第17讲 重难点专项突破03二次函数综合之“特殊三角形存在性”问题-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）

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一、等腰三角形存在性
根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．
1、知识内容：
在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：
（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；
（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）
2、解题思路：
（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
二、直角三角形存在性
在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。
以函数为背景的直角三角形存在性问题
1、知识内容：
在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形．
2、解题思路：
（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
（2）计算出相应的边长等信息；
（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．
【考点剖析】
题型一：等腰三角形存在性
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)存在，符合条件的点M有3个，其坐标分别为 或 或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点M的坐标为，分两种情况讨论：① 当时；② 当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴代入得解得
∴抛物线解析式为．
（2）解：存在；
由（1）得：抛物线解析式为，
∴对称轴，
当时，解得或1，
∴点A的坐标为，
∵点C坐标为，
设点M的坐标为，
由勾股定理，得，
，
，
∵为等腰三角形的腰，
① 当时，即．解得，
∴，；
② 当时，即，解得，
∴；
综上，符合条件的点M有3个，其坐标分别为或或；
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式、三角形问题，掌握解题方法是关键．
2．（2023·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，拋物线的对称轴交轴于点，已知．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，四边形的面积最大，最大值为，此时
(3)存在，满足条件的点坐标为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式得出对称轴为直线，进而得出，求得直线的解析式为，设，则，进而得出，根据四边形的面积，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）先利用勾股定理求得，再根据等腰三角形的性质分和，结合坐标与图形求解即可．
【详解】（1）将代入抛物线解析式得
，
解得
抛物线解析式为
（2）抛物线的对称轴为直线
设直线的解析式为，将点坐标代入得
解得
直线的解析式为
设，则
四边形的面积
当时，四边形的面积最大，最大值为，此时

（3），
，
当时，点坐标为或，
当时，点坐标为，
当时，设
则，
解得：，则点坐标为，
综上所述，满足条件的点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴于A，B两点，交y轴于点C，．
(1)直线过A，C两点，
①如图1，求抛物线的解析式；
②如图1，将直线向右平移，A的对应点为B，且，以为一边作等腰三角形，求N的坐标；
(2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线交y轴于点H，若，求a的值．
【答案】(1)①；②N点坐标为或或，或或或
(2)
【分析】（1）①待定系数法即可求解；②求出，，分、两种情况，分别求解即可；
（2）求出直线的解析式为、直线的解析式为，进而求解．
【详解】（1）解：①直线过，两点，
，
将、点坐标代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
②当时，，
解得或，
，
将直线向右平移，的对应点为，
平移后的直线的解析式为，
，，
，
，
，
过点作轴交于点，
，
，
，，
，
，，
，，
当时，或或，；
当时，或或；
综上所述：点坐标为或或，或或或；
（2）解：，
，
设，直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
，，
，
，
解得．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
4．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求的面积；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)18
(2)，此时
(3)或或
【分析】（1）分别令和解方程可得点、、的坐标，再用三角形面积公式求出面积即可；
（2）过点作轴交于点，数形结合思想找到和的数量关系，求最大值转化为求最大值问题，利用配方法求最值即可；
（3）根据相似三角形的性质，把图象的平移转化为水平和左右平移，则向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，得出新抛物线解析式，求出两个抛物线的交点坐标，再设向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，则，，然后根据等腰三角形的性质建立关于的方程求解，即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得：，，
，，，
，，
；
（2）解：过点作轴交于点，

，，
，
，
∵轴，
，
，
，则当最大时，也最大，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，最大，则，
线段的最大值为，此时点的坐标为；
（3），
将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，
即原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，
原抛物线，
新抛物线，
令，
解得，
，
设向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，
则，，
，
，
，
，
①当时，
，
（舍去）或，
点的坐标为；
②当时，
，
或，
点的坐标为或；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，三角形的面积，二次函数最值，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平移的性质是解题的关键．
题型二：直角三角形存在性
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式：
(2)证明：为直角三角形：
(3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）将、、的坐标代入抛物线解析式，求解即可；
（2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形；
（3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标．
【详解】（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：、、，
，
，
，
，
，则，
是直角三角形；
（3）解：存在，
当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为，
，
把代入得：，
，．
点坐标为．

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线与轴有两个不同的交点．
(1)试确定的取值范围．
(2)设该抛物线与轴的交点为，，其中；抛物线与y轴交于点，如图所示．
①求该抛物线的表达式并确定点坐标和点坐标；
②连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．
【答案】(1)
(2)，，；或
【分析】（1）根据抛物线与轴有两个不同的交点，得方程有两个不同的实数根，根据根的判别式，即可；
（2）把点代入抛物线中，求出抛物线的解析式，再根据，求出点的坐标，，求出点的坐标，即可；根据点，点的坐标，得是等腰直角三角形，得，根据为直角三角形，分类讨论：当时，根据勾股定理求出；当时，根据勾股定理求出，即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴方程有两个不同的实数根，
∴，
∴．
（2）点代入抛物线中，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴点，
当时，，，
∴点；
∵点，点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
：当，，
∴，，
∴，
∵动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，
∴，，，
∴，
∴；
当，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当为直角三角形时，或．
【点睛】本题考查二次函数和几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用．
7．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．

(1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，对称轴是；
(2)满足条件的点的坐标为：或或或．
【分析】（1）分别令和进行求解即可；
（2）设，分别按C、N、Q三点为直角顶点，应用勾股定理进行求解．
【详解】（1）解：由得到：，
令，则，
∴或，
则，，对称轴是．
令，则，
所以，
综上所述，，，，对称轴是；
（2）解：假设存在满足条件的点．
设．
又，
∴，，，
①当点是直角顶点时，则，即，
解得，
此时点的坐标是；
②当点为直角顶点时，，即，
解得，
此时点的坐标是；
③当点为直角顶点时，，即，
解得或，
此时点的坐标是或．
综上所述，满足条件的点的坐标为：或或或．
【点睛】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，二次函数解析式的三种形式，勾股定理以及两点间的距离公式．注意分类讨论数学思想的应用．
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．

(1)试求出点B的坐标．
(2)分别求出直线和抛物线的解析式．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或或或
【分析】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标；
（2）用待定系数法即可求解函数解析式；
（3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可．
【详解】（1）解：∵点，即．
∵，
在中，根据勾股定理得，
即点B坐标为．
（2）把分别代入中，
得，解得．
∴直线解析式为；
把、、分别代入得
，解得．
∴抛物线的解析式是．
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是，
∴抛物线对称轴为直线．
设点P坐标为．
①当时，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故点；
②当时，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故点；
③当时，有．
∵，，，
∴．
解得：，，
∴， ．
综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏．
9．（2022秋·广西柳州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线于点M，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若平分时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线和的表达式，然后得到，，，进而表示出，，最后利用平分列方程求解即可；
（3）首先根据题意表示出，，，然后分两种情况讨论，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）将，代入得，
，解得
∴；
（2）当时，
∴
∵点D与点C关于x轴对称，
∴
∴设直线的表达式为
∴，解得
∴直线的表达式为
同理可得直线的表达式为
∵
∴，，
∴，
∵平分
∴
∴
∴解得，（舍去）
∴；
（3）∵，，
∴，，
当时，

∴
∴
∴解得或（舍去），
∴；
当时，

∴
∴
∴解得或（舍去）
∴
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解（2）的关键是利用对称得出D点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的关键是利用勾股定理得出关于m的方程，并分类讨论，以防遗漏．
10．（2023·江苏淮安·统考三模）数学兴趣小组同学们对二次函数（n为正数）进行如下探究：
(1)同学们在探究中发现，该函数图像除与y轴交点不变外，还经过一个定点，请写出点坐标 ；
(2)有同学研究后认为，该二次函数图像顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；
(3)若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出的值.
【答案】(1)
(2)正确；理由见解析
(3)或
【分析】（1）将函数解析式变形，使得含的项为0，可得或，进而即可求解；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式得出纵坐标小于或等于0，即可得出结论；
（3）根据二次函数的对称轴可得交点与顶点构成的三角形是等腰直角三角形，进而根据顶点到轴的距离等于,建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：
，
当时，即或，
当时，，
当时，，
∴；
故答案为：．
（2）解：正确，理由如下，
∵，，
∴抛物线的顶点坐标的纵坐标为，
即该二次函数图像顶点不会落在第一象限；
（3）解：当时，，
即
∴或
设抛物线与轴的另一个交点为，顶点为，则，则
依题意，为等腰直角三角形的斜边，顶点坐标为的纵坐标为
∴
当，时，即，
∴，解得：（舍去）或
当时，即，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
题型三：等腰三角形存在性
12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．

(1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标；
(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为；
(2)存在，的坐标为或
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法即可求解，令即可求得点的坐标；
（2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，分两种情况：①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，证明，得，，设，则，代入可得的值，从而求得的坐标；②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，同理可得的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，
将点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为，
令得：，
解得，，
；
（2）解：存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，
①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：

，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
设，则，
将代入得：，
解得（舍去）或；
；
②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：

，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
设，则，
把代入得：，
解得：（舍去）或，
．
综上所述，E的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
13．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线经过点和点
(1)求该抛物线的函数表达式及其顶点坐标．
(2)将该抛物线平移，所得抛物线经过点，且与y轴交于点B．如果以点A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，那么应将抛物线怎样平移？为什么？
【答案】(1)，顶点坐标为；
(2)将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，理由见解析
【分析】（1）把P、Q两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，将其化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
【详解】（1）解：将和，代入中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）∵是等腰直角三角形，，点在轴上，
∴点坐标为或，
可设平移后的抛物线解析式为，
①当抛物线过点，时，代入可得，
，
解得，
∴平移后的抛物线为，
∴该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为，
∴将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位即可；
②当抛物线过点，时，代入可得∶
，
解得，
∴平移后的抛物线为，
∴该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为，
∴将原抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位即可；
综上可得：将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数解析式、函数与方程的关系、等腰三角形的性质、坐标平移和分类讨论等．求出平移前后抛物线顶点坐标确定平移的方式是解题的关键．
14．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．

(1)抛物线的对称轴为直线_______；
(2)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值；
(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值．
【答案】(1)2
(2)①；②或3
(3)或3
【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴即可；
（2）①由抛物线经过坐标原点可得，从而得到二次函数的解析式；
②分，，三种情况，根据二次函数的增减性求解即可；
（3）由以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形可知点P是直角顶点，根据点A、B的坐标求得点P的坐标为，由题意可知点P的坐标为，从而得到，从而得解．
【详解】（1）解：依题意得∶ 抛物线的对称轴为直线
故答案为：2；
（2）解：①∵抛物线经过坐标原点，
，解得，
抛物线的解析式为．
②当，即时，
此时开口向上，在上，y随着x的增大而减小，
∴当时，y取最小值，即
解得(不合题意，舍去)，；
当，即时，
此时对称轴处取最小值，
∴当时，y的最小值为，不存在最小值为的情况；
当时，此时开口向上，在上，y随着x的增大而增大，
∴当时，y取最小值，即，
解得，(不合题意，舍去)．
综上所述，m的值为或3．
（3）解：∵以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是抛物线对称轴上的点，
∴点P是直角顶点，(否则点P在直线或y轴上，不合题意)
设与对称轴的交点为Q，则根据对称性可知点Q是的中点．
作出图形如下：

令，解得，
∴
又令，解得
∴
∴，
又∵点Q是的中点，
∴
∵点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是直角顶点，
∴，
∴
又∵点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，
∴点P的坐标为，
∴，
解得：或3
即a的值为或3．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何综合等知识，掌握相关知识和分类讨论思想是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022·四川德阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．12C．6D．3
【答案】B
【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点坐标，再通过求出长度，通过三角形面积底高求解．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
点为，
点坐标为，
．
，
，
．
．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）抛物线y＝x2上有三个点A、B、C，其横坐标分别为m、m+1、m+3，则的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】把横坐标代入抛物线解析式，可得相应的纵坐标；设出直线的解析式，把，两点代入，即可求得直线的解析式，作轴，交直线于点，可得的长度，那么的面积可分为和的面积的和，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：如图：
抛物线上有三个点、、，其横坐标分别为、、，
，，，，，
设直线的解析式为，则有，
解得：，
∴直线的解析式为：，
的长为，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是根据三角形面积公式得到．
3．（2022秋·四川凉山·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】①由抛物线经过点，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角；④当OP⊥AC时，OP取最小值，根据等面积求得OP即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②错误；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正确；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④正确；
故正确的有：①③④，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，两点距离公式，等面积求高，解决此题的关键是根据三角形的面积得OP的长．
4．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由是等腰直角三角形，，知是等腰直角三角形，设，则，可得，根据二次函数性质即可得到答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
时，最大，最大值是4，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是用含的代数式表达，熟练应用二次函数性质解决问题．
5．（2022春·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c>3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝．其中正确的个数（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】由图象可得对称轴为直线，可得，可判断①；将点坐标代入解析式可得，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求或，可判断④，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
对称轴为直线，
，
，故①正确，
当时，，
，
，
，故②错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有2个，故③正确；
二次函数，
顶点，
，，，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
6．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点，
∵是正三角形，，
∴
∴
设过的抛物线解析式为，
将点代入，得
∴
∴抛物线解析式为，
∵四边形是正方形，且关于轴对称，
∴
设，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
设直线的解析式为，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵在上，
∴的横坐标为
代入
得
∴
∴
∴阴影部分面积为
故选D
【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键．
7．（2021·四川成都·一模）如图，二次函数图象的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面四个结论中：
①；
②；
③只有当时，是等腰直角三角形；
④使为等腰三角形的值可以有两个．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，
∵图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故①正确；
②∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴
∴结论②正确．
③如图1，连接AD，BD，作DE⊥x轴于点E，
，
要使△ABD是等腰直角三角形，
则AD＝BD，∠ADB＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴点E是AB的中点，
∴DE＝BE，
即||2，
又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴||＝2，a＞0，
解得a，
∴只有当a时，△ABD是等腰直角三角形，
结论③正确
④要使△ACB为等腰三角形，
则AB＝BC＝4，AB＝AC＝4，或AC＝BC，
Ⅰ、当AB＝BC＝4时，
在Rt△OBC中，
∵OB＝3，BC＝4，
∴OC2＝BC2﹣OB2＝42﹣32＝16﹣9＝7，
即c2＝7，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅱ、当AB＝AC＝4时，
在Rt△OAC中，
∵OA＝1，AC＝4，
∴OC2＝AC2﹣OA2＝42﹣12＝16﹣1＝15，
即c2＝15，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅲ、当AC＝BC时，
∵OC⊥AB，
∴点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
这与AO＝1，BO＝3矛盾，
∴AC＝BC不成立．
∴使△ACB为等腰三角形的a值可以有两个：．
结论④正确．
故答案选：D
【点睛】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x判断符，（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2﹣4ac＞0；②1个交点，b2﹣4ac＝0；③没有交点，b2﹣4ac＜0．
8．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的lg．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴，根据平移的性质得到，设，求出x值，得到平移距离，可得的解析式，令求出点P坐标，根据等腰直角三角形的性质得到，求出a值，根据开口方向得到结果．
【详解】解：∵，
∴，对称轴为直线，则，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴移动距离为，
∴，
，，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵开口朝下，
∴，．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意结合图像，求出平移距离．
9．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确的有（ ）个．

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据的交点是，，可知对称轴为，从而可判断①；根据①的结论及可得与的关系，从而判断②；将、代入化简即可判断③；当是等边三角形时，可知代入二次函数解析式，结合，判断④．
【详解】解：∵的交点是，，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴，
∴，即，故①错误；
∵在二次函数的图象上，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴，故③错误；
当是等边三角形时，如图：

则，
又∵，，
∴，
∴代入二次函数解析式得：，
又、，
即，
∴，
∴，
∴物线解析式为，
故④正确；
综上所述：正确的结论是①，共一个，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度．
10．（2023·湖北随州·统考一模）如图是二次函数图像的一部分，且经过点，对称轴是直线，下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点，是函数图像上的两点，则；④设该抛物线与坐标轴的交点为，，，若是等腰三角形，则，其中正确的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断选项①；由图象得出时对应的函数值等于0，即可判断②；由二次函数图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的性质，分类讨论，即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴正半轴相交，
，
对称轴在轴右侧，
，异号，
，
，故①正确；
图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
是关于x的方程的一个根，故②正确；
∵点，是函数图像上的两点，对称轴为直线，
∴在抛物线上，
∵当时，随的增大而减小，，
则故③正确，
设该抛物线与坐标轴的交点为，，，
则，，
，
∵是等腰三角形，

当时
在中，，
∴，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
当时，

在,，
∴
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴是等腰三角形，则或，故④不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题
二、填空题
11．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点M、N（M在N左侧），与y轴交于点A，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，经过点M的射线MD与y轴负半轴相交于点C，与抛物线的另一个交点为D，∠BMN=∠NMD，点P是y轴负半轴上一点，且∠MDP=∠BMN，则点P的坐标是_______．
【答案】
【分析】作轴交MD于，如图，证明B点和关于x轴对称，再解方程 得M（﹣2，0），N（4，0），接着求出B点坐标，从而得到（2，﹣2），利用待定系数法求出直线MD得解析式为yx﹣1，然后通过解方程组得D（6，﹣4），最后证明 得到P点坐标．
【详解】解：作轴交MD于，如图，
∵∠BMN＝∠NMD，
∴MN垂直平分BB′，
∴B点和关于x轴对称，
当y＝0时， ，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴M（﹣2，0），N（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
∵点B与点A关于直线x＝1对称，
∴B（2，2），
∴（2，﹣2），
设直线MD的解析式为y＝kx+b，
把M（﹣2，0），（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直线MD得解析式为yx﹣1，
解方程组，
∴D（6，﹣4），
∵∠BMN＝∠NMD，∠MDP＝∠BMN，
∴∠NMD＝∠MDP，
∴，
∴P点坐标为（0，﹣4）．
故答案为（0，﹣4）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
12．（2022秋·江苏盐城·九年级统考阶段练习）如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点在直线下方的抛物线上运动，当时，点的坐标为____．
【答案】
【分析】将点、、的坐标求出，，设交x轴于点N，求出点的坐标，从而得直线的解析式，联立方程组即可求解．
【详解】解：抛物线与坐标轴交于点、、，
∴当时，；当时，，解方程得，，，
∴，，，则，，，
∴在中，，
如图所示，点点在直线下方的抛物线上运动，设交x轴于点N
∵，
∴，
设，则，
在中，，解得：
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴，
∴，解方程组得，（舍去），，
当时，，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数与三角形的综合运用，掌握二次函数图像的性质，根据勾股定理，列出方程是解题的关键．
13．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图抛物线与直线相交于点A，B，与y轴交于点，若为直角，则当时自变量x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】先根据待定系数法即可求得抛物线解析式，再令，解得的值，再结合函数图象即可求解．
【详解】解：设与y轴交于点D，如图，则
∵，
∴，
∵抛物线对称轴为y轴，
∴为等腰直角三角形，点D为中点，
∴，
∴，
∵抛物线过点，
∴，
∴，，
∴抛物线解析式为，
令得：，
解得：，
∴当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、抛物线与x轴的交点、用待定系数法求二次函数解析式，根据待定系数法求出抛物线解析式，再正确求出抛物线与x轴的交点是解题关键．
14．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值是__________________．
【答案】/0.5
【分析】过作轴于，交于，求出、的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
【详解】解：抛物线的顶点为，且经过点、，
抛物线的对称轴是直线，且，关于直线对称，
过作轴于，交于，
为等腰直角三角形，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，，，，
把、的坐标代入得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2022秋·九年级单元测试）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为___．
【答案】或或
【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏．
16．（2022秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）抛物线交x轴负半轴于点A，点B是抛物线上一动点，且点B在第二象限，以AB为边，作等腰直角三角形ABP.其中，当点Р恰好在y轴上时，点Р的坐标为____________.
【答案】（0，1）
【分析】根据二次函数解析式画出其图像，过点作轴与轴交于点，过点作轴与轴交于点，根据等腰三角形的性质可证，从而得到，设，则，求解即可得出点的坐标，结果可求．
【详解】解：令，
解得或，
，
令时，，
作出抛物线的图像如图：
过点作轴与轴交于点，过点作轴与轴交于点，
为等腰直角三角形，，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
则，
解得：或，
点B在第二象限，
舍去，
，
，
，
故答案为：（0，1）．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．（2022·江苏泰州·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．点P为抛物线对称轴上一点．以为边在的下方作等边三角形，则当点P从点D运动到点E的过程中，点Q经过路径的长度为______．
【答案】4
【分析】当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，证明，则，则，即可求解．
【详解】如图，当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，
则，，，
对于，令，则，令，解得或，
故点A、B、C的坐标分别为、、，
函数的对称轴为，点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
由B、D的坐标知，，而，
则，
即点Q经过路径的长度是4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查二次函数和几何综合，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质．
18．（2023·江西景德镇·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接．点是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点的纵坐标是______．
【答案】4或或
【分析】利用待定系数法求出函数关系式，再分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求出点坐标即可；
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，，
，，，
，
当时，则，
解得：（舍去）或4，
即点的坐标为，，
当时，，
解得：，
综上所述，满足条件的点纵坐标为4或
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，题目综合性较强，属于中考压轴题．
三、解答题
19．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线与轴相交于点，，对称轴是，与轴相交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，点的横坐标为或
【分析】（1）由对称轴以及，建立关于，的方程组并求解即可；
（2）首先求出、两点坐标，从而确定，因为要满足是以为底边的等腰三角形，则应满足，从而确定直线并平分，即为直线，求其与对称轴的交点即可；
（3）过点作轴，交于点，交轴于点，求出直线解析式之后，通过设点坐标，表示出，结合割补法表示出，并求出，即可建立方程求解．
【详解】（1）解：由对称轴为直线，得，
∵抛物线过点，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，，
点的坐标为，
由，得，，
点的坐标为，
，
∵是以为底边的等腰三角形时，有，
直线，
直线平分，
∴直线解析式为，
将代入得，
点的坐标为；

（3）过点作轴，交于点，交轴于点，
设直线的函数表达式为，则
，解得，
，
设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
由，得 ，
解得，，
存在，点的横坐标为或．

【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括等腰三角形的存在性问题，三角形的面积问题等，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键．
20．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L：与x轴交于，与y轴交于点．

(1)求抛物线L的表达式和顶点坐标D；
(2)将抛物线L平移得到，抛物线的顶点坐标为E，的对称轴与x轴交于点F． 若以O，E，F为顶点的三角形与全等，请你写出平移过程，并说明理由．
【答案】(1)抛物线L的表达式为：，顶点坐标为；
(2)有四种情况，详见解析．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知可知是等腰直角三角形，故，若以O，E，F为顶点的三角形与全等，则，故顶点坐标有四种可能，由此确定平移方式．
【详解】（1）解：将、代入抛物线解析式得：
得：，解得：，
即抛物线的解析式：；
∵，
∴顶点坐标为；
（2）如图，

∵、，，
∴以O，E，F为顶点的三角形与全等，则有，
∴顶点位置有四种可能：
①若顶点坐标为，此时将抛物线L向右平移4个单位，向下平移1个单位得到抛物线；
②若顶点坐标为，此时将抛物线L向左平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线；
③若顶点坐标为，此时将抛物线L向左平移2个单位，向下平移7个单位得到抛物线；
④若顶点坐标为，此时将抛物线L向右平移4个单位，向下平移7个单位得到抛物线．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要涉及待定系数法求函数解析式、三角形全等、函数的平移等知识，根据全等确定平移后顶点坐标是解题的关键．
21．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，抛物线经过，B两点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)F是直线上一动点，M为抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，请求出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由点的坐标及抛物线的对称轴可得出点的坐标，由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）由可得出存在两种情况：①取点与点重合，过点作轴，交直线于点，则为等腰直角三角形，由此可得出点的坐标；②取点与点重合，过点作轴，交直线于点，则为等腰直角三角形，由此可得出点的坐标；③取点，连接，延长交抛物线于点，过点作轴，交直线于点，则为等腰直角三角形，由点、的坐标可求出直线的函数关系式，联立直线和抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标；若为等腰直角三角形，同理可得点的坐标为，综上即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，且过点，
点的坐标为．
将、、代入，得：
，解得：，
抛物线的函数表达式为．
（2），
存在三种情况．
①取点与点重合，过点作轴，交直线于点，
，，
此时为等腰直角三角形，
点的坐标为；
②取点与点重合，过点作轴，交直线于点，

，，
此时为等腰直角三角形，
点的坐标为；
③取点，连接，延长交抛物线于点，过点作轴，交直线于点，
点、关于轴对称，，
，，
为等腰直角三角形，
轴，
为等腰直角三角形．
点，点，
直线的函数关系式为，
联立直线和抛物线的函数关系式成方程组，得：，
解得：，，
点的坐标为．
如图，若为等腰直角三角形，
同①可得：点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次（二次）函数解析式以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数关系式；（2）根据等腰直角三角形的性质找出点的位置．
22．（2023·广东广州·统考二模）已知关于x的二次函数（m为常数）图象的顶点为D．
(1)求证：二次函数的图象与x轴有交点；
(2)如果当时，y的最大值为3，求m的值；
(3)当时，二次函数图象与x轴的交点为A，B（点A在点B左侧）．二次函数图象对称轴上是否存在一点G，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)存在，点G的坐标为或或或
【分析】（1）根据的取值范围即可证明；
（2）根据二次函数的性质，得出当或时，y取最大值3，再分别计算即可得出结论；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况，分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）当，即时，
．
∴该二次函数的图象与x轴必有交点．
（2）二次函数的对称轴为．
∵该二次函数的开口向上，当时，y的最大值为3，
∴当或时，y取最大值3．
∵当时，．
∴当时，，
解得．
（3）存在．
当时，，
∴，对称轴．
当时，，
解得：，，
∵点A在点B左侧，
∴．
∴．
是等腰三角形，分三种情况：

①当时，
∵，对称轴，
∴，．
②当时，点与点关于轴对称，
∴．
③当时，点是的垂直平分线与对称轴的交点，
如图，设对称轴与轴交于点，作的垂直平分线，交与点，交对称轴与点，
则，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
综上所述，点G的坐标为或或或
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用分类讨论的方法求解点G的坐标是解题的难点．
23．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．

(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，点P和点N的坐标分别为：或或或．
【分析】（1）令，得解方程求出的值，可得的坐标，将抛物线解析式化为顶点式可得点的坐标；
（2）分和两种情况，依据全等三角形的性质讨论求解即可．
【详解】（1）对于，令，得
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴，
又
∴；
（2）由（1）知，，，
∵l交x轴于点D
∴
∴
∵轴,
∴

分两种情况讨论：
①当时，，
∴点P的横坐标为2或；
当时，，
∴
∴
∴
当时，，
∴
∴
∵
∴
②当时，
∴点P的横坐标为1或；
当时，，
∴
∴
∵
∴
当时，，
∴
∴
∴
综上所述，点P和点N的坐标分别为：或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键．
24．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，过点A、C作直线．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点F，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点M；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)AE+PF的最大值为：；此时
(3)点的坐标为：或或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出，，，
求出直线的解析式为：，分别过点A，P作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G，求出，，从而得出,设点P的横坐标为t，则，，得出，求出当时，的最大值为，即可求出结果；
（3）先求出，令，求出，设，则，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：
直线的解析式为：，
如图，分别过点A，P作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G，
则，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
设点P的横坐标为t，则，，
∴
∴当时，的最大值为；
∴的最大值为：；此时；
（3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
∵抛物线的解析式为：，
∴，
令，
解得，
∴，
将线段沿直线平移到线段，
则设，则，
∵，
∴，，，
以、、M为顶点的三角形是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①当时，
，
整理得，，
解得或，
∴点的坐标为：或；
②当时，
，
整理得，，
无解；
③当时，
，
解得，
∴；
综上，符合题意的点的坐标为：或；或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的最值，解直角三角形，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，注意分类讨论．
25．（2022·广东江门·统考一模）如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，交轴于点将直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交拋物线于另一点．

(1)求直线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上一点，当的面积最大时，求出此时点的坐标；
(3)如图，将沿射线方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的为，平移时间为秒，当为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或．
【分析】抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，交轴于点，可求出，，，再根据∽可得出，从而求出，即得直线的解析式，即直线的解析式为：；
由题意，令点，则点，于是，可知当时，取得最大值，将代入抛物线可得点的坐标为；
由题意连接，过点作轴交轴于点，令，，，则点的坐标为，得从而得，，，为等腰三角形时有三种情况，当时，解得：当时，解得：或不符合题意，舍去当时，解得：，得出结论．
【详解】（1）由题意知，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，交轴于点，
令，解得，令，解得：，；
，，
，，
直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交拋物线于另一点
即
∽
点的坐标为：
直线的解析式为：，
（2）如图，

过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作交于点，
由知，，令点，则点，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）如图

连接，过点作轴交轴于点，
由平移可得：，
∴，
又∵，
∴
∴
，，
点的坐标为，
由联立解得(舍去)，，
∴
，，
当时，，解得：
当时，则，解得：或不符合题意，舍去
当时，则，解得：；
所求的值为：或或或．
【点睛】此题考查了直线解析式的求法，还考查了三角形的面积的最值问题及等腰三角形的性质，要注意将三角形分成三种情况求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．