高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题15指数函数及其性质(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题15指数函数及其性质(原卷版+解析)，共43页。

知识点一、指数函数的图象及性质：
知识点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；当时，．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【题型归纳目录】
题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性
题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题
题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题
题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合
【典型例题】
题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性
例1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的图象关于直线对称，则a＝（ ）
A．1B．2C．0D．-2
例2．(2023·福建·莆田二中高一期中）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·全国·高一课时练习）若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知，则方程的根个数可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式2．（多选题）(2023·全国·高一期末）(多选)已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．a>1B．0C．b>1D．0变式3．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数，实数，满足，则（ ）
A．B．，，使得
C．D．
变式4．(2023·全国·高一单元测试）函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
变式5．(2023·江苏·高一专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
变式6．(2023·全国·高一课时练习）函数的定义域为______．
变式7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则_________．
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．
题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题
例4．(2023·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
例5．(2023·全国·高一单元测试）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.
变式9．(2023·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数在上的值域为___________.
变式10．(2023·陕西渭南·高一期末）方程的解在内，则的取值范围是___________.
变式11．(2023·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数的值域是______．
变式12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
(1)若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
(2)如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
变式13．(2023·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若有最大值16，求的值.
变式14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数（且）的图象经过点．
(1)求a，并比较与的大小；
(2)求函数的值域．
变式15．(2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域：
(1)
(2)
变式16．(2023·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数是定义域的奇函数．
(1)求值；
(2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上最小值为，求的值．
题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题
例7．(2023·全国·高一单元测试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．
例8．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.
例9．（多选题）(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A．B．C．D．
变式17．(2023·全国·高一单元测试）已知是定义域为上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式18．(2023·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
变式19．(2023·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合
例10．(2023·浙江温州·高一期中）已知函数为奇函数；
(1)求实数的值；
(2)求的值域；
(3)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围．
例11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
例12．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数（且）为定义在上的奇函数.
(1)利用单调性的定义证明函数在上单调递增；
(2)求不等式的解集.
(3)若函数有零点，求实数的取值范围.
变式20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，且
(1)求与的解析式；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的最大值．
变式21．(2023·辽宁·高一阶段练习）设函数（，）．
(1)若是偶函数，求实数的值；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
变式22．(2023·河北沧州·高一期末）已知函数为偶函数.
(1)判断在上的单调性并证明；
(2)求函数在上的最小值.
变式23．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．当时，的值域为______；若的最大值为16，则a的值为______．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·河南南阳·高一期中）已知函数若，则实数（ ）
A．B．2C．4D．6
2．(2023·天津·高一期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习） 若存在正数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高一课时练习）若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·全国·高一专题练习）若，则有（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在R上是增函数D．的值域是
10．(2023·河南南阳·高一期中）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·全国·高一课时练习）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的单调递减区间是B．的单调递增区间是
C．的最大值是D．的最小值是
三、填空题
12．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
13．(2023·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．
14．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是______．
15．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
16．(2023·全国·高一课时练习）若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
四、解答题
17．(2023·山东·青岛二中高一期中）已知函数，且的解集为.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于x的不等式（其中）；
(3)设，若对任意的，，都有，求t的取值范围.
18．(2023·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．(2023·福建省福州高级中学高一期末）已知函数，．
(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若，且的最小值为，求实数k的值．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的值；
(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
微专题15 指数函数及其性质
【方法技巧与总结】
知识点一、指数函数的图象及性质：
知识点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；当时，．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【题型归纳目录】
题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性
题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题
题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题
题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合
【典型例题】
题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性
例1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的图象关于直线对称，则a＝（ ）
A．1B．2C．0D．-2
答案：B
【解析】函数的图象关于y轴对称，
将函数的图象向右平移2个单位长度可得函数的图象，
所以函数的图象关于直线对称，故．
故选：B
例2．(2023·福建·莆田二中高一期中）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】作出函数的图象，如图，
当时，，
由图可知，，即
得，则，
由，即，得，求得，
∴，
故选：D
例3．(2023·全国·高一课时练习）若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象如下图所示，
数形结合可知：当时，，的取值范围为.
故选：D.
变式1．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知，则方程的根个数可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：ABD
【解析】令，在同一坐标系中作出函数和直线的图象，分析的根：
①当时，方程有一个根，且，方程，对应2个，故方程有2个根；
②当a＝1时，方程有两个根，，方程，对应1个，方程对应2个，故方程有3个根.
③当0＜a＜1时，方程有三个根，，，方程，对应2个，方程对应2个，方程对应2个，故方程有6个根.
④当a＝0时，方程有两个根，，方程，对应2个，方程对应2个，故方程有4个根.
故选：ABD.
变式2．（多选题）(2023·全国·高一期末）(多选)已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．a>1B．0C．b>1D．0答案：BD
【解析】观察图象得，函数是单调递减的，因此，，
图象与y轴交点纵坐标有：，而时，，于是得，解得，
所以，.
故选：BD
变式3．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数，实数，满足，则（ ）
A．B．，，使得
C．D．
答案：CD
【解析】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．
由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．
故选：CD．
变式4．(2023·全国·高一单元测试）函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
答案：【解析】当时，，过定点，
又点在直线上，，即，
，，，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
变式5．(2023·江苏·高一专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
答案：27
【解析】因为函数（，且）的图象恒过定点，
所以由指数型函数性质得，
因为在幂函数的图象上
所以，解得，
所以，.
故答案为：
变式6．(2023·全国·高一课时练习）函数的定义域为______．
答案：
【解析】因为，所以，则，
即，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：.
变式7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则_________．
答案：
【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．
【解析】（1）由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)，
又f(0)＝1＋b<0，所以b的取值范围为(－∞，－1)；
（2）的图象过点，，
所以，
解得，
所以，
在同一个坐标系中，画出函数和的图象，
观察图象可知，当或时，两图象有一个交点，
若有且仅有一个实数解，的范围是：或.
题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题
例4．(2023·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
答案：
【解析】令，
函数化为
，即函数的值域为．
故答案为：
例5．(2023·全国·高一单元测试）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，
所以函数的值域为.
故选：A
例6．(2023·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】设，
由有两个零点，
即方程有两个正解，
所以，解得，
即，
故答案为：.
变式9．(2023·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数在上的值域为___________.
答案：
【解析】
∵则令
在递增
∴
故答案为：．
变式10．(2023·陕西渭南·高一期末）方程的解在内，则的取值范围是___________.
答案：
【解析】令，显然该函数为增函数，，值域为，故.
故答案为：.
变式11．(2023·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数的值域是______．
答案：
【解析】令，则，
因为函数在上单调递增，
所以，故的值域为．
故答案为：.
变式12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
(1)若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
(2)如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
【解析】（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数，
函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），∴，
∴，∴函数f（x）＝2x+1＞1，函数1．
又0，故函数的值域为（0，1）．
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，
若a＞1，函数f（x）＝ax+b为增函数，∴，求得a、b无解．
若0＜a＜1，函数f（x）＝ax+b为减函数，∴，求得，
∴a+b．
变式13．(2023·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若有最大值16，求的值.
【解析】(1)当时，.
因为在R上单调递增，且，
可得，所以，
故的值域为.
(2)令，因为函数在其定义域内单调递增，
所以要使函数有最大值16，则的最大值为4，
故解得.
故的值为.
变式14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数（且）的图象经过点．
(1)求a，并比较与的大小；
(2)求函数的值域．
【解析】（1）由已知得：，解得，所以，
因为在R上单调递减，，
所以；
（2）因为，
所以，故的值域是；
变式15．(2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域：
(1)
(2)
【解析】(1)由函数解析式可知：，所以函数的定义域为：；
因为，所以，因此函数的值域为：；
(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R，
，因为，
所以，因此函数的值域为：（0，16].
变式16．(2023·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数是定义域的奇函数．
(1)求值；
(2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上最小值为，求的值．
【解析】（1）是定义域为的奇函数，
，即，
解得；经检验成立
（2）因为函数（且），
又，
，又，
，
由于单调递增，单调递减，故在上单调递增，
不等式化为．
，即恒成立，
，解得；
（3）由已知，得，即，解得，或（舍去），
，
令，是增函数，
，，
则，
若，当时，，解得,不成立；
若，当时，，解得，成立；
所以．
题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题
例7．(2023·全国·高一单元测试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．
答案：
【解析】因为函数是实数集上的减函数，
所以由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，
函数的对称轴为，且开口向下，所以有，
解得的取值范围为，
故答案为：．
例8．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.
答案：（答案不唯一）
【解析】因为，
当时在定义域上单调递增，
当时，
画出，的图象如下所示：
要使函数在上单调递增，
由图可知当时均可满足函数在上单调递增；
故答案为：（答案不唯一）
例9．（多选题）(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
【解析】由题意，函数在上单调递减，
又由函数在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
结合选项，可得选项符合题意.
故选：ACD.
变式17．(2023·全国·高一单元测试）已知是定义域为上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，，故，解得
故选：B
变式18．(2023·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设函数，因为函数都是实数集上的增函数，
所以函数也是实数集上的增函数，
由，
故选：A
变式19．(2023·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.
故选：A.
题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合
例10．(2023·浙江温州·高一期中）已知函数为奇函数；
(1)求实数的值；
(2)求的值域；
(3)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围．
【解析】（1）由函数是定义域为的奇函数，
则，
即，即，
所以，即在上恒成立，
解得；
（2）由（1）得，
则，
又函数单调递增，且，
所以，，
所以，
即函数的值域为；
（3）由无实数解，
即无实数解，
又，
所以或，
即（不成立），或，
又，所以，
即.
例11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，此时，
所以时，是奇函数.
所以；
（2）由（1）可得，
因为，可得，所以，
所以，
所以，
所以函数的值域为；
（3）由可得，
即，可得对于恒成立，
令，
则，
函数在区间单调递增，
所以，
所以，
所以实数m的取值范围为．
例12．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数（且）为定义在上的奇函数.
(1)利用单调性的定义证明函数在上单调递增；
(2)求不等式的解集.
(3)若函数有零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得：，解得：，
，
任取，且，
则因为，且，
所以，，
所以，故
所以函数在上单调递增；
（2），
即，
因为为定义在上的奇函数，
所以，
因为为定义在上单调递增，
所以，
解得：或，
所以解集为：；
（3）有零点，
当时，，没有零点，不合题意，舍去；
当时，即有根，
其中当时，，，，
故，
又因为在R上为奇函数，
所以当时，，
且，
所以在R上的值域为，
故，
解得：，
所以实数的取值范围为.
变式20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，且
(1)求与的解析式；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的最大值．
【解析】（1）由题意 ①，
所以 ，
函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，
所以
所以 ②，
由①②解得，；
（2）对，不等式恒成立，
即，
令，，则，
不等式等价于在上恒成立，
所以，
因为，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以，
即m的最大值为
变式21．(2023·辽宁·高一阶段练习）设函数（，）．
(1)若是偶函数，求实数的值；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)（1）若是偶函数，则，
即，
即，
则，即．
(2)（2）存在，使得成立，
即，
则，
设，因为，所以，
所以，
令，
因为，所以当时，函数取得最大值，
则，
所以实数的取值范围为．
变式22．(2023·河北沧州·高一期末）已知函数为偶函数.
(1)判断在上的单调性并证明；
(2)求函数在上的最小值.
【解析】(1)为偶函数，，
即，
，则.
所以.
在为增函数,证明如下：
任取，，且，
，
，，，
.
即，在上单调递增.
(2)，
令，结合题意及（1）的结论可知.
，
.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
综上，.
变式23．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．当时，的值域为______；若的最大值为16，则a的值为______．
答案：
【解析】当时，，
设，则，因为在R上是增函数，所以，即，所以函数的值域是 ；
要使函数的最大值为16，则的最大值为4，故，解得．
故答案为：；
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·河南南阳·高一期中）已知函数若，则实数（ ）
A．B．2C．4D．6
答案：B
【解析】由题知，
所以，
因为时，，所以，，
所以，解得.
故选：B
2．(2023·天津·高一期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由可知，，即，根据指数函数性质，是上递增的指数函数，即，故，显然可推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．(2023·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为函数为R上的奇函数，
所以，
又当时，，
当时，，则，
所以时，，
则由可得，或或，
解得或或，
综上可得，不等式的解集为．
故选：C．
4．(2023·全国·高一课时练习） 若存在正数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知成立，即成立．
令，显然在上单调递增，
所以，，
所以实数a的取值范围是．
故选：C
5．(2023·全国·高一课时练习）若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．
因为，所以，即，所以，所以．
故选：C．
6．(2023·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】函数的是指数函数，且，排除选项C，
如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，
所以B正确；
对称轴在x轴左侧，C不正确；
如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．
故选：B．
7．(2023·全国·高一专题练习）若，则有（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】构造函数，易得函数单调递增，由，
可得，，
故选：B.
8．(2023·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，当时单调递减，且，
当时，单调递减，且，
所以函数在定义域上单调递减，因为，
所以，解得，即实数的取值范围为：.
故选：A.
二、多选题
9．(2023·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在R上是增函数D．的值域是
答案：ACD
【解析】A选项：，
，∴，
∴为奇函数，故A正确；
B选项：∵∴，，
∵为奇函数，∴，∴，∴，故B错误；
C选项：，
∵，∴为增函数，∴为减函数，
∴为增函数，故C正确；
D选项：∵，∴，∴，∴．
又∵，∴的值域为，故D正确．
故选：ACD．
10．(2023·河南南阳·高一期中）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
【解析】令，
所以，不等式，解得或
所以，或，解得或，
所以，不等式的解集为，
因为所求的是不等式成立的一个充分不必要条件，
故只需满足是真子集即可，
所以，只有AB选项满足，CD选项不满足.
故选：AB
11．(2023·全国·高一课时练习）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的单调递减区间是B．的单调递增区间是
C．的最大值是D．的最小值是
答案：ACD
【解析】设，，则是增函数，且，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；
，故C正确；
，，因此的最小值是，故D正确．
故选:ACD．
三、填空题
12．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
答案：
【解析】若函数对于上任意两个不相等实数，
不等式恒成立，
则函数在上单调递增，则，
解得：，故实数a的取值范围为,
故答案为：．
13．(2023·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．
答案：
【解析】因为的图象经过点
所以，解得，则，
因为，所以，
所以，即函数的值域是，
故答案为：
14．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
因为存在，使得成立，
所以，即，
所以，即（舍去），或，
得，
所以的取值范围为，
故答案为：
15．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】因为是R上的增函数，在上单调递减，
所以，根据复合函数单调性，要使在上单调递减，需，解得，
所以，实数的取值范围是．
故答案为：
16．(2023·全国·高一课时练习）若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】函数（，且）的图象是将函数（，且）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，
故函数（，且）的图象恒过点．当时，结合函数的图象：
若函数在区间上单调递减，则，解得．
当时，结合函数的图象：
若在区间上单调递减，则，无实数解．
综上，实数的取值范围为．
解法二：
若，则，所以在区间上单调递增，不符合题意；
当时，函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，
所以，解得．故实数的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·山东·青岛二中高一期中）已知函数，且的解集为.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于x的不等式（其中）；
(3)设，若对任意的，，都有，求t的取值范围.
【解析】（1）由的解集为可得是方程的两个根，
所以，解得，
所以；
（2），化简有即，
可整理得，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
（3）由题意，，
对任意的，都有，
则当时，，
因为当时，单调递增，所以，，
所以，
所以，即t的取值范围为
18．(2023·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）设，
令，，，
则；
，，，
在上为增函数.
（2）由题意得：，
，
令，则，解得：，
为上的增函数，，，
令，设，，，
即实数的取值范围为.
19．(2023·福建省福州高级中学高一期末）已知函数，．
(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若，且的最小值为，求实数k的值．
【解析】（1）由，得恒成立，
所以对于任意的，恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
即实数k的取值范围为
（2），
令，当且仅当，即时取等号，
则，
当时，为减函数，则无最小值，舍去，
当时，最小值不是，舍去，
当时，为增函数，则，最小值为，解得，
综上，
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的值；
(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．
【解析】（1）∵函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，，
∴∴，∴（舍）或，，
∴；
（2）由（1）得当时，函数的图象恒在函数图象的上方，
即当时，不等式恒成立，
亦即当时，．
设，
∵在上单调递减，在上单调递减，
∴在上单调递减，
∴，
∴．
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数