高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题23恒成立、能成立问题(原卷版+解析)

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1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
【题型归纳目录】
题型一：分离参数
题型二：判别式法
题型三：数形结合
题型四：多变量的恒成立问题
题型五：主元法
题型六：直接法
【典型例题】
题型一：分离参数
例1．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一阶段练习）若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2．(2023·天津·高一期末）对于满足等式的任意正数及任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·广东·深圳外国语学校高一阶段练习）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型二：判别式法
例4．(2023·山东·潍坊一中高三期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例5．(2023·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）关于x的不等的解集为R，则a∈（ ）
A．B．(0，+∞)C．(0，1)D．
例6．(2023·河北唐山·高一期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
变式3．(2023·广东·石门高级中学高一阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．(2023·北京市第五十中学高一阶段练习）对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
变式5．(2023·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
题型三：数形结合
例7．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．
例8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．，D．
例9．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
变式6．存在，使得成立，则实数的取值范围是 ．
题型四：多变量的恒成立问题
例10．(2023·江苏省镇江第一中学高一阶段练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
例11．(2023·浙江·杭十四中高一期末）已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
例12．(2023·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
变式7．(2023·湖北武汉·高一期中）已知函数.
(1)若存在实数，使得成立，试求的最小值；
(2)若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围.
变式8．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
变式9．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知函数，
(1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明；
(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.
变式10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若使得，求实数a的取值范围.
变式11．(2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时.
(1)求与的值；
(2)求证：对任意的正数、，；
(3)解不等式.
题型五：主元法
例13．(2023·广东实验中学高三阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且
(1)判断的奇偶性；
(2)求函数在区间上的最大值；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
例14．(2023·广东·深圳中学高三阶段练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例15．(2023·黑龙江·双鸭山一中高一阶段练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式12．(2023·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
变式13．(2023·江西·金溪一中高三阶段练习（理））不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型六：直接法
例16．(2023·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例17．(2023·全国·高一单元测试）若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
例18．(2023·全国·高一课时练习）若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高一单元测试）已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南·高一阶段练习）已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏·高一专题练习）若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·辽宁·东北育才双语学校高一期中）定义在R上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．-1B．C．D．
6．(2023·四川·石龙中学高一阶段练习）已知对于任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·江苏省横林高级中学高一阶段练习）已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·重庆十八中高一阶段练习）不等式对任意恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·福建·三明一中高一阶段练习）已知函数的定义域为，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递减
C．
D．
11．(2023·浙江省平阳中学高一阶段练习）设函数，若关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．0B．C．1D．
12．(2023·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．，恒成立，则实数a的取值范围是
B．，恒成立，则实数a的取值范围是
C．，，则实数a的取值范围是
D．，，
三、填空题
13．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
14．(2023·全国·高一单元测试）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____．
15．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是___________．
16．(2023·全国·高一单元测试）记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．
四、解答题
17．(2023·广东·广州市第十六中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
18．(2023·四川·成都市树德协进中学高一阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）当时，有解，试求的取值范围.
（3）当时，在上恒成立，试求的取值范围.
19．(2023·广东·广州六中高一期中）已知两数是定义在R上的奇函数，当x<0时，
（1）求函数的解析式；
（2）求及的值；
（3）若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围.
20．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
21．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数 ．
(1)写出函数的定义域及奇偶性；
(2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明在上的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
22．(2023·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数．
(1)求的解析式；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若不等式对恒成立，求的取值范围．
微专题23 恒成立、能成立问题
【方法技巧与总结】
1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
【题型归纳目录】
题型一：分离参数
题型二：判别式法
题型三：数形结合
题型四：多变量的恒成立问题
题型五：主元法
题型六：直接法
【典型例题】
题型一：分离参数
例1．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一阶段练习）若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为对任意，有恒成立，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
例2．(2023·天津·高一期末）对于满足等式的任意正数及任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为任意正数满足等式，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为任意实数，不等式恒成立，
所以，对任意实数恒成立，
因为时，，当且仅当时等号成立，
所以，，即实数的取值范围为.
故选：B
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对任意，不等式恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
所以对任意，，
所以，解得，
故实数x的取值范围是．
故选：D．
变式1．(2023·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，
即即.
故选：D.
变式2．(2023·广东·深圳外国语学校高一阶段练习）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由关于的不等式在区间内有解，
得在区间内有解，
令，则，即，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
题型二：判别式法
例4．(2023·山东·潍坊一中高三期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，
若的解集是空集，则有，解得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；
故选：C．
例5．(2023·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）关于x的不等的解集为R，则a∈（ ）
A．B．(0，+∞)C．(0，1)D．
答案：D
【解析】当时，对恒成立，符合题意；
当时，构造，
要使对恒成立，由二次函数的图像可知：
且，
解得：，
综上：．
故选：D．
例6．(2023·河北唐山·高一期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：B
【解析】当时，则恒成立，成立；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：B.
变式3．(2023·广东·石门高级中学高一阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，对一切实数都成立，故符合题意；
当时，要使不等式对一切实数都成立，
则，
综上可得，即；
故选：C.
变式4．(2023·北京市第五十中学高一阶段练习）对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：B
【解析】当，即时，恒成立，满足题意.
当时，则有，解得：
综上，实数的取值范围是
故选：B
变式5．(2023·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
答案：D
【解析】当时，不等式为，即，不符合题意；
当时，不等式对任意实数都成立，
由一元二次函数性质可知，且判别式 ，
解得．
故选:D．
题型三：数形结合
例7．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．
【解析】解：由题可知，的图象关于轴对称，且函数在上递减，
由函数的图象特征可得在，上恒成立，得在，上恒成立，所以．
故选：．
例8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．，D．
【解析】解：函数在区间上单调递增，
当时，，
若不等式恒成立，
则且
即，，
故选：．
例9．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函数在区间上单调递增，
当时，，
若不等式恒成立，
则且
即，，
故选：．
变式6．存在，使得成立，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：由题意，存在，使得，设，且，，
如图①，当时，函数在，上单调递增，此时只需，解得，故；
如图②，当时，函数的最小值为（a），显然恒成立，
如图③，当时，函数在，上单调递减，此时，解得，故；
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
题型四：多变量的恒成立问题
例10．(2023·江苏省镇江第一中学高一阶段练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，为方程的两个不等实数根，
，所以不等式为
，
解得或，所以不等式解集为.
（2）对恒成立，
令，即对恒成立，
因为函数开口向上，故只需满足，
解得，所以的取值范围为
（3）当时，，开口向上，对称轴为
当时，，，，
时，，由题意，
对任意，总存在，使成立，
即函数的值域是函数的值域的子集，
即，，
解得，所以的取值范围为.
例11．(2023·浙江·杭十四中高一期末）已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．
例12．(2023·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，
即，
所以，
故，
∴，
因为函数为增函数，函数在其定义域上单调递增，
所以单调递增，又 为增函数，
所以函数在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立，
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是；
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
∴，即存在，使成立，
令，
因为在上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，
∴，
∴，
所以实数m的取值范围是.
变式7．(2023·湖北武汉·高一期中）已知函数.
(1)若存在实数，使得成立，试求的最小值；
(2)若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围.
【解析】（1）由题意，由得，，即，
，
令，则，
由于函数在为增函数，在为减函数，
，即的最小值为1.
（2）二次函数的开口向上，对称轴为，
若对任意的，都有恒成立，
则当时，，
①当，即时，，
故，解得，又，故无解；
②当，即时，，
，
要使得，只需且，
故，
，
故；
③当，即时，
，
则，即，解得，与矛盾，无解.
综上，实数的取值范围是.
变式8．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【解析】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
变式9．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知函数，
(1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明；
(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）在上单调递减，在上单调递增，
理由如下：取，且，
，
因为，，故，，
，
所以，
所以在上单调递减；
取，且，
，
因为，，故，，
，
所以，
所以在上单调递增；
（2）若对任意的时，恒成立，
时，无意义，舍去，
当时，，此时无解，舍去，
所以，
只需求出的最大值，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故，
又因为，，
故，
故，
所以，
因为，故解得：或
实数的取值范围是.
变式10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若使得，求实数a的取值范围.
【解析】（1），
令，则，
故，
所以；
（2）可看作关于的一次函数，
要想对任意的，都有恒成立，
只需要，
解①得：，
解②得：，
则与求交集得，
实数x的取值范围是；
（3）若使得，
只需在上成立，
的对称轴为，
当时，在上单调递增，
所以，，
由，解得：，
与取交集得：；
当时，在上单调递减，
所以，，
由，解得：，
与取交集得：；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，，
由，解得：或，
或与取交集得：，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，，
，解得：或，
或与取交集得：，
综上：或
实数a的取值范围是
变式11．(2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时.
(1)求与的值；
(2)求证：对任意的正数、，；
(3)解不等式.
【解析】（1）对任意的正实数、都有恒成立，
所以，，则，
，可得，
，可得.
（2）证明：对任意的正实数、都有恒成立，
令，则，可得，
对任意的正数、，则，
所以，，
故.
（3）由，可得，
由（2）可知，函数在上为增函数.
所以，，解得或.
故原不等式的解集为.
题型五：主元法
例13．(2023·广东实验中学高三阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且
(1)判断的奇偶性；
(2)求函数在区间上的最大值；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）令，则，可得，
令，则，可得，
又定义域为R，故为奇函数.
（2）令，则，且，
因为时，，所以，
故，即在定义域上单调递减，
所以在区间上的最大值为.
（3）由（2），在上，
恒成立，即恒成立，
所以恒成立，显然时不成立，
则，可得；，可得；
综上，或.
例14．(2023·广东·深圳中学高三阶段练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】恒成立，
即，对任意得恒成立，
令，，
当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，
则，
解得或（舍去），
当时，函数在上递减，
则，
解得或（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
例15．(2023·黑龙江·双鸭山一中高一阶段练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
变式12．(2023·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
答案：C
【解析】令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
变式13．(2023·江西·金溪一中高三阶段练习（理））不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
题型六：直接法
例16．(2023·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题设，开口向下且对称轴为，
∴要使任意，恒有，则，
∴，解得.
故选：C.
例17．(2023·全国·高一单元测试）若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
答案：D
【解析】记，
要使不等式对一切都成立，则：
或或
解得或或，即.
故选：D
例18．(2023·全国·高一课时练习）若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】令，其对称轴为，
关于的不等式在有解，
当时，有，
，即，可得或．
故选：B．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递减，
因为在区间上恒成立，所以恒成立，
所以，解得，即；
故选：C
2．(2023·全国·高一单元测试）已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】对任意两个不相等的实数，，恒成立，
所以函数在上为增函数，则有
解得：.
故选：D.
3．(2023·湖南·高一阶段练习）已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵是奇函数，∴即恒成立，
即，
则，解得，又∵，∴，则，
所以，
，是奇函数，
因为在是单调递减函数，在是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，
可得恒成立，
则，即恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
4．(2023·江苏·高一专题练习）若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】令，
则原问题转化为在恒成立，
即在恒成立，
又当且仅当时取等号，
故实数的取值范围是，
故选：C．
5．(2023·辽宁·东北育才双语学校高一期中）定义在R上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．-1B．C．D．
答案：D
【解析】由题设，关于对称，
根据的解析式，在上在处连续且单调递减，
所以在上递增，
要使对任意，恒成立，
则在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
当，即{t≥−1t≤1−2xmin=−2t−1，可得；
当，即，无解；
综上，t的最大值为.
故选：D.
6．(2023·四川·石龙中学高一阶段练习）已知对于任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题知，当时， 不恒成立，舍去；
当时，即图像恒在轴的上方，所以 解得；
综上，.
故选：A
7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
8．(2023·江苏省横林高级中学高一阶段练习）已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得：，
，，，
（当且仅当时取等号），
当恒成立时，.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·重庆十八中高一阶段练习）不等式对任意恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】对于A，将整理为，
因为对任意恒成立，所以，
即，整理得，故A正确；
对于B，令，则，满足题意，故B错误；
对于C，由A知，即，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
10．(2023·福建·三明一中高一阶段练习）已知函数的定义域为，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递减
C．
D．
答案：ABC
【解析】A选项：由，，得，所以在上单调递减，A选项正确；
B选项：，所以在上单调递减，
C选项与D选项：由A选项得，令，，则，所以C选项正确，D选项错误；
故选：ABC.
11．(2023·浙江省平阳中学高一阶段练习）设函数，若关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．0B．C．1D．
答案：CD
【解析】因为函数的开口向上，对称轴为，
所以，即的值域为
且关于的不等式恒成立，则，
即，解得
或，此时无解.
所以实数的取值范围为
故选:CD.
12．(2023·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．，恒成立，则实数a的取值范围是
B．，恒成立，则实数a的取值范围是
C．，，则实数a的取值范围是
D．，，
答案：AC
【解析】对于A选项，，恒成立，即，为减函数，所以，A选项正确；
对于B选项，，恒成立，即，所以，B选项不正确；
对于C选项，，，即，的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，C选项正确；
对于D选项，，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确；
故选：AC.
三、填空题
13．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
答案：
【解析】因为不等式对于任意恒成立，
即不等式对于任意恒成立，
因为，所以，
所以不等式对于任意恒成立，
令，，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
即，
所以，
所以或，
解得或，即；
故答案为：
14．(2023·全国·高一单元测试）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____．
答案：
【解析】当时，，
所以要使方程在区间上有解，只需即可，
解得或，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是___________．
答案：或
【解析】由题知，有解
①当时，即
化简得有解
即
整理得：无解
②当时，即
化简得解得
即
解得：或者
③当时，即
化简得：有解
即
化简得：无解
综上，实数的取值范围为：或
故答案为：或.
16．(2023·全国·高一单元测试）记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．
答案：
【解析】由题意有解，即有交点
令
当
当
故
画出函数的简图，如下图所示：
数形结合可知，当时，
故若有交点，
则实数m的取值范围是
故答案为：
四、解答题
17．(2023·广东·广州市第十六中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【解析】(1)因函数是定义在的奇函数，所以，即，
又因，所以，
因此当时，，
设，则，因此，
因函数是定义在的奇函数，所以，
故，.
(2)函数在上单调递增，证明如下：
设，则，
因，所以，，所以，
因此，故函数在上单调递增.
(3)由（2）可知，函数在上单调递增，因此，
因关于的不等式在上有解，
所以，解得：.
18．(2023·四川·成都市树德协进中学高一阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）当时，有解，试求的取值范围.
（3）当时，在上恒成立，试求的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，，
又当时，，
则当，，则，
又由，解得，
故.
（2）当时，有解，
则知有解，得有解，
即在上有解，
则，，
因为在上递增，在上递减，
所以在上的最大值为，
故，即实数的取值范围为.
（3）当时，即在上恒成立，
因为在上单调递增，则，解得，
即的取值范围为.
19．(2023·广东·广州六中高一期中）已知两数是定义在R上的奇函数，当x<0时，
（1）求函数的解析式；
（2）求及的值；
（3）若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
由于当时，，
设，则，，解得 ；
所以.
（2）；
∴；
.
（3）存在实数，使得不等式有解，
即的最小值，其中 ；
设，其中 ，
即，其中 ，
∴，其中 ，
因为，所以，；
∴，
故实数m的取值范围为：.
20．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）；
；
当时，；；
当时，.
（2）单调递减.
证明：
即
单调递减
（3）函数的定义域是 ；
恒成立；
由（2），单调递减，恒成立，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立
所以；
又有意义，所以
综上：.
21．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数 ．
(1)写出函数的定义域及奇偶性；
(2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明在上的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域为，
因为，所以为奇函数；
(2)在内单调递减．
下面证明：任取且，
，
因为，所以，所以
因为，即．
因此，函数在上是单调减函数；
(3)由得恒成立．
由知，函数在为减函数
当取得最小值
因此，实数a的取值范围是．
22．(2023·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数．
(1)求的解析式；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若不等式对恒成立，求的取值范围．
【解析】(1)为上的奇函数，，；
又，，，，解得：，
此时；
当时，，满足奇函数定义，
.
(2)设，
则，
，，，
又，，，，
在上是增函数.
(3)由得：；由（2）得：；
，即对恒成立，
对于①，对于恒成立，又，；
对于②，对于恒成立，又，；
对于③，；
综上所述：的取值范围为.