高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题26同角关系与诱导公式(原卷版+解析)

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知识点一：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
知识点二：同角三角函数基本关系式的变形
1、平方关系式的变形：
，，
2、商数关系式的变形
，．
知识点三：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点诠释：
（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
（4）；．
知识点四：诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．
诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．
用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
知识点五：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
【方法技巧与总结】
（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．
（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．
（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．
【题型归纳目录】
题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”
题型二：正弦、余弦齐次式的求值
题型三： 正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”
题型四：三角换元求值域
题型五：诱导公式之求值问题
题型六：化简或证明
【典型例题】
题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”
例1．(2023·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·贵州师大附中高二开学考试（理））已知，则cs θ的值是（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·江苏·高一专题练习）已知，，则（ ）
A．0和B．C．D．和0
变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）已知是第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式4．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：正弦、余弦齐次式的求值
例4．(2023·四川·攀枝花七中高一阶段练习）已知，则_______．
例5．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末），，则的值为__________.
例6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则______.
变式5．(2023·山东枣庄·高一期末）已知，则的值为___________.
变式6．(2023·江苏·高一专题练习）已知，则的值是________.
变式7．(2023·全国·高一专题练习）已知且，则的值为________.
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知tanα＝，则＝__________.
变式9．(2023·新疆·高一期末）若，则________.
题型三： 正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则____.
例8．(2023·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．
例9．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.
变式10．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）化简：若，则____________.
变式11．(2023·新疆阿勒泰·高一期末）已知为第四象限角，，则___________.
变式12．(2023·云南·峨山彝族自治县第一中学高一阶段练习）已知且，则___________.
变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知，且，则______.
变式14．(2023·全国·高一课前预习）已知是三角形的内角，且，则___________.
变式15．(2023·全国·高一课时练习）若，则__________．
题型四：三角换元求值域
例10．(2023·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.
例11．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）若，则的最大值是____________
例12．(2023·新疆·巴楚县第一中学高二期中（文））若，满足，则的最大值为__________.
变式16．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高二阶段练习（理））已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．
变式17．(2023·辽宁营口·高二期中（文））设为圆上的动点，求的最大值______.
变式18．(2023·上海·复旦附中高三期中）已知，且，则的取值范围是____________.
题型五：诱导公式之求值问题
例13．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.
(1)化简；
(2)若，求；
(3)若，求.
例14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)化简；
(2)若，求的值.
例15．(2023·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
变式19．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知 .
(1)化简；
(2)若是第四象限角，且 ，求的值.
题型六：化简或证明
例16．(2023·全国·高一课时练习）已知，．
(1)证明：；
(2)计算：的值．
例17．(2023·全国·高一课时练习）证明：.
例18．(2023·云南·丽江第一高级中学高一开学考试）（1）设，直接用任意角的三角函数的定义证明：.
（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明.
变式20．(2023·全国·高一课时练习）证明：，．
变式21．(2023·全国·高一专题练习）已知角的终边在第三象限，，证明：．
微专题26 同角关系与诱导公式
【方法技巧与总结】
知识点一：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
知识点二：同角三角函数基本关系式的变形
1、平方关系式的变形：
，，
2、商数关系式的变形
，．
知识点三：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点诠释：
（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
（4）；．
知识点四：诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．
诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．
用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
知识点五：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
【方法技巧与总结】
（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．
（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．
（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．
【题型归纳目录】
题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”
题型二：正弦、余弦齐次式的求值
题型三： 正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”
题型四：三角换元求值域
题型五：诱导公式之求值问题
题型六：化简或证明
【典型例题】
题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”
例1．(2023·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由得，∴或，
因为，，所以.
由及得，∴，
所以．
故选：A
例2．(2023·贵州师大附中高二开学考试（理））已知，则cs θ的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题设，，可得或（舍），
又，则.
故选：C
例3．(2023·江苏·高一专题练习）已知，，则（ ）
A．0和B．C．D．和0
答案：B
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，
整理得，解得或，
由则当时，（代入条件验证矛盾舍去），
当时，，
所以.
故选：B
变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】任意角的三角函数
∵，∴，
，是第二象限角∴.
故选：A
变式2．(2023·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）已知是第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为是第二象限角，所以，
又，所以，因此，
即，所以.
故选：B.
变式3．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，且，所以，
所以，
故选：A
变式4．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意，.
故选：D
题型二：正弦、余弦齐次式的求值
例4．(2023·四川·攀枝花七中高一阶段练习）已知，则_______．
答案：
【解析】由得： ，
故，
故答案为：
例5．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末），，则的值为__________.
答案：#0.3
【解析】，
故答案为：．
例6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则______.
答案：
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：
变式5．(2023·山东枣庄·高一期末）已知，则的值为___________.
答案：
【解析】
故答案为：
变式6．(2023·江苏·高一专题练习）已知，则的值是________.
答案：
【解析】因，则
.
故答案为：
变式7．(2023·全国·高一专题练习）已知且，则的值为________.
答案：
【解析】因为，则，
由于，所以，所以两边同除以，
得，因为，解得，
而
，
故答案为：.
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知tanα＝，则＝__________.
答案：
【解析】


故答案为：.
变式9．(2023·新疆·高一期末）若，则________.
答案：
【解析】因为，
故答案为：.
题型三： 正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则____.
答案：
【解析】，
两边平方，可得，可得，
，
可得，，可得，
．
故答案为：.
例8．(2023·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．
答案：
【解析】因，则，即，
而，，于是有，
所以.
故答案为：
例9．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.
答案：
【解析】因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
故答案为：
变式10．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）化简：若，则____________.
答案：
【解析】
因为，所以，，且
所以原式
故答案为：.
变式11．(2023·新疆阿勒泰·高一期末）已知为第四象限角，，则___________.
答案：
【解析】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为为第四象限角，所以，，
所以；
故：，
故答案为：
变式12．(2023·云南·峨山彝族自治县第一中学高一阶段练习）已知且，则___________.
答案：
【解析】由可得，即，
所以，，
因为，所以，可得，
因为，
所以，
由 可得 ，所以，
故答案为：.
变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知，且，则______.
答案：
【解析】由得，得，
得，
因为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
解得或（舍）.
故答案为：
变式14．(2023·全国·高一课前预习）已知是三角形的内角，且，则___________.
答案：
【解析】∵，两边平方可得
，
∴，又是三角形的内角，，∴，，
∴，可得，
∴，
∴.
故答案为：.
变式15．(2023·全国·高一课时练习）若，则__________．
答案：
【解析】，又∵，
∴.
故答案为：.
题型四：三角换元求值域
例10．(2023·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.
答案：
【解析】因为实数，满足，令，
则
当时，取最大值，
故答案为：.
例11．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）若，则的最大值是____________
答案：
【解析】由，令，
所以，其中，
所以的最大值是.
故答案为：.
例12．(2023·新疆·巴楚县第一中学高二期中（文））若，满足，则的最大值为__________.
答案：2
【解析】由圆的参数方程为（为参数），
得，
故的最大值为2，当且仅当时取得.
故答案为：2.
变式16．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高二阶段练习（理））已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．
答案：
【解析】由化为，
设，
则，
则当时，取得最大值为.
故答案为：.
变式17．(2023·辽宁营口·高二期中（文））设为圆上的动点，求的最大值______.
答案：
【解析】由题得圆的参数方程为（为参数），
所以，
所以当时，函数取最大值.
故答案为：
变式18．(2023·上海·复旦附中高三期中）已知，且，则的取值范围是____________.
答案：
【解析】，
令，，
则
，
，
，
故答案为，．
题型五：诱导公式之求值问题
例13．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.
(1)化简；
(2)若，求；
(3)若，求.
【解析】（1）根据诱导公式有：
（2）因为，α是第三象限角，
所以
所以
（3）因为，
所以
.
例14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【解析】（1）
（2）因为，
所以，
，
故.
例15．(2023·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
【解析】（1）因为在第二象限，，所以，所以，又点的坐标为，所以
（2）．
变式19．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知 .
(1)化简；
(2)若是第四象限角，且 ，求的值.
【解析】(1)根据诱导公式可得： ,
所以.
(2)由诱导公式可知,则由可得,
又是第四象限角,
所以, 所以.
题型六：化简或证明
例16．(2023·全国·高一课时练习）已知，．
(1)证明：；
(2)计算：的值．
【解析】（1）方法一：
由条件，
则
即
整理得
也即，得证．
方法二：
由条件，
即，
得，
从而可得
得证．
（2）由于
所以原式
例17．(2023·全国·高一课时练习）证明：.
【解析】左边=，
，
，
=右边.
即原等式成立.
例18．(2023·云南·丽江第一高级中学高一开学考试）（1）设，直接用任意角的三角函数的定义证明：.
（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明.
【解析】（1）将a角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，设a角终边一点（非原点），其坐标为.
∵，∴，.
（2）由于，将换成后，就有
即，.
变式20．(2023·全国·高一课时练习）证明：，．
【解析】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
变式21．(2023·全国·高一专题练习）已知角的终边在第三象限，，证明：．
【解析】由题可知
．
．
为第三象限角，为第三或第四象限角．
又，为第四象限角，
．
．
．
所以得证.