第07讲 全等三角形-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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一．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
二．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
【考点剖析】
一．全等图形
1．下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．面积相等的两个图形是全等图形
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等
【解答】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、面积相等的两个图形是全等图形，错误，符合题意；
C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；
故选：B．
2．下列两个图形是全等图形的是（ ）
A．两张同底版的照片B．周长相等的两个长方形
C．面积相等的两个正方形D．面积相等的两个三角形
【解答】解：A选项两图形不一定重合，故不是全等图形；
B选项的形状不一定相同，故不是全等图形；
C选项的形状也一样，能完全重合，故是全等图形；
D选项形状不一定相同，故不是全等图形；
故选：C．
二．全等三角形的性质
3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝CDB．BE＝CDC．∠ADE＝∠AEDD．∠BAE＝∠CAD
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BE＝CD，B成立，不符合题意；
∠ADB＝∠AEC，
∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意；
∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意；
AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，
故选：A．
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．47°B．57°C．60°D．73°
【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣60°﹣73°＝47°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝47°，
故选：A．
5．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，则∠E的度数为（ ）
A．80°B．35°C．70°D．30°
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠C＝30°，
∴∠E＝∠C＝30°，
故选：D．
6．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则DF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝3，BC＝4，
∴DE＝AB＝3，EF＝BC＝4，
∵△DEF的周长为12，
∴DF＝12﹣DE﹣EF＝12﹣3﹣4＝5，
故选：C．
7．已知△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝3，若△DEF周长为偶数，则EF的取值为（ ）
A．2或3或4B．4C．3D．2
【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，
∴3﹣2＜BC＜3+2，
∴1＜BC＜5．
若周长为偶数，BC也要取奇数所以为3．
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝EF，
∴EF的长也是3．
故选：C．
8．如图，已知△ABC≌△DFE，∠B＝80°，∠ACB＝30°，则∠D＝ °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠ACB＝30°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠D＝∠A＝70°，
故答案为：70．
9．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝2，CD＝4，则BD的长为 ．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝2，CD＝4，
∴BC＝CE＝2，
∴BD＝BC+CD＝4+2＝6，
故答案为：6．
10．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE＝62°，则∠CAF＝ ．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BCE＝62°，
∴∠ACD＝62°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝28°，
故答案为：28°．
11．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则x+y＝ ．
【解答】解：∵一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，两三角形全等，
∴x＝5，y＝4，此时x+y＝9，
故答案为：9．
12．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，
∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．
13．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝3．求∠F的度数与DH的长．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，
∵△ABC≌△DEF，AB＝8，
∴∠F＝∠ACB＝30°，DE＝AB＝8，
∵EH＝3，
∴DH＝8﹣3＝5．
14．如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝2，
∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，
∴BF＝BE+EF＝6．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等
C．全等三角形的面积一定相等D．面积相等的两个三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定与性质判断求解即可．
【详解】解：A、两个直角三角形不一定全等，故错误，不符合题意；
B、形状相同的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；
C、全等三角形的面积一定相等，故正确，符合题意；
D、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，，若，则的长度为（ ）

A．2B．5C．10D．15
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得到即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键．
3．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为( )

A．2B．2.5C．3D．5
【答案】C
【分析】先求得的长度，根据三角形全等的性质可知，进而可求得答案．
【详解】解：由题意知．
∵，
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等），牢记全等三角形的性质是解题的关键．
4．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形B．所有正方形都是全等图形
C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的边相等
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义以及性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． 面积相等的两个图形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；
B． 所有正方形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；
C． 全等三角形的周长相等，故该选项正确，符合题意；
D． 全等三角形的对应边相等，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的定义以及全等三角形的性质，掌握全等图形的定义与性质是解题的关键．
6．（2023春·湖南永州·七年级统考期末）如图，三角形是由三角形通过平移得到的，且点，，，在同一直线上．若，，则点与点之间的距离是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由平移的性质可得，，，由，可得，进而可得的值．
【详解】解：由平移的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理得出，再由全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
8．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图的两个三角形全等，则的度数为（ ）

A．50°B．58°C．60°D．62°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，故C正确．
故选：C．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应角相等．
9．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等和三角形内角和是是解题的关键．
10．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，，且，则下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质，判断即可．
【详解】如图，

∵，且，
∴，，，
不成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2023春·七年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则______°
【答案】
【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到的对应角即可．
【详解】解：如图，是边和的夹角，左图是，
故
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．
12．（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）若有四个全等的正方形面积之和是25，则每个小正方形的边长为_______．
【答案】
【分析】首先求出每个小正方形的面积，再利用算术平方根的意义求解即可．
【详解】解：∵四个全等的正方形面积之和是25，
∴每个正方形面积为，
∴每个小正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是理解算术平方根的意义．
13．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，，于C，，，则______cm．______．

【答案】 5
【分析】根据全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵于C，，
∴，
故答案为：5；．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键．
14．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，，点在边上，延长交边于点，若，则______度．

【答案】138
【分析】根据全等三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，推得，根据三角形内角和推得，即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：138．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
15．（2022春·七年级单元测试）如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________．
【答案】 /度 /度 12 6
【分析】先根据四边形内角和定理求出，再根据全等图形的性质求解即可．
【详解】解：∵在四边形中，
∴，
∵四边形与四边形全等，
∴由图可知，
故答案为：；；12；6．
【点睛】本题主要考查了全等图形的性质，四边形内角和定理，熟知全等图形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，，若，且，则的度数为 _____度．
【答案】80°/80度
【分析】根据全等三角形对应角相等可得，，然后根据直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】此题考查全等三角形的性质以及直角三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的对应角相等．
17．（2023春·上海黄浦·七年级校考阶段练习）已知，A与D、B与E分别是对应顶点，，，，，则__________度，__________cm．
【答案】 15
【分析】由，，可得，结合，可得，．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
故答案为：，15
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的性质是解本题的关键．
18．（2023春·上海黄浦·七年级校考阶段练习）我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是__________．
【答案】1或2/2或1
【分析】根据平行线的性质，得到，分两种情况讨论：当时当时，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：，，
，
四边形的“等形点”在边上，
如图1，当时，则，
如图2，当时，
，，
，
，
，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
19．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．
【答案】
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
20．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．

（1）若，则的长为______；
（2）连接，若，则的值为______．
【答案】
【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解；
（2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2）又（1）可得，
∴，
∵，
∴

故答案为：；．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，理解全等三角形的性质及三角形中线的概念是解题关键．
三、解答题
21．（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【答案】见解析
【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．
【详解】解：如图：

【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．
22．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，写出图中的对应边和对应角．

【答案】和是对应边，和和是对应边，和是对应角，和，和是对应角
【分析】根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：∵，，
∴和是对应边，和和是对应边，和是对应角，和，和是对应角．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是找准对应顶点．
23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，三点在同一条直线上，且．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当时，．理由见解析
【分析】（1）由得出，再进行相应等量代换；
（2）当时，．由，得出，，若，则，因而，所以，进而，从而得证．
【详解】（1）证明：，
，，
．
（2）解：当时，．理由如下：
，
．
，
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定及三角形内角和定理；根据全等的条件，得出等角及等量线段，进行相应的等量代换是解题的关键．
24．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知．

(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
（2）根据全等三角形的对应边相等计算．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
25．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数．

【答案】
【分析】根据全等三角形的性质得到， ，求得，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
26．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期末）如图所示，已知，，，交于点M，交于点P．

(1)试说明：；
(2)可以经过某种变换得到，请你描述这个变换；
(3)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)绕点顺时针旋转可以得到
(3)82°
【分析】（1）根据全等的性质，得到，进而得到，即可得证；
（2）点与点为对应点，，即可得出结论；
（3）根据全等得到由（1）得到，利用三角形的外角的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：，
．
．
．
（2）∵点与点为对应点，，点和点为对应点，，
∴绕点顺时针旋转可以得到．
（3），
∴
∵，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角．熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．