【暑假复习】人教版初中七年级（七升八）数学第04讲 平方根与立方根（原卷版+解析版）

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算术平方根定义：
一个正数的平方等于，那么这个正数是的 算术平方根 。表示为 。
算术平方根的性质：
规定0的算术平方根是 0 ；
一个正数的算术平方根的平方等于 这个正数本身 。即 。
一个数的平方的算术平方根等于 这个数的相反数 。即 。
算术平方根的非负性：
①算术平方根本身 大于等于0 ；即 。
②算术平方根的被开方数 大于等于0 ；即 。
③几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于 0 。
平方根的定义：
如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 平方根 ，也叫做的二次方根。表示为 。
平方根的性质
（1）正数的平方根有 2 个，分别是 与 ，他们互为 相反数 。
（2）规定0的平方根是 0 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。
（3）负数没有平方根。
求一个数的平方根：
求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。即，则。可表示为，。
立方根的定义：
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的 立方根 或 三次方根 。这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作 。其中叫做三次根号。根指数3不能省略。
求立方根：
求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。
立方根的性质：
（1）由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有一个立方根。
（2）正数的立方根是 正数 ；0的立方根是 0 ；负数的立方根是 负数 。
（3）一个数的立方根的相反数等于这个数的 相反数的立方根 。即 。
（4）一个数的立方的立方根等于 这个数本身 。即 。
（5）一个数的立方根的立方等于 这个数本身 。即 。
1．实数4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2
C．±2D．以上都不正确
【分析】运用算术平方根的定义进行求解．
【解答】解：∵22＝4，
∴实数4的算术平方根是4，
故选：A．
2．实数的算术平方根是（ ）
A．B．C．±D．±
【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴的算术平方根是．
故选：B．
3．16的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．±8
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根为±4，
即＝±4，
故选：B．
4．若正数a的两个平方根是3m﹣2与3﹣2m，则m为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．
【解答】解：∵正数a的两个平方根是3m﹣2与3﹣2m，
∴3m﹣2+3﹣2m＝0，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
5．一个正数的两个平方根是2a+1和4﹣3a，则这个正数是（ ）
A．5B．25C．121D．121或
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，由此得到2a+1+4﹣3a＝0，求出a的值，即可解决问题．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根是2a+1和4﹣3a，
∴2a+1+4﹣3a＝0，
∴a＝5，
∴2a+1
＝2×5+1
＝11，
∴这个正数是：112＝121．
故选：C．
6．若，则a+b的值是（ ）
A．8B．2C．﹣8D．﹣2
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性即可求出a和b的值，再代入a+b中求解即可．
【解答】解：∵，a+3≥0，|b﹣5|≥0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝﹣3，b＝5，
∴a+b＝﹣3+5＝2．
故选：B．
7．﹣64的立方根是（ ）
A．﹣4B．±4C．±2D．﹣2
【分析】根据立方根的性质计算．
【解答】解：﹣64的立方根是﹣4，
故选：A．
8．下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用立方根和算术平方根的定义计算并判断．
【解答】解：＝，A选项错误；
＝4，B选项错误；
＝5，C选项错误；
＝﹣2，D选项正确．
故选：D．
9．下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的立方根是﹣1B．1的平方根是1
C．0的算术平方根是0D．0的平方根是0
【分析】利用立方根，平方根和算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵﹣1的立方根是﹣1，
∴A选项说法正确，不符合题意；
∵1的平方根是±1，
∴B选项说法不正确，符合题意；
∵0的算术平方根是0，
∴C选项说法正确，不符合题意；
∵0的平方根是0，
∴D选项说法正确，不符合题意．
故选：B．
10．已知（3﹣x）2﹣5与互为相反数，则的值是（ ）
A．6B．5C．D．2
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵（3﹣x）2﹣5与互为相反数，
∴，
即，
所以x﹣3＝0，y﹣2＝0，
解得x＝3，y＝2，
所以．
故选：A．
11．若某正数的两个平方根分别是3a+b与2b﹣3a﹣24，则b的立方根是 ．
【分析】先根据平方根的定义求出b的值，再由立方根的定义即可得出结论．
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是3a+b与2b﹣3a﹣24，
∴3a+b+2b﹣3a﹣24＝0，
∴b＝8，
∴b的立方根是2．
故答案为：2．
12．已知3a﹣2的平方根是±2，a﹣2b﹣4的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值．
（2）求2a+b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根及立方根定义列式求解即可得到答案；
（2）将（1）的答案代入代数式，再根据算术平方根定义直接求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵3a﹣2的平方根是±2，a﹣2b﹣4的立方根是﹣2，
∴3a﹣2＝4，a﹣2b﹣4＝﹣8，
解得a＝2，b＝3；
（2）∵a＝2，b＝3，
∴2a+b＝7，
∴2a+b的算术平方根为．
13．若一个正数的平方根分别是m﹣3和m﹣7，求m2+2的立方根．
【分析】（1）根据正数的平方根的性质列出方程求得m，进而根据平方与平方根的关系求得结果；
（2）根据立方根的定义进行计算便可．
【解答】解：由题意得，m﹣3+m﹣7＝0，
解得m＝5，
∴．
14．求下列各式中x的值．
（1）（x﹣1）2＝4； （2）（x+3）3﹣64＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义进行求解；
（1）根据立方根的定义进行求解．
【解答】解：（1）开平方，得x﹣1＝±2，
解得x＝3或x＝﹣1；
（2）移项，得（x﹣2）3＝﹣64，
开立方，得x﹣2＝﹣4，
解得x＝﹣2．
15．一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
（3）3和9都可以．
【解答】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
故答案为：5和25．