作出函数与图象，如图，
由图可知，当时，函数与图象有3个交点，
即方程有3个不等的实根.
所以m的取值范围为.
例28．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数，
所以，即，
所以，
即，
整理得，（对函数定义域内的任意都成立），
所以，解得，
所以函数的图象的对称中心为；
（2）由（1）知函数图象的对称中心为，
所以，
则，
又，所以；
（3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是.
例29．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n．
【解析】如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，
由图知，当x∈时，
f(x)min＝f(1)＝－1，
又，f(4)＝5，
所以f(x)max＝f(4)＝5，
又f(x)为奇函数，所以当x∈时，
f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，
f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5．
所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4．
例30．(2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，且满足：
①当时，；
②，．
则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．
答案： 奇 减
【解析】，
令，则，所以，
令，则，
又因为的定义域关于原点对称，所以为奇函数；
任取，且，则
因为，所以，，所以，
所以，，
所以，所以，
由条件①得，所以，所以在上是减函数，
又为奇函数，所以在上是减函数．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京·中国农业大学附属中学高一期中）某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数是奇函数B．函数的值域是
C．函数在R上是增函数D．方程有实根
答案：D
【解析】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，
对于B，当时，，由对勾函数性质知，
而是偶函数，的值域是，故B错误，
对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，
而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，
对于D，当时，，即，解得，故D正确，
故选：D
2．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
答案：C
【解析】由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
故选：C
3．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
答案：B
【解析】函数，
令，
因为，
所以为奇函数，
又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，
所以的最大值为，最小值为，
所以，则t＝506．
故选：B
4．(2023·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】依题意，，，，
即，所以函数在上单调递增．
又，，所以函数是R上的偶函数，
所以,则有，所以，
故选：B．
5．(2023·全国·高一单元测试）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【解析】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；
故选:A．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
答案：B
【解析】因为是偶函数且在上单调递增，，故，
所以当或时，，当时，．
所以等价于或 ，
解得或，所以不等式的解集为，
故选：B．
7．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵是偶函数，
，
故可变形为，
∵在区间上单调递减，
故.
故选：C.
8．(2023·全国·高一单元测试）下列图象中，不可能是的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】当a＝0时，，为反比例函数，对应A中图象，故A错误；
当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应D中图象，故D错误；
当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应C中图象，故C错误.
故选：B.
二、多选题
9．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A．存在实数a，使得函数为奇函数
B．存在实数a，使得函数为偶函数
C．当时，的单调增区间为，
D．当时，的单调减区间为
答案：AC
【解析】由，显然当a＝0时有，但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数，不存在实数a，使得函数为偶函数. 所以选项A正确，选项B错误；
，当时，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项C正确；同理可得，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项D错误.
故选：AC.
10．(2023·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线x＝－1对称B．在上为增函数
C．D．
答案：AD
【解析】因为为偶函数，且函数在上为增函数，
所以的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，所以A正确，B不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，，所以C不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，所以，，又在上为增函数，所以，即，所以D正确.
故选：AD.
11．(2023·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
答案：BCD
【解析】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；
结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；
代入1得，且所以，故B正确
故选：BCD
12．(2023·全国·高一期中）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A．B．C．是奇函数D．若，则
答案：ACD
【解析】令，则，故A正确；
令，则，则，故B错误；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，故C正确；
令，则，
所以，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．(2023·云南红河·高一期末）设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．
答案：
【解析】因为是偶函数，所以等价于，
又在上单调递减，所以在上单调递增．
由得，或，
又，所以，
由得，由得，
故解集为.
故答案为：.
14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
答案：
【解析】因为函数满足，所以，即，所以是奇函数；
，且，不妨取，因为，所以，所以是减函数.
因为，可得，
即，所以，
解得，
所以的取值范围是
故答案为：
15．(2023·全国·高一课时练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
答案：
【解析】等价于或或，
因为为偶函数，且，故即为，
即为，
而在区间上单调递增，故即，
同理的解为或，
故的解为，
而的解为，
故的解为.
故答案为：
16．(2023·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m的取值范围是____________．
答案：
【解析】因为
所以是偶函数，作出的图象如下：
由得，，
∴．
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）该同学的观点正确，理由如下：，．
若为奇函数，则有，∴．
显然无实数解，∴不可能是奇函数．
（2）若为偶函数，则有，
∴，即．∴，
此时，是偶函数．∴实数a的值为0．
（3）由（2）知，其图象如图所示：
由图象，知，∴，解得．
∴实数m的取值范围为．
18．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数．
(1)若，判断的奇偶性并加以证明．
(2)当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，
定义域为关于原点对称，
且，
所以为奇函数.
（2）当时，，
且，有．
所以，函数在上单调递增，
函数在上的最小值为．
（3）若对任意恒成立，
则，
所以，问题转化为大于函数在上的最大值．
且函数在上单调递减，
所以最大值为，
故实数的取值范围是
19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【解析】（1）因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以当时，，此时；
当时，，此时函数在区间上单调递减，
所以．综上，
（2）因为时，，所以当时，，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或，所以实数t的取值范围为．
21．(2023·全国·高一课时练习）已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
【解析】（1）选择①.
由在上是偶函数，
得，且，所以a＝2，b＝0.
所以.
选择②.
当时，在上单调递增，则，解得，
所以.
为奇函数.
证明如下：的定义域为R.
因为，所以为奇函数.
（2）当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c的取值范围是.