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高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题13含参数二次函数的最值问题(原卷版+解析)
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这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题13含参数二次函数的最值问题(原卷版+解析)，共47页。
1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；
2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；
3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；
4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】
题型一：定轴定区间型
题型二：动轴定区间型
题型三：定轴动区间型
题型四：动轴动区间型
题型五：根据二次函数的最值求参数
【典型例题】
题型一：定轴定区间型
例1．(2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．B．C．D．最小值是，无最大值
例2．(2023·全国·高一课前预习）函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5B．10，1
C．5，1D．以上都不对
例3．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，当上时的最小值是________
例5．(2023·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
题型二：动轴定区间型
例6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
例7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
例10．(2023·广东湛江·高一期末）已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
例11．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数（常数）.
(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.
例12．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值
(2)求函数的最小值为．
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
例14．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数
(1)函数f(x)在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；
(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．
题型三：定轴动区间型
例15．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
例16．(2023·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．
例17．(2023·全国·高一期中）已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最大值；
(3)求在上的最大值与最小值．
例19．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知关于的函数
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，若函数最小值为2，求的值．
例20．(2023·全国·高一专题练习）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．
题型四：动轴动区间型
例21．(2023·江苏·楚州中学高一期中）已知函数
(1)当时，解关于的不等式
(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
例22．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
例23．(2023·四川巴中·高一期中）已知，函数．
(1)设，判断函数的奇偶性，请说明理由；
(2)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）
例24．(2023·江苏苏州·高一期末）已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.
(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；
(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.
例25．(2023·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知，函数，
(1)当时，写出函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数在区间上的最小值；
(3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）
例26．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．
例27．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
题型五：根据二次函数的最值求参数
例28．(2023·全国·高一专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．
(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
例29．(2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例31．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是___________.
例32．(2023·湖北黄石·高一期末）已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数的图象过点，则；
②函数的图象恒过定点；
③函数有两个零点；
④若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是．
其中真命题的序号为（ ）．
A．①②B．②④C．①④D．②③
2．(2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（ ）
A．与a无关，且与b有关B．与a有关，且与b无关
C．与a有关，且与b有关D．与a无关，且与b无关
3．(2023·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知为奇函数，且当时，，则在区间上（ ）
A．单调递增且最大值为2B．单调递增且最小值为2
C．单调递减且最大值为-2D．单调递减且最小值为-2
4．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
6．(2023·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·河北省博野中学高一开学考试）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（ ）.
A．7B．11C．12D．16
8．(2023·陕西商洛·高一期末）若函数满足，，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．图象的对称轴为直线D．f（x）的最小值为－1
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2B．-1C．0D．1
10．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的奇函数在上的解析式，则在上正确的结论是（ ）
A．B．C．最大值D．最小值
11．(2023·浙江省龙游中学高一期中）已知函数，则下列结论有可能正确的是（ ）
A．在区间上无最大值
B．在区间上最小值为
C．在区间上既有最大值又有最小值
D．在区间上最大值，有最小值
12．(2023·全国·高一单元测试）若，，那么（ ）
A．有最小值6B．有最小值12
C．有最大值26D．有最大值182
三、填空题
13．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．
14．(2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为______
15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上的最小值为．则____．
16．(2023·全国·高一专题练习）设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习）如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当时，函数有最小值，求的值．
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，其中．
(1)若函数的图象关于直线对称，求的值；
(2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．
19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在为单调函数，求的值；
(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．
20．(2023·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
21．(2023·全国·高一课前预习）（1）已知函数在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[-1，1]，求函数的最小值．
22．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最小值；
(3)若满足，则称为函数的不动点，函数有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．
微专题13 含参数二次函数的最值问题
【方法技巧与总结】
1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；
2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；
3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；
4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】
题型一：定轴定区间型
题型二：动轴定区间型
题型三：定轴动区间型
题型四：动轴动区间型
题型五：根据二次函数的最值求参数
【典型例题】
题型一：定轴定区间型
例1．(2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．B．C．D．最小值是，无最大值
答案：C
【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为，
在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，
函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．
故选：C．
例2．(2023·全国·高一课前预习）函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5B．10，1
C．5，1D．以上都不对
答案：B
【解析】因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
故选：B.
例3．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.
答案：
【解析】由题知，，解得
则，所以当时，有最小值.
故答案为：
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，当上时的最小值是________
答案：-2
【解析】，
则二次函数在上单调递增，在上单调递减，
在上，当时有最小值－2，
故答案为：-2.
例5．(2023·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
答案：80
【解析】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.
故答案为：80
题型二：动轴定区间型
例6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以当时，，此时；
当时，，此时函数在区间上单调递减，
所以．综上，
（2）因为时，，所以当时，，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或，所以实数t的取值范围为．
例7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，故在上递增，在上递减，
当，则上递减，故最大值，
当，则最大值，
当，则上递增，故最大值，
综上，的最小值为.
故选：C
例8．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【解析】（1）因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
【解析】(1)时，，结合函数图像得：
在上的最大值是，最小值是；
(2)的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
(3)由（2）的讨论思路结合函数图像在内的
可能情况知，中必有一个是最大值；
若，代回验证：
，符合最大；
若，，代回验证：
，符合最大；
或．
例10．(2023·广东湛江·高一期末）已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
【解析】(1)由题知，函数，其中
当时，
则函数在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，，
则函数在区间递增
∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)因为，所以当即时，函数在递增，在递减
且 ，，
若，即时，，
若，即时，，
当即时，函数在递增，在递减，在递增，
且， ，
而时，，即，
所以时，，
∴综上所述，当时，；当时， .
例11．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数（常数）.
(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.
【解析】(1)当时，函数，
设且，
则
，
因为，可得
又由，可得，所以
所以，即，
所以函数是上是严格增函数.
(2)由函数的定义域为关于原点对称，
当时，函数，可得，此时函数为奇函数；
当时，，此时且，
所以时，函数为非奇非偶函数.
(3)，
当时, ,函数在区间的最小值为；
当时,函数的对称轴为：.
若,在区间的最小值为；
若,在区间的最小值为
;
若,在区间的最小值为；
当时, ,在区间的最小值为.
综上所述：；
例12．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值
(2)求函数的最小值为．
【解析】(1)，
由，可知;
由，可知.
所以．
(2)，
1)当，在单调递减，在单调递增，故；
2)当，在单调递减，在单调递增， ,
3)当，在单调递减，在单调递增，；
所以
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数的递增区间为和；
（2）根据题意，当时，，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
（3）当时，，对称轴为，
当，即时，在上递增，所以；
当，即时，在上递减，所以；
当，即时，在上递减，在上递增，所以，
综上，函数的最小值．
例14．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数
(1)函数f(x)在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；
(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．
【解析】(1)，
在区间上单调，则或，
所以或；
(2)时，，在上是增函数，，
时，，
时在上是减函数，，
综上，，
题型三：定轴动区间型
例15．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
【解析】（1）因为函数的图象过点，
所以
又，
所以，
解得，
所以；
（2），，
当时，即时，函数在上单调递减，
所以，
当时，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，所以；
当时，函数在上单调递增，
所以．
综上：
例16．(2023·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．
【解析】(1)设，．
则．
从而，，
又，
，
又，
．
(2)因为当时，不等式恒成立，
所以在上恒成立．
令，，
．
当时，单调递减，
当时，，
所以．
(3)当，即时，在单调递减，
；
当，即时，则在单调递减，单调递增，
；
当时，则在单调递增，
．
.
例17．(2023·全国·高一期中）已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【解析】（1）因为二次函数，且满足，，
所以，且，
由，得，
所以，得，
所以.
（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，
则；
当，即时，
在上单调递减，
则；
当，即时，，
综上
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最大值；
(3)求在上的最大值与最小值．
【解析】（1）当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
函数在区间上的值域是；
（2）当时，，
，函数在区间上的最大值；
，函数在区间上的最大值；
函数在区间上的最大值；
（3）函数 的对称轴为，
①当，即时，函数在上是增函数，
当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
②当，即时，
当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
③当，即时，
a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
④当，即时，函数在上是减函数，
故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．
综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为
例19．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知关于的函数
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，若函数最小值为2，求的值．
【解析】（1）因为，对称轴为，开口向上，
若，则当时，函数有最大值为，
若，则当时，函数有最大值为
（2）若，则当时函数有最小值为，
即，，不符合条件；
若，则当时函数有最小值为，
可得，符合条件；
若，则当时函数有最小值为，
即，解得，不符合条件；
综上，的值为
例20．(2023·全国·高一专题练习）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．
【解析】(1)是二次函数，且的解集是，
可设，对称轴为，
在区间上的最大值是．
由已知得，
．
(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为
(讨论对称轴与闭区间的相对位置)
①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)
此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)
此时，
综上所述，得的表达式为：．
题型四：动轴动区间型
例21．(2023·江苏·楚州中学高一期中）已知函数
(1)当时，解关于的不等式
(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
【解析】(1)不等式为，即，
由可得；由可得或，
故原不等式解集为.
(2)因为
由于，由题意或，
若时， 则，且或，
当时，，不满足题意，舍去；
当时，；
若，则，且或
当时，，
当，符合题意；
当，与题设矛盾，故舍去；
当时，；
综上所述：或，符合题意.
例22．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【解析】（1）当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
（2），
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
例23．(2023·四川巴中·高一期中）已知，函数．
(1)设，判断函数的奇偶性，请说明理由；
(2)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）
【解析】(1)当时，，
其图象如图所示：
由图象知：函数既不是奇函数也不偶函数；
(2)，
当时，由，解得，
因为函数在区间上既有最大值又有最小值，
如图所示：
所以，，
当时，由，解得，
因为函数在区间上既有最大值又有最小值，
如图所示：
所以，.
例24．(2023·江苏苏州·高一期末）已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.
(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；
(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.
【解析】(1)因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），
所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，
又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1＋m|，解得m＝0，
此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数,故m＝0.
(2)f（x）＝x|x﹣1|＋n＝
所以f（x）在和[1，n]上单调递增，在上单调递减，
其中，，
令得，，所以时，，.
时，所以，
因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值为.
例25．(2023·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知，函数，
(1)当时，写出函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数在区间上的最小值；
(3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）
【解析】（1）当时，由二次函数的性质知，单调递增区间为，，，.
（2）因为，，时，所以当，即时，（2）当，即时，（1）
（3）
①当时，图象如上图左所示由得，②当时，图象如上图右所示由得，
例26．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．
答案：
【解析】，，
令，得或．
因为，，
所以的最小值，的最大值，
所以．
故答案为：.
例27．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【解析】（1）因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.
题型五：根据二次函数的最值求参数
例28．(2023·全国·高一专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．
(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
【解析】（1）方法一：∵抛物线经过（2，c）和（0，c），
∴抛物线的对称轴为直线，
∴（－1，0）的对称点为（3，0），
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；
方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入得
，解得，
∴抛物线的表达式为，
令得，，解得，，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
（2）∵，∴，，
∴当时，当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，
∵，∴，
令得，，解得（舍去），，
∴．
例29．(2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
答案：C
【解析】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为或－3．
故选：C．
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】易得函数，
若，则，且函数在上单调递增，所以函数在上无最值．
若，作出函数的大致图像，如图1所示，易得函数在区间上无最值．
若，作出函数的大致图像，如图2所示，要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则，即，解得:．
综上，实数a的取值范围是．
故选: D.
例31．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】二次函数，
由解得或，
画出二次函数的图象如下图所示，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
例32．(2023·湖北黄石·高一期末）已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．
答案：
【解析】因为，对称轴为，
当时：在上单调递减，所以，无解；
当时：在上单调递增，所以，
解得：或，或，又，所以，;
当时：在上单调递增，在上单调递减，
此时，与矛盾；
综上所述：，，此时
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数的图象过点，则；
②函数的图象恒过定点；
③函数有两个零点；
④若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是．
其中真命题的序号为（ ）．
A．①②B．②④C．①④D．②③
答案：B
【解析】①设幂函数为，因为的图象过点，所以，解得，则，在上递减，在上递减，所以，故错误；
②令，解得，此时，所以函数的图象恒过定点，故正确；
③令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示，
由图象知：有1个交点，即函数有1个零点，故错误；
④函数的图象，如图所示：
，
由图象知：若在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是，故正确．
故选：B
2．(2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（ ）
A．与a无关，且与b有关B．与a有关，且与b无关
C．与a有关，且与b有关D．与a无关，且与b无关
答案：A
【解析】函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，
①当时，在上单调递减，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
②当时，在上单调递增，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
③当时，，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
综上：的值与a无关，与b有关.
故选：A.
3．(2023·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知为奇函数，且当时，，则在区间上（ ）
A．单调递增且最大值为2B．单调递增且最小值为2
C．单调递减且最大值为-2D．单调递减且最小值为-2
答案：A
【解析】因为的图象开口向上，且对称轴为，
所以在区间[2，4]上单调递增，最小值为，最大值为，
又因为是奇函数，
所以在区间上单调递增，且最小值为-2，最大值为2.
故选：A
4．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】将函数的图象向左平移一个单位，得到函数.则在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数在区间[-1，1]上的最大值是1.
由，，
当，时，，此时函数的最小值为1，不合题意；
当，时，，符合题意；
当，时，，化简得
又由当时，根据二次函数的性质，的值域为，
当时，，必有，可得.
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
5．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
答案：D
【解析】∵函数（）的最小值为0，
∴，∴，
∴函数，其图像的对称轴为．
∵不等式的解集为，
∴方程的根为m，，
∴，解得，，
又∵，∴．故A，B，C错误.
故选：D．
6．(2023·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，，
易知当时，，
因为，所以，
所以当时，；当时，，综上，当时，．
故选：D．
7．(2023·河北省博野中学高一开学考试）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（ ）.
A．7B．11C．12D．16
答案：D
【解析】∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2)(n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1)2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t)2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1)2+7=16．
故选：D．
8．(2023·陕西商洛·高一期末）若函数满足，，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．图象的对称轴为直线D．f（x）的最小值为－1
答案：C
【解析】由题得，解得，，
所以，
因为，所以选项A正确；
所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确；
因为的对称轴为，所以选项C错误．
故选：C
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2B．-1C．0D．1
答案：BC
【解析】当时，，
所以当时，，
若，则，
所以此时，即存在最小值，
若，则当时，，无最小值，
若，则当时，为减函数，
则要使存在最小值时，
则，解得，
综上或.
故选：BC.
10．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的奇函数在上的解析式，则在上正确的结论是（ ）
A．B．C．最大值D．最小值
答案：ABC
【解析】由题可知，函数为定义在上的奇函数，则，
已知在上的解析式，
则当时，，则，
所以当时，，
可知，，且最大值为，无最小值，
所以在上正确的结论是ABC.
故选：ABC.
11．(2023·浙江省龙游中学高一期中）已知函数，则下列结论有可能正确的是（ ）
A．在区间上无最大值
B．在区间上最小值为
C．在区间上既有最大值又有最小值
D．在区间上最大值，有最小值
答案：BCD
【解析】二次函数图象的对称轴为直线.
①当时，函数在区间上单调递增，则，；
②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，；
③当时，函数在区间上单调递减，此时，.
故A错误，BCD可能正确.
故选：BCD.
12．(2023·全国·高一单元测试）若，，那么（ ）
A．有最小值6B．有最小值12
C．有最大值26D．有最大值182
答案：AC
【解析】因为，，
所以，解得，即函数的定义域为，
所以，所以在上单调递增，所以，
故选：AC
三、填空题
13．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．
答案：
【解析】因为、两点关于轴对称，点的坐标为，所以点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，点在—次函数的图象上，
所以，整理得，所以，即，
所以，故二次函数，二次项系数为，故函数有最小值，最小值为．
故答案为：
14．(2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为______
答案：4
【解析】二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，的最大值在处取得，，
由二次函数的对称性可得，当时，取最小值，，
所以.
故答案为：4.
15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上的最小值为．则____．
答案：1
【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，
（1）当时，函数在上单调递增，则，
由，得，不符合；
（2）当时．则，
由，得或，，∴符合；
（3）当时，函数在上单调递减，则，
由，得，
，不符合，
综上可得．
故答案为：1
16．(2023·全国·高一专题练习）设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．
答案：
【解析】因为一次函数在无最小值，二次函数在对称轴处或有最小值，
令，解得或x=2，
所以要使有最小值，则，
所以a的取值范围是
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习）如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当时，函数有最小值，求的值．
【解析】（1）依题意可知是方程的两个根，
所以，解得，
所以.
（2），对称轴为直线，开口向上.
依题意，当时，函数的最小值为，
若，则当时，函数取得最小值，
即，解得或（舍去）.
若，即，函数的最小值（舍去）.
若，即，则当时，函数取得最小值，
即，解得或（舍去）.
综上所述，的值为或.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，其中．
(1)若函数的图象关于直线对称，求的值；
(2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．
【解析】（1）因为，
所以函数的图象的对称轴为直线．
由，得．
（2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线，
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
所以函数在处取得最小值，即．
19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在为单调函数，求的值；
(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．
【解析】(1)时，，
在 上的最大值为 ，最小值为 ；
(2)在为单调函数，
区间在 的对称轴 的一边，即 或 ，
或 ；
(3)因为 是开口向上的，所以 和 中必有一个是最大值，
若 ，若 ，
或；
综上，（1）最大值为16，最小值为0；（2） 或；（3） 或 .
20．(2023·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
【解析】(1)依题意，二次函数，开口向上，对称轴，
所以，
所以.
(2)，开口向上，对称轴，
当时，.
当时，（舍去）.
当时，.
综上所述，的值为或.
21．(2023·全国·高一课前预习）（1）已知函数在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[-1，1]，求函数的最小值．
【解析】（1）．
①当a=0时，函数在区间[-1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当 时，函数在区间[-1，2]上是增函数，最大值为，；
③当 时，函数在区间[-1，2]上是减函数，最大值为， ,
综上，a的值为-3或．
（2），其图象对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，
当 时，函数在区间[-1，1]上是减函数，最小值为；
当 时，函数在区间[-1，1]上是先减后增，最小值为；
当 时，函数在区间[-1，1]上是增函数，最小值为．
22．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最小值；
(3)若满足，则称为函数的不动点，函数有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．
【解析】（1）∵的图象过点，
∴①
又，
∴②
由①②解，，
∴；
（2），，
当，即时，函数在上单调递减，
∴；
当，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，∴；
当时，函数在上单调递增，
∴．
综上，．
（3）设有两个不相等的不动点、，且，，
∴，即方程有两个不相等的正实根、．
∴，解得．
1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；
2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；
3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；
4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】
题型一：定轴定区间型
题型二：动轴定区间型
题型三：定轴动区间型
题型四：动轴动区间型
题型五：根据二次函数的最值求参数
【典型例题】
题型一：定轴定区间型
例1．(2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．B．C．D．最小值是，无最大值
例2．(2023·全国·高一课前预习）函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5B．10，1
C．5，1D．以上都不对
例3．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，当上时的最小值是________
例5．(2023·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
题型二：动轴定区间型
例6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
例7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
例10．(2023·广东湛江·高一期末）已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
例11．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数（常数）.
(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.
例12．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值
(2)求函数的最小值为．
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
例14．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数
(1)函数f(x)在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；
(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．
题型三：定轴动区间型
例15．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
例16．(2023·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．
例17．(2023·全国·高一期中）已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最大值；
(3)求在上的最大值与最小值．
例19．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知关于的函数
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，若函数最小值为2，求的值．
例20．(2023·全国·高一专题练习）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．
题型四：动轴动区间型
例21．(2023·江苏·楚州中学高一期中）已知函数
(1)当时，解关于的不等式
(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
例22．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
例23．(2023·四川巴中·高一期中）已知，函数．
(1)设，判断函数的奇偶性，请说明理由；
(2)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）
例24．(2023·江苏苏州·高一期末）已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.
(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；
(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.
例25．(2023·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知，函数，
(1)当时，写出函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数在区间上的最小值；
(3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）
例26．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．
例27．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
题型五：根据二次函数的最值求参数
例28．(2023·全国·高一专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．
(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
例29．(2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例31．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是___________.
例32．(2023·湖北黄石·高一期末）已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数的图象过点，则；
②函数的图象恒过定点；
③函数有两个零点；
④若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是．
其中真命题的序号为（ ）．
A．①②B．②④C．①④D．②③
2．(2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（ ）
A．与a无关，且与b有关B．与a有关，且与b无关
C．与a有关，且与b有关D．与a无关，且与b无关
3．(2023·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知为奇函数，且当时，，则在区间上（ ）
A．单调递增且最大值为2B．单调递增且最小值为2
C．单调递减且最大值为-2D．单调递减且最小值为-2
4．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
6．(2023·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·河北省博野中学高一开学考试）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（ ）.
A．7B．11C．12D．16
8．(2023·陕西商洛·高一期末）若函数满足，，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．图象的对称轴为直线D．f（x）的最小值为－1
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2B．-1C．0D．1
10．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的奇函数在上的解析式，则在上正确的结论是（ ）
A．B．C．最大值D．最小值
11．(2023·浙江省龙游中学高一期中）已知函数，则下列结论有可能正确的是（ ）
A．在区间上无最大值
B．在区间上最小值为
C．在区间上既有最大值又有最小值
D．在区间上最大值，有最小值
12．(2023·全国·高一单元测试）若，，那么（ ）
A．有最小值6B．有最小值12
C．有最大值26D．有最大值182
三、填空题
13．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．
14．(2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为______
15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上的最小值为．则____．
16．(2023·全国·高一专题练习）设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习）如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当时，函数有最小值，求的值．
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，其中．
(1)若函数的图象关于直线对称，求的值；
(2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．
19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在为单调函数，求的值；
(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．
20．(2023·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
21．(2023·全国·高一课前预习）（1）已知函数在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[-1，1]，求函数的最小值．
22．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最小值；
(3)若满足，则称为函数的不动点，函数有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．
微专题13 含参数二次函数的最值问题
【方法技巧与总结】
1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；
2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；
3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；
4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】
题型一：定轴定区间型
题型二：动轴定区间型
题型三：定轴动区间型
题型四：动轴动区间型
题型五：根据二次函数的最值求参数
【典型例题】
题型一：定轴定区间型
例1．(2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．B．C．D．最小值是，无最大值
答案：C
【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为，
在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，
函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．
故选：C．
例2．(2023·全国·高一课前预习）函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5B．10，1
C．5，1D．以上都不对
答案：B
【解析】因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
故选：B.
例3．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.
答案：
【解析】由题知，，解得
则，所以当时，有最小值.
故答案为：
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，当上时的最小值是________
答案：-2
【解析】，
则二次函数在上单调递增，在上单调递减，
在上，当时有最小值－2，
故答案为：-2.
例5．(2023·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
答案：80
【解析】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.
故答案为：80
题型二：动轴定区间型
例6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以当时，，此时；
当时，，此时函数在区间上单调递减，
所以．综上，
（2）因为时，，所以当时，，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或，所以实数t的取值范围为．
例7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，故在上递增，在上递减，
当，则上递减，故最大值，
当，则最大值，
当，则上递增，故最大值，
综上，的最小值为.
故选：C
例8．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【解析】（1）因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
【解析】(1)时，，结合函数图像得：
在上的最大值是，最小值是；
(2)的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
(3)由（2）的讨论思路结合函数图像在内的
可能情况知，中必有一个是最大值；
若，代回验证：
，符合最大；
若，，代回验证：
，符合最大；
或．
例10．(2023·广东湛江·高一期末）已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
【解析】(1)由题知，函数，其中
当时，
则函数在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，，
则函数在区间递增
∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)因为，所以当即时，函数在递增，在递减
且 ，，
若，即时，，
若，即时，，
当即时，函数在递增，在递减，在递增，
且， ，
而时，，即，
所以时，，
∴综上所述，当时，；当时， .
例11．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数（常数）.
(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.
【解析】(1)当时，函数，
设且，
则
，
因为，可得
又由，可得，所以
所以，即，
所以函数是上是严格增函数.
(2)由函数的定义域为关于原点对称，
当时，函数，可得，此时函数为奇函数；
当时，，此时且，
所以时，函数为非奇非偶函数.
(3)，
当时, ,函数在区间的最小值为；
当时,函数的对称轴为：.
若,在区间的最小值为；
若,在区间的最小值为
;
若,在区间的最小值为；
当时, ,在区间的最小值为.
综上所述：；
例12．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值
(2)求函数的最小值为．
【解析】(1)，
由，可知;
由，可知.
所以．
(2)，
1)当，在单调递减，在单调递增，故；
2)当，在单调递减，在单调递增， ,
3)当，在单调递减，在单调递增，；
所以
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数的递增区间为和；
（2）根据题意，当时，，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
（3）当时，，对称轴为，
当，即时，在上递增，所以；
当，即时，在上递减，所以；
当，即时，在上递减，在上递增，所以，
综上，函数的最小值．
例14．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数
(1)函数f(x)在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；
(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．
【解析】(1)，
在区间上单调，则或，
所以或；
(2)时，，在上是增函数，，
时，，
时在上是减函数，，
综上，，
题型三：定轴动区间型
例15．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
【解析】（1）因为函数的图象过点，
所以
又，
所以，
解得，
所以；
（2），，
当时，即时，函数在上单调递减，
所以，
当时，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，所以；
当时，函数在上单调递增，
所以．
综上：
例16．(2023·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．
【解析】(1)设，．
则．
从而，，
又，
，
又，
．
(2)因为当时，不等式恒成立，
所以在上恒成立．
令，，
．
当时，单调递减，
当时，，
所以．
(3)当，即时，在单调递减，
；
当，即时，则在单调递减，单调递增，
；
当时，则在单调递增，
．
.
例17．(2023·全国·高一期中）已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【解析】（1）因为二次函数，且满足，，
所以，且，
由，得，
所以，得，
所以.
（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，
则；
当，即时，
在上单调递减，
则；
当，即时，，
综上
例18．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最大值；
(3)求在上的最大值与最小值．
【解析】（1）当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
函数在区间上的值域是；
（2）当时，，
，函数在区间上的最大值；
，函数在区间上的最大值；
函数在区间上的最大值；
（3）函数 的对称轴为，
①当，即时，函数在上是增函数，
当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
②当，即时，
当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
③当，即时，
a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
④当，即时，函数在上是减函数，
故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．
综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为
例19．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知关于的函数
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，若函数最小值为2，求的值．
【解析】（1）因为，对称轴为，开口向上，
若，则当时，函数有最大值为，
若，则当时，函数有最大值为
（2）若，则当时函数有最小值为，
即，，不符合条件；
若，则当时函数有最小值为，
可得，符合条件；
若，则当时函数有最小值为，
即，解得，不符合条件；
综上，的值为
例20．(2023·全国·高一专题练习）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．
【解析】(1)是二次函数，且的解集是，
可设，对称轴为，
在区间上的最大值是．
由已知得，
．
(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为
(讨论对称轴与闭区间的相对位置)
①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)
此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)
此时，
综上所述，得的表达式为：．
题型四：动轴动区间型
例21．(2023·江苏·楚州中学高一期中）已知函数
(1)当时，解关于的不等式
(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
【解析】(1)不等式为，即，
由可得；由可得或，
故原不等式解集为.
(2)因为
由于，由题意或，
若时， 则，且或，
当时，，不满足题意，舍去；
当时，；
若，则，且或
当时，，
当，符合题意；
当，与题设矛盾，故舍去；
当时，；
综上所述：或，符合题意.
例22．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【解析】（1）当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
（2），
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
例23．(2023·四川巴中·高一期中）已知，函数．
(1)设，判断函数的奇偶性，请说明理由；
(2)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）
【解析】(1)当时，，
其图象如图所示：
由图象知：函数既不是奇函数也不偶函数；
(2)，
当时，由，解得，
因为函数在区间上既有最大值又有最小值，
如图所示：
所以，，
当时，由，解得，
因为函数在区间上既有最大值又有最小值，
如图所示：
所以，.
例24．(2023·江苏苏州·高一期末）已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.
(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；
(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.
【解析】(1)因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），
所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，
又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1＋m|，解得m＝0，
此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数,故m＝0.
(2)f（x）＝x|x﹣1|＋n＝
所以f（x）在和[1，n]上单调递增，在上单调递减，
其中，，
令得，，所以时，，.
时，所以，
因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值为.
例25．(2023·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知，函数，
(1)当时，写出函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数在区间上的最小值；
(3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）
【解析】（1）当时，由二次函数的性质知，单调递增区间为，，，.
（2）因为，，时，所以当，即时，（2）当，即时，（1）
（3）
①当时，图象如上图左所示由得，②当时，图象如上图右所示由得，
例26．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．
答案：
【解析】，，
令，得或．
因为，，
所以的最小值，的最大值，
所以．
故答案为：.
例27．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【解析】（1）因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.
题型五：根据二次函数的最值求参数
例28．(2023·全国·高一专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．
(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
【解析】（1）方法一：∵抛物线经过（2，c）和（0，c），
∴抛物线的对称轴为直线，
∴（－1，0）的对称点为（3，0），
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；
方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入得
，解得，
∴抛物线的表达式为，
令得，，解得，，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
（2）∵，∴，，
∴当时，当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，
∵，∴，
令得，，解得（舍去），，
∴．
例29．(2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
答案：C
【解析】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为或－3．
故选：C．
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】易得函数，
若，则，且函数在上单调递增，所以函数在上无最值．
若，作出函数的大致图像，如图1所示，易得函数在区间上无最值．
若，作出函数的大致图像，如图2所示，要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则，即，解得:．
综上，实数a的取值范围是．
故选: D.
例31．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】二次函数，
由解得或，
画出二次函数的图象如下图所示，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
例32．(2023·湖北黄石·高一期末）已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．
答案：
【解析】因为，对称轴为，
当时：在上单调递减，所以，无解；
当时：在上单调递增，所以，
解得：或，或，又，所以，;
当时：在上单调递增，在上单调递减，
此时，与矛盾；
综上所述：，，此时
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数的图象过点，则；
②函数的图象恒过定点；
③函数有两个零点；
④若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是．
其中真命题的序号为（ ）．
A．①②B．②④C．①④D．②③
答案：B
【解析】①设幂函数为，因为的图象过点，所以，解得，则，在上递减，在上递减，所以，故错误；
②令，解得，此时，所以函数的图象恒过定点，故正确；
③令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示，
由图象知：有1个交点，即函数有1个零点，故错误；
④函数的图象，如图所示：
，
由图象知：若在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是，故正确．
故选：B
2．(2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（ ）
A．与a无关，且与b有关B．与a有关，且与b无关
C．与a有关，且与b有关D．与a无关，且与b无关
答案：A
【解析】函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，
①当时，在上单调递减，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
②当时，在上单调递增，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
③当时，，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
综上：的值与a无关，与b有关.
故选：A.
3．(2023·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知为奇函数，且当时，，则在区间上（ ）
A．单调递增且最大值为2B．单调递增且最小值为2
C．单调递减且最大值为-2D．单调递减且最小值为-2
答案：A
【解析】因为的图象开口向上，且对称轴为，
所以在区间[2，4]上单调递增，最小值为，最大值为，
又因为是奇函数，
所以在区间上单调递增，且最小值为-2，最大值为2.
故选：A
4．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】将函数的图象向左平移一个单位，得到函数.则在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数在区间[-1，1]上的最大值是1.
由，，
当，时，，此时函数的最小值为1，不合题意；
当，时，，符合题意；
当，时，，化简得
又由当时，根据二次函数的性质，的值域为，
当时，，必有，可得.
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
5．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
答案：D
【解析】∵函数（）的最小值为0，
∴，∴，
∴函数，其图像的对称轴为．
∵不等式的解集为，
∴方程的根为m，，
∴，解得，，
又∵，∴．故A，B，C错误.
故选：D．
6．(2023·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，，
易知当时，，
因为，所以，
所以当时，；当时，，综上，当时，．
故选：D．
7．(2023·河北省博野中学高一开学考试）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（ ）.
A．7B．11C．12D．16
答案：D
【解析】∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2)(n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1)2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t)2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1)2+7=16．
故选：D．
8．(2023·陕西商洛·高一期末）若函数满足，，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．图象的对称轴为直线D．f（x）的最小值为－1
答案：C
【解析】由题得，解得，，
所以，
因为，所以选项A正确；
所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确；
因为的对称轴为，所以选项C错误．
故选：C
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2B．-1C．0D．1
答案：BC
【解析】当时，，
所以当时，，
若，则，
所以此时，即存在最小值，
若，则当时，，无最小值，
若，则当时，为减函数，
则要使存在最小值时，
则，解得，
综上或.
故选：BC.
10．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的奇函数在上的解析式，则在上正确的结论是（ ）
A．B．C．最大值D．最小值
答案：ABC
【解析】由题可知，函数为定义在上的奇函数，则，
已知在上的解析式，
则当时，，则，
所以当时，，
可知，，且最大值为，无最小值，
所以在上正确的结论是ABC.
故选：ABC.
11．(2023·浙江省龙游中学高一期中）已知函数，则下列结论有可能正确的是（ ）
A．在区间上无最大值
B．在区间上最小值为
C．在区间上既有最大值又有最小值
D．在区间上最大值，有最小值
答案：BCD
【解析】二次函数图象的对称轴为直线.
①当时，函数在区间上单调递增，则，；
②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，；
③当时，函数在区间上单调递减，此时，.
故A错误，BCD可能正确.
故选：BCD.
12．(2023·全国·高一单元测试）若，，那么（ ）
A．有最小值6B．有最小值12
C．有最大值26D．有最大值182
答案：AC
【解析】因为，，
所以，解得，即函数的定义域为，
所以，所以在上单调递增，所以，
故选：AC
三、填空题
13．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．
答案：
【解析】因为、两点关于轴对称，点的坐标为，所以点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，点在—次函数的图象上，
所以，整理得，所以，即，
所以，故二次函数，二次项系数为，故函数有最小值，最小值为．
故答案为：
14．(2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为______
答案：4
【解析】二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，的最大值在处取得，，
由二次函数的对称性可得，当时，取最小值，，
所以.
故答案为：4.
15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上的最小值为．则____．
答案：1
【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，
（1）当时，函数在上单调递增，则，
由，得，不符合；
（2）当时．则，
由，得或，，∴符合；
（3）当时，函数在上单调递减，则，
由，得，
，不符合，
综上可得．
故答案为：1
16．(2023·全国·高一专题练习）设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．
答案：
【解析】因为一次函数在无最小值，二次函数在对称轴处或有最小值，
令，解得或x=2，
所以要使有最小值，则，
所以a的取值范围是
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习）如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当时，函数有最小值，求的值．
【解析】（1）依题意可知是方程的两个根，
所以，解得，
所以.
（2），对称轴为直线，开口向上.
依题意，当时，函数的最小值为，
若，则当时，函数取得最小值，
即，解得或（舍去）.
若，即，函数的最小值（舍去）.
若，即，则当时，函数取得最小值，
即，解得或（舍去）.
综上所述，的值为或.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，其中．
(1)若函数的图象关于直线对称，求的值；
(2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．
【解析】（1）因为，
所以函数的图象的对称轴为直线．
由，得．
（2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线，
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
所以函数在处取得最小值，即．
19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在为单调函数，求的值；
(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．
【解析】(1)时，，
在 上的最大值为 ，最小值为 ；
(2)在为单调函数，
区间在 的对称轴 的一边，即 或 ，
或 ；
(3)因为 是开口向上的，所以 和 中必有一个是最大值，
若 ，若 ，
或；
综上，（1）最大值为16，最小值为0；（2） 或；（3） 或 .
20．(2023·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
【解析】(1)依题意，二次函数，开口向上，对称轴，
所以，
所以.
(2)，开口向上，对称轴，
当时，.
当时，（舍去）.
当时，.
综上所述，的值为或.
21．(2023·全国·高一课前预习）（1）已知函数在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[-1，1]，求函数的最小值．
【解析】（1）．
①当a=0时，函数在区间[-1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当 时，函数在区间[-1，2]上是增函数，最大值为，；
③当 时，函数在区间[-1，2]上是减函数，最大值为， ,
综上，a的值为-3或．
（2），其图象对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，
当 时，函数在区间[-1，1]上是减函数，最小值为；
当 时，函数在区间[-1，1]上是先减后增，最小值为；
当 时，函数在区间[-1，1]上是增函数，最小值为．
22．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最小值；
(3)若满足，则称为函数的不动点，函数有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．
【解析】（1）∵的图象过点，
∴①
又，
∴②
由①②解，，
∴；
（2），，
当，即时，函数在上单调递减，
∴；
当，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，∴；
当时，函数在上单调递增，
∴．
综上，．
（3）设有两个不相等的不动点、，且，，
∴，即方程有两个不相等的正实根、．
∴，解得．
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