第22讲 人教版新九年级开学考试卷（测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据分析）（教师版+学生版）

这是一份第22讲 人教版新九年级开学考试卷（测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据分析）（教师版+学生版），文件包含第22讲人教版新九年级开学考试卷测试范围二次根式勾股定理平行四边形一次函数数据分析教师版docx、第22讲人教版新九年级开学考试卷测试范围二次根式勾股定理平行四边形一次函数数据分析学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
1．（2分）下列各式中，一定是二次根式的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】含二次根号的式子，如果一定是二次根式，则不论字母取何值，被开方数一定是非负数．
【解答】解：A、被开方数小于0，式子没有意义，故本选项不合题意；
B、是二次根式，故本选项符合题意；
C.是三次根式，故本选项不合题意；
D.，当a＜0时，二次根式无意义，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．（2分）已知是整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．12
【分析】先将化简为最简二次根式，然后再根据是整数求解即可．
【解答】解：∵＝2，是整数，
∴3a是一个完全平方数．
∴a的最小值是3．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次根式的性质，由是整数，得出3a是一个完全平方数是解题的关键．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．7a+2b＝9abB．（﹣3a3b）2＝6a9b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．﹣＝
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式和二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、7a+2b，无法合并同类项，故此选项错误；
B、（﹣3a3b）2＝9a6b2，故此选项错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、﹣＝2﹣＝，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式和二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2分）二次根式中字母x可以取的数是（ ）
A．0B．2C．﹣D．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求出x的取值范围，然后选择答案即可．
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x≥，
∵0、2、﹣、中只有2大于，
∴x可以取的数是2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．（2分）矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（ ）
A．B．C．2D．
【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，推出DG＝CG﹣CD＝2，∠HAM＝∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM＝FG＝1，MH＝GH，则MD＝AD﹣AM＝2，在Rt△MDG中，GM＝＝2，即可得出结果．
【解答】解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，
∴GH＝GM＝，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．14B．20C．24D．28
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：设AC与BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求出AB的长是本题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．（3分）如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则阴影部分面积之和是 3 ．
【分析】设直线y＝﹣2x+b与y轴交于点D，AE⊥y轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出DE，AE的长，利用三角形的面积计算公式可求出△DAE的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为1，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【解答】解：设直线y＝﹣2x+b与y轴交于点D，AE⊥y轴于点E，如图所示.
当x＝0时，y＝﹣2×0+b＝b，
∴点D的坐标为（0，b）；
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+b＝2+b，
∴点A的坐标为（﹣1，2+b），
∴点E的坐标为（0，2+b），AE＝1，
∴DE＝2+b﹣b＝2，
∴S△DAE＝AE•DE＝×1×2＝1．
同理，可求出另两个三角形的面积均为1（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和＝1+1+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．
8．（3分）光明中学八年级（1）班在一次测试中，某题（满分为5分）的得分情况如图，则这题得分的众数为 3分 、中位数为 3分 和平均数为 2.86分 ．
【分析】根据众数和中位数的定义以及加权平均数的定义进行计算，可得这题得分的众数、中位数和平均数．
【解答】解：由于得分最多的是3分，占总人数的百分比为40%，
所以众数为3分；
∵6%+8%+16%＜50%，6%+8%+16%+40%＞50%，
∴得分位于中间的数是3分，
∴中位数为3分，
全班同学在该题的平均得分为：0×6%+1×8%+2×16%+3×40%+4×24%+5×6%＝2.86（分）．
故答案为：3分，3分，2.86分．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是明确扇形统计图中百分比的含义及众数、中位数、加权平均数的定义．
9．（3分）已知m＝3﹣，则代数式m2﹣6m﹣7的值是 ﹣11 ．
【分析】将所求式子配方变形后，把m的值代入即可求出值．
【解答】解：∵m＝3﹣，
∴m2﹣6m﹣7＝（m﹣3）2﹣16＝（3﹣﹣3）2﹣16＝5﹣16＝﹣11．
故答案为：﹣11
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，以及配方法的应用，熟练运用完全平方公式是解本题的关键．
10．（3分）已知样本x1，x2，x3，…xn的方差是1，那么样本2x1+3，2x2+3，…2xn+3的方差是 4 ．
【分析】根据方差的含义和求法，求出样本2x1+3，2x2+3，…2xn+3的方差是多少即可．
【解答】解：∵样本x1，x2，x3，…xn的方差是1，
∴样本2x1+3，2x2+3，…2xn+3的方差是：
22×1
＝4×1
＝4
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了方差的含义和求法，解答此题的关键是熟练掌握方差公式和方差的变化特点．
11．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB，PQ，则△PBQ周长的最小值为 + ．
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，那么△PBQ的周长最小，此时△PBQ的周长＝BP+PQ+BQ＝DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．
【解答】解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO＝OD，CD＝3cm，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP+PQ＝DP+PQ＝DQ．
在Rt△CDQ中，DQ＝＝＝，
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ＝DQ+BQ＝+．
故答案为+．
【点评】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，可确定点P的位置．
12．（3分）若最简二次根式与能合并，则a＝ 4 ．
【分析】能合并就是都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式 与 能合并，
∴a+1＝5，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，解题的关键是都化为最简后合并，难度不大．
13．（3分）三个正方形如图所示其中两个正方形面积分别是64，100，则正方形A的面积为 36 ．
【分析】根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．
【解答】解：由题意知，BD2＝100，BC2＝64，且∠DCB＝90°，
∴CD2＝100﹣64＝36，
正方形A的面积为CD2＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，以及正方形面积的计算，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．（3分）钝角三角形三边的长为10，17，m，则整数m有 13 个可能值．
【分析】先根据三角形的三边关系确定整数m的范围，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵三角形三边的长为10，17，m，
∴17﹣10＜m＜17+10，即7＜m＜27，
∴整数m的值有19个，
∵＝＜14，＝＞19，
∴当三角形是钝角三角形时，m＜14或m＞19，
∴三角形是钝角三角形时，整数m的值有8，9，10，11，12，13，20，21，22，23，24，25，26共13个，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、勾股定理，两角钝角三角形的概念是解题的关键．
三．解答题（共4小题，满分20分，每小题5分）
15．（5分）计算：+×
【分析】首先计算二次根式的乘法，再化简后计算二次根式的加法即可．
【解答】解：原式＝+，
＝+，
＝+．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
16．（5分）如图，要测一池塘两端A、B的距离，请你利用三角形知识设计一个测量方案．
要求：①简述测量方法；
②画出示意图（原图画）；
③用你测量的数据（用字母表示）表示AB，并说明理由，说明：池塘周围在同一高度，并且比较平坦．
【分析】过点A作AB的垂线AP，在AP上取一点C，使C点与B点可通达，利用勾股定理即可解答．
【解答】解：过点A作AB的垂线AP，在AP上取一点C，使C点与B点可通达，量得AC＝b，BC＝a
图略．由勾股定理得AB2＝BC2﹣AC2，
AB＝．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
17．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
【分析】（1）先证明四边形AODE是平行四边形，再由矩形的性质得出OA＝OC＝OD，即可得出四边形AODE是菱形；
（2）连接OE，由菱形的性质得出AE＝OB＝OA，证明四边形AEOB是菱形，得出AB＝OB＝OA，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，再由平角的定义即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD，
∴四边形AODE是菱形；
（2）解：连接OE，如图所示：
由（1）得：四边形AODE是菱形，
∴AE＝OB＝OA，
∵AE∥BD，
∴四边形AEOB是平行四边形，
∵BE⊥ED，ED∥AC，
∴BE⊥AC，
∴四边形AEOB是菱形，
∴AE＝AB＝OB，
∴AB＝OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，证明四边形AEOB是菱形再进一步证出△AOB是等边三角形是解决问题（2）的关键．
18．（5分）如图，一条公路上有A，B公汽站，公路旁边的工地C处需要爆破施工，已知点C与公路上停靠站A，B之间的距离分别为300米，400米，且CA⊥CB（如图），爆破施工时，距离C处250米范围内有危险，那么公路AB段是否需要暂时封闭？为什么？
【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
∴根据勾股定理得AB＝500米，
∵AB•CD＝BC•AC，
∴CD＝240米．
∵240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
四．解答题（共4小题，满分28分，每小题7分）
19．（7分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为腰的等腰△ABC，tan∠BAC＝2，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以AB为边的平行四边形ABDE，∠BAE＝45°，且AE大于AB，点D、点E均在小正方形的格点上；
（3）连接CE，直接写出线段CE的长度．
【分析】（1）利用等腰三角形以及锐角三角函数的关系可得出答案．
（2）利用网格，结合平行四边形的性质画出平行四边形ABDE即可．
（3）利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，平行四边形ABDE即为所求．
（3）由勾股定理得，CE＝．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20．（7分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
七年级：92，75，82，96，84，90，85，97，85，92，68，100，85，86，95，85，89，90，91，93．
八年级：90，87，93，97，90，84，92，72，100，80，90，91，59，93，87，90，82，91，92，100．
【整理与分析数据】
【应用数据】
（1）由上表填空：a＝ 10 ，b＝ 89.5 ，c＝ 90 ；
（2）若成绩不低于90分为优秀等次，该校七、八年级共有学生1600人，请你估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，请从两个不同的角度说明理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）根据中位数、众数即可得出结论．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣1﹣8＝10，
∵七年级20名学生的竞赛成绩的中位数是第10和第11个数据的平均数，
∴b＝＝89.5，
∵在八年级20名学生的竞赛成绩中90出现的次数最多，
∴c＝90，
故答案为：10，89.5，90；
（2）1600×＝920（人），
答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人；
（3）八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，
理由：①八年级的众数高于七年级；
②八年级的中位数高于七年级．
【点评】此题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，频数分布表，从统计表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
21．（7分）如图所示，某海关缉私巡逻艇在海上执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里的A点有一涉嫌走私船只，正以海里/时的速度向正东方向航行，为了迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以20海里/时的速度追赶，在涉嫌走私船只不改变航向和航速的前提下，问：
（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）
（2）确定巡逻艇的追赶方向．
【分析】（1）在Rt△AOB中，设需要t小时才能追上，根据三角函数就可以得到关于t的方程，解方程就可以求出t的值．
（2）在Rt△AOB中，已知三边，就可以求出三角函数值，就可以求出角的度数．
【解答】解：（1）设需要t小时才能追上，
则：AB＝10t，OB＝20t．
在Rt△AOB中：OB2＝OA2+AB2，即：（20t）2＝102+（10t）2，
解得：t＝±1，t＝﹣1（不合题意，舍去）．
故需要1小时才能追上；
（2）在Rt△AOB中
∵sin∠AOB＝＝＝，
∴∠AOB＝60°
即巡逻艇的追赶方向为北偏东60°．
【点评】考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，已知两边的长就可以求出第三边与两个锐角．
22．（7分）甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系
（1）求线段OP对应的y甲与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）求y乙与x的函数关系式以及乙到达A地所用的时间；
（3）经过 或 小时，甲、乙两人相距2km．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，利用待定系数法可以求得线段OP对应的y甲与x的函数关系式；
（2）利用待定系数法可以求得y乙与x的函数关系式以及乙到达A地所用的时间；
（3）根据（1）和（2）中的函数解析式，可以求得经过多少小时，甲、乙两人相距2km．
【解答】解：（1）设线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲＝kx（k≠0），
12＝k，得k＝18，
即线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲＝18x（0＜x＜）；
（2）设y乙与x的函数关系式为y乙＝ax+b，
，解得，
即y乙与x的函数关系式为y乙＝﹣4.5x+12，
当y乙＝0时，﹣4.5x+12＝0，解得x＝，
∴乙到达A地所用的时间小时；
（3）|（﹣4.5x+12）﹣18x|＝2，
﹣4.5x+12﹣18x＝2或18x﹣（﹣4.5x+12）＝2，
解得，x＝或x＝，
∴经过或小时，甲、乙两人相距2km．
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是13，求AB的长度．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BF＝CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝BC，DE＝DF＝AB，再根据△DEF的周长求出DE，然后求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴．
∵BE⊥AC，AF⊥BC，点D是AB的中点，
∴，．
∵△DEF的周长是13，
∴，
∴AB＝2DE＝2×5＝10．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，0），B（2，4），C（3，0），若过点C的一条直线平分△ABC的面积，求出这条直线的解析式．
【分析】由题意可知，线段AB与y轴的交点就是线段AB的中点，设这个交点为D，根据三角形的中线的定义以及三角形的面积公式可知直线CD平分△ABC的面积，再利用待定系数法求出CD的解析式即可．
【解答】解：如图所示，设AB与y轴交于点D，
∵A（﹣2，0），B（2，4），C（3，0），
∴D（0，2），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C（3，0），D（0，2）代入得：
，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝．
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，掌握三角形的中线的性质以及待定系数法是解答本题的关键．
六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
25．（10分）为了进一步提高企业的经济效益，某织布厂决定增加制衣项目．为此要将织布厂原有的100名工人分成两部分．一部分继续织布，一部分制衣．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接销售，每米布可获利2元；将布制成衣后销售，每件可获利25元．（若规定每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素）
（1）若一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，则安排多少名工人织布？
（2）当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）设安排x名工人织布，则安排（100﹣x）名工人制衣，然后根据题目中的数据和一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，可以列出相应的方程，然后求解节课；
（2）根据题意和题目中的数据，可以得到利润和制衣工人人数之间的函数关系式，再根据题意，可以得到制衣人数的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可求得当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大，最大利润为多少元．
【解答】解：（1）设安排x名工人织布，则安排（100﹣x）名工人制衣，
由题意可得，2[30x﹣4（100﹣x）×1.5]＝1320，
解得x＝35，
答：安排35名工人织布；
（2）设安排m名工人制衣，总利润为W元，
由题意可得，W＝2[30（100﹣m）﹣4m×1.5]+25×4m＝28m+6000，
∴W随m的增大而增大，
∵，
解得0≤m≤83，
∵m为整数，
∴当m＝83时，W取得最大值，此时W＝28×83+6000＝8324，
答：当安排83名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大，最大利润为8324元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、BD．
（1）如图1，求证：∠DEA′＝2∠ABE；
（2）如图2，若点A′恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；
（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用折叠的性质和平角，直角三角形的性质，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理得，BD＝10，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（3）方法1、先判断出∠A'CB最大时，点A'在CE上，进而利用三角形的面积求出CE，进而用勾股定理求出DE，即可得出结论．
方法2、先判断出点A'在⊙A上，当BA'⊥CE时，∠A'CB最大，即可求出答案．
【解答】解：（1）由折叠知∠AEB＝∠A'EB，
∴∠AEB＝（180°﹣∠A'ED）＝90°﹣∠A'ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣（90°﹣∠A'ED）＝∠A'ED，
∴∠A'ED＝2∠ABE；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝10，
设AE＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣x，
由折叠知，A'E＝AE＝x，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴A'D＝BD﹣A'B＝4，
∴∠DA'E＝90°，
在Rt△DA'E中，根据勾股定理得，DE2﹣A'E2＝A'D2＝16，
∴（8﹣x）2﹣x2＝16，
∴x＝3，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝＝；
（3）∠A′CB的度数是存在最大值，
理由：方法1、如图1，过点B作BF⊥CA'交CA'的延长线于F，
在Rt△BFC中，sin∠A'CB＝＝，
∴BF越大时，sin∠A'CB越大，即∠A'CB越大，
当点E在边AD上运动时，点A'与F重合时，BF最大＝A'B＝AB＝6，
∴A'B⊥A'C，
∴∠BA'C＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝∠D＝90°，
∴点A'在CE上，如备用图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，
根据三角形面积得，S△BCE＝BC•AB＝CE•A'B，
∵A'B＝AB，
∴CE＝BC＝8，
在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2．
方法2、以点A为圆心，AB为半径，则点A'必在此圆上，
∴CE与⊙A相切时，∠A'CB最大，
即BA'⊥CE，
根据三角形面积得，S△BCE＝BC•AB＝CE•A'B，
∵A'B＝AB，
∴CE＝BC＝8，
在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，判断出∠A'CB最大时，点A'在CE上是解本题的关键．
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
1
8
a
八年级
1
0
1
5
13
平均数
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
91