第09讲 三角形全等的判定“边角边”-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

这是一份第09讲 三角形全等的判定“边角边”-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义，文件包含第09讲三角形全等的判定“边角边”教师版-七升八数学暑假衔接人教版docx、第09讲三角形全等的判定“边角边”学生版-七升八数学暑假衔接人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共63页， 欢迎下载使用。
全等三角形判定——“边角边”
1. 全等三角形判定——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【考点剖析】
题型一：用“边角边”直接证明三角形全等
例1．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.
【解析】证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..
∵点C为AB中点，∴AC=CB.
又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）
【变式1】如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：需要补充的条件是BF=CE，
∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故选：D．
【变式1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式3】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．
求证：△ABC≌△DEC．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
AC=DC∠ACB=∠DCEBC=EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
【变式4】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．
【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝∠EFD＝90°，
∵BF＝CD，
∴BF+CF＝CD+CF，
即BC＝DF，
在△ABC和△EDF中，
BC=DF∠ACB=∠EFDAC=EF，
∴△ABC≌△EDF（SAS）．
【变式5】如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
【答案】（1）证明见解析；（2）75．
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为75．
【变式6】（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在和中，，，，连接．
(1)求证：．
(2)图中和有怎样的关系？试证明你的结论．
【详解】（1）解：
，
．
（2）解：如图，设和交点为F
即
．
题型二：用“边角边”间接证明三角形全等
例2、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．
【答案与解析】
证明： ∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【变式1】如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．
【答案】平行且相等
【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，
∴AO=OC，BO=OD，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD，∠A=∠C，
∴AB//CD,
即AB与CD的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等．
【变式2】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．
【详解】证明：∵AB//CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE．
【变式3】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.
求证：AF=CE.
【分析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
【变式4】已知和位置如图所示，，，．
（1）试说明：；
（2）试说明：．
【详解】解：（1）在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵，
∴，
∵△ADB≌△AEC，
∴，
∴，
即．
【变式5】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC
＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD
证明：延长AE交CD于F，
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形
∴AB＝BC，BD＝BE
在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD，∠1＝∠2
又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）
∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°
∴AE⊥CD
题型三：边角边与倍长中线
例3、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．

【答案与解析】
证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD（SAS）．
∴AB＝CE．
∵AC＋CE＞AE，
∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．
14．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
【答案】2＜AD＜4
【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系定理：6-2＜AE＜6+2，
∴2＜AD＜4，
故AD的取值范围为2＜AD＜4．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此题的关键．
题型四：边角边与截长补短
例4、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求证：AB＝CD－BD．

【答案与解析】
证明：在DC上取一点E，使BD＝DE
∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE
在△ABD和△AED中，
A
E
D
C
B
∴△ABD≌△AED（SAS）．
∴AB＝AE，∠B＝∠AED．
又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．
∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．
∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．
【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），
求证：∠B＋∠D＝180°.
【答案】证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
在△CBE和△CFE中，
∴△CBE和△CFE（SAS）
∴∠B＝∠CFE
∵AE＝（AB＋AD），∴2AE＝ AB＋AD
∴AD＝2AE－AB
∵AE＝AF＋EF，
∴AD＝2（AF＋EF）－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，
即AD＝AF
在△AFC和△ADC中
∴△AFC≌△ADC（SAS）
∴∠AFC＝∠D
∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.
∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.
题型五：边边角不能判定两个三角形全等
例5．如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BADB．∠C＝∠D＝90°C．∠CAB＝∠DBAD．CB＝DA
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断；
【详解】在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，
A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：A．
题型六：尺规作图——利用边角边做三角形
例6．（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）已知：线段a，c，．求作：．使，，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【详解】解：如图所示：

【变式1】（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）尺规作图：
已知：线段，，．
求作：，使，，（保留作图痕迹，不写作法）．

【详解】解：如图所示：

即为所作．
题型七：边边边与边角边综合
例7．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，D是的中点，E在上，连接．

(1)图中有___________对全等三角形；
(2)请选一对加以证明．
【详解】（1）图中有3对全等三角形：，，．
故答案为3；
（2）∵D是的中点，
∴．
在和中，
，
∴；
∴．
在和中，
，
∴；
∴．
在和中，
，
∴．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小铱在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接并和测量出它的长度，小铱认为的长度就是A，B间的距离，她是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知根据“边角边”可证即可选择．
【详解】解：∵在和中，，
∴．
故判定这两个三角形全等的依据是“”．
故选B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定．熟练掌握判定三角形全等的条件是解题关键．
2．（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）如图，，点、分别在和边上，且，则可得到，判定依据是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据证明，即可求解．
【详解】解：在与中，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据得到，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
A选项，因为，，，满足“”判定，符合题意；
B选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
C选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
D选项，因为，，，不能判定，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
4．（2023春·四川达州·七年级统考期末）如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先证明，再利用全等三角形的性质和等量代换求解即可．
【详解】解：如图，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用网格证明三角形全等是解题的关键．
5．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得：，，利用已知条件判断出，得到，即可求出答案．
【详解】解：如图：

∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法．
6．（2023春·上海普陀·七年级统考期末）如图，已知在和中，，，能直接判定的依据是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找出两个三角形中已知相等的对应边和对应角，然后根据判定方法即可判断．
【详解】解：在和中，，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有( )对．

A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】B
【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找．
【详解】解：平分，
，
在与中，
，
，
，，，
又，
，
，，．
，，，，共对．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，，交于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：；结论Ⅱ：

A．Ⅰ对，Ⅱ错B．Ⅰ错，Ⅱ对C．Ⅰ，Ⅱ都对D．Ⅰ，Ⅱ都错
【答案】A
【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小．
【详解】，
，
，
在和中，
，
，
，故Ⅰ正确；
，
，
，
，
，，
，，
，故Ⅱ错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记对应性质和判定定理是解题的关键．
9．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．与的大小关系无法确定
【答案】B
【分析】在上截取，，由即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，

平分，
，
在和中
，
()，
，
在中：，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中三边的关系，三角形全等的判定及性质，掌握性质，并根据题意作出辅助线是解题的关键．
10．（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：
①；
②和面积相等；
③；
④；
⑤．
其中正确的有（ ）
A．1个B．5个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确
∴，故①正确，
∵，
∴，故⑤正确，
∴，故③正确，
∵，点A到的距离相等，
∴和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．
二、填空题
11．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．
【答案】120°
【分析】先证明得到，再利用以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．
【详解】解：


在与中，








故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
12．（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．

【答案】6
【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】如图，在上取一点E，使，连接，

是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
13．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小红从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是___________．

【答案】
【分析】根据题意可得：，，利用已知条件判断出，得到，即可求出答案．
【详解】解：如图：

∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法．
14．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，圆形容器的壁厚是______．

【答案】
【分析】由题证明，由全等三角形的性质可得，，即可解决问题．
【详解】在和中，
，
，
，
，
圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
15．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图、两点分别位于一个池塘的两端，点是的中点，也是的中点，若米，则________．

【答案】25米/
【分析】根据可证明，再根据全等三角形的性质可得，进而得到答案．
【详解】解：∵点C是的中点，也是的中点，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
故答案为：25米．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理．
16．（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为___________．
【答案】/35度
【分析】连接，则垂直平分，可得，再证明，即可得到．
【详解】连接，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到是的垂直平分线再想到证明是解题的关键．
17．（2023·全国·八年级假期作业）如图，与相交于点，且是的中点，则与全等的理由是________．

【答案】/边角边
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵是的中点，
∴
在和中，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为__________．
【答案】70°
【分析】（1）证△BED≌△CDF；
（2）利用AB=AC得到∠B与∠C
（3）利用整体法求得∠EDF
【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≌△CDF，∴∠FDC=∠BED
∵∠A=40°
∴∠B=∠C=70°
∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110°
∴∠EDB+∠FDC=110°
∴∠EDF=70°
【点睛】求角度，常见的方法有：
（1）方程思想；
（2）整体思想；
（3）转化思想
本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度
三、解答题
19．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）已知：如图，，求证：≌．
【答案】见解析
【分析】先证明，再结合，，即可得到结论．
【详解】．证明：，
，
，
≌．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键．
20．（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，点、在上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∵．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定是解题的关键．
21．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知：如右图，．
求证：．

【答案】见解析
【分析】由，得，再利用即可证得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中：，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
22．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，点D在线段上，，，．和全等吗？为什么？

【答案】，理由见解析
【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可得到结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．
23．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．

(1)求证：；
(2)若，求三角形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据得，根据得，即，根据即可证明；
（2）在中，以为底作为高，则，，根据得，，即可得．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图所示，在中，以为底作为高，

，，
∵，
，，
．
【点睛】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
24．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知：如图，点在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据线段的和差得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，已知，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据全等三角形的性质以及已知得出，再利用即可证出．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵
∴．
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在和中，，，，点C在上．
(1)求证：．
(2)若，则______°．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等式的性质，可得，根据可得两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，可得证明结论．
【详解】（1）证明：，
，
即．
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论．
27．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知点，，，在一条直线上，，，．求证：
【答案】见解析
【分析】用边角边定理进行证明即可.
【详解】解：∵
∴
即：
在和中

∴.
【点睛】本题考查边角边定理证明三角形全等，根据题意找到相应的条件是解题关键.
28．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，已知：，，，是上两点，且．
求证：．
证明：（已知）
______________（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等式的基本性质）
即
在和中
（ ）
（ ）
【答案】；；；；；；；全等三角形对应边相等．
【分析】根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到，然后证明即可得到结论．
【详解】证明：（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
(等式的基本性质)
即
在和中
，
(全等三角形对应边相等)
故答案为：；；；；；；；全等三角形对应边相等．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
29．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据可得，根据可得，即可根据进行求证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理．
30．（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，．

求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据“边角边”证明，即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，进而可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得，根据“边角边”证明，即可证得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
∵， ，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
31．（2023春·山西太原·七年级统考期末）已知：，线段．
求作：，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】先作，再在角的两边上分别截取，，从而可得答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是作三角形，掌握作一个角等于已知角是解本题的关键．
32．（2023·全国·八年级假期作业）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．

【答案】见解析
【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．
【详解】证明：如图所示：
，
是的中线，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
33．（2023春·全国·七年级期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．

作图区域：
结论：

作图区域：

结论：如图即为所求．