第15讲 重难点03三角形中“A”字模型--人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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“A”字模型
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
【考点剖析】
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•耒阳市期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（ ）
A．90°B．135°C．270°D．315°
【分析】如图，根据题意可知∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．
【解答】解：如图．∵△ABC为直角三角形，∠B＝90°，
∴∠BNM+∠BMN＝90°，
∵∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，
∴∠1+∠2＝270°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于得出∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN．
2．（2022秋•东莞市校级期中）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（ ）
A．90°B．120°C．150°D．160°
【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ABE的度数，再根据三角形的内角和定理的推论进行求解．
【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．
3．（2022•上杭县校级开学）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，E，F分别是AD，BE的中点，若△EFD的面积为3，则△ABC的面积等于（ ）
A．18B．24C．36D．48
【分析】由于F是BE的中点，BF＝EF，那么△EFD和△BFD可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出△EFD和△BFD的面积相等，进而得出△BDE的面积等于△BFD的面积的2倍；同理，由于E是AD的中点，得出△ADB的面积等于△BDE面积的2倍；由于AD是BC边上的中线，得出△ABC的面积等于△ABD面积的2倍，代入求解即可．
【解答】解：∵F是BE的中点，
∴BF＝EF，
∴S△EFD＝S△BFD，
又∵S△BDE＝S△EFD+S△BFD，
∴S△BDE＝2S△BFD＝2×3＝6．
同理，S△ABC＝2S△ABD＝2×2S△BDE＝4×6＝24．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，难度中等．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
4．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ 220 度．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【解答】解：∠1+∠2＝180°+40°＝220°．
故答案为：220°．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
5．（2021秋•威县校级期末）如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 280 °．
【分析】根据三角形内角和定理可得，∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，
∴∠1+∠2＝140°，∠3+∠4＝140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝140°+140°＝280°．
故答案为：280．
【点评】本题主要考查了三角形内角和，熟练掌握三角形内角和定理进行进行求解是解决本题的关键的关键．
6．（2022秋•济宁期末）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 60° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴∠A′＝30°，
∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，
∵△AFE由△A′FE翻折而成，
∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
7．（2022秋•拱墅区校级月考）如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，∠A＝ ＝ ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出方程解答即可．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝，
∵AE＝ED，
∴∠A＝∠ADE＝x，
∴∠BED＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝，
∵∠A+∠EBD＝∠BDC，
∴x+2x＝，
解得：x＝，
即∠A＝．
故答案为：．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等边对等角解答．
8．（2022春•濮阳期中）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝ 度．
【分析】根据角平分线的性质可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，再根据外角的性质可得∠A1＝∠A，找出规律即可求出∠A2022．
【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，
∴∠A2022＝∠A，
∵∠A＝m°，
∴∠A2022＝°，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出∠A1和∠A之间的规律是解题的关键．
9．（2022春•烟台期中）如图，在三角形纸片ABC中∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝50°，则∠2的度数为 30° ．
【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣330°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
10．（2021秋•库车市期末）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的两点，∠1+∠2＝214°，则∠A＝ 34 度．
【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度数或者∠B+∠C的度数即可，结合补角的性质和四边形内角和为360°可以解决问题．
【解答】解：方法一：
∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180°
∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360°
∵∠1+∠2＝214°
∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146°
∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A＝180°﹣146°＝34°
方法二：
∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四边形内角和为360°）
∠1+∠2＝214°
∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146°
∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A＝180°﹣146°＝34°
【点评】本题是有关三角形角的计算问题．主要考查三角形内角和定理的应用和计算，找到∠A所在的三角形是关键．同时对邻补角的定义和四边形的内角和360°都有所涉及，对学生的推演能力有一定要求．
三．解答题（共7小题）
11．（2022春•涧西区期中）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥DG；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可证明；
（2）首先利用已知条件可以去求出∠1＝∠DAG＝35°，然后利用平行线的性质求出∠2．
【解答】（1）证明：∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2＝180°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD＝∠1．
∴AB∥DG；
（2）解：∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG，
∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°，
∴∠1＝∠DAB＝35°，
∵AD∥EF，
∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
12．（2022秋•平桥区期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ 270° ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ 220° ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 180°+∠A ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故答案为：270°；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
故答案为：180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
13．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）
（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝ 90 °．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．
【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴45°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，
整理得∠1+∠2＝90°；
故答案为：90；
（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×54°
＝117°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．
14．（2022秋•慈溪市月考）如图，△ABC中，CE，CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，连结EF交AC于点M，已知EF∥BC．
（1）求证：M为EF的中点；
（2）若∠A＝56°，∠B＝44°，求∠F的度数．
【分析】（1）根据角平分线可知∠MCE＝∠BCE，∠MCF＝∠DCF，由EF∥BC可知：∠MEC＝∠BCE，∠MFC＝∠DCF，由等腰三角形的性质可知，EM＝MC＝MF，从而得证．
（2）根据∠A与∠B的度数求出∠ACD的度数，利用角平分线的定义可知∠F的度数．
【解答】（1）证：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠CEF，
∴EM＝CM，
同理，MF＝CM，
∴EM＝MF，
∴M为EF的中点；
（2）解：∵∠A＝56°，∠B＝44°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝56°+44°＝100°，
∵CF是外角∠ACD的平分线，
∴∠DCF＝∠ACD＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠DCF＝50°．
【点评】本题考查角平分线的定义，解题的关键是根据角平分线的定义求出∠MCE＝∠BCE，∠MCF＝∠DCF，本题涉及等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，本题属于基础题型．
15．（2021秋•武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【分析】先利用平行线的判定定理判定AB∥EF，利用平行线的性质定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代换得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可．
【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE．
∴AB∥EF．
∴∠3＝∠ADE．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE．
∴DE∥BC．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，准确使用平行线的判定与性质解答是解题的关键．
16．（2022秋•赣州期中）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB ＝ ∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝ 45° ．
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ∠P＝90°﹣∠A ．
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）利用（1）的结论：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；
（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；
（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．
故答案为：＝．
（2）∠2﹣∠C＝45°．
理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2﹣∠C+135°＝180°，
∴∠2﹣∠C＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P＝90°﹣∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．
故答案为：∠P＝90°﹣∠A，
（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，
∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），
∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．
【点评】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
17．（2021秋•碑林区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A开始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．若AB＝16cm，AC＝12cm，BC＝20cm，已知点P，Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA＝AP；
（2）如图②，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，△QAB的面积等于△ABC面积的；
（3）当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，当t为何值时，AQ＝BP．
【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，CQ＝t厘米，AP＝2t厘米，则AQ＝（12﹣t）厘米，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，CQ＝t厘米，则AQ＝（12﹣t）厘米，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，CQ＝t厘米，AP＝2t厘米，
则AQ＝（12﹣t）厘米，
∵QA＝AP，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4．
即t＝4秒时，QA＝AP；
（2）当Q在线段CA上时，CQ＝t厘米，
则AQ＝（12﹣t）厘米，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的 ，
∴•AB•AQ＝וAB•AC，
∴×16×（12﹣t）＝×16×12，
解得：t＝9．
即t＝9秒时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的 ；
（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，CQ＝t厘米，AP＝2t厘米，
则AQ＝（12﹣t）厘米，BP＝（16﹣2t）厘米，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝（16﹣2t），
解得t＝4；
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，CQ＝t厘米，
则AQ＝（12﹣t）厘米，BP＝（2t﹣16）厘米，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝（2t﹣16），
解得t＝；
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
则AQ＝（t﹣12）厘米，BP＝（2t﹣16）厘米，
∵AQ＝BP，
∴t﹣12＝（2t﹣16），
解得t＝4，不合题意舍去
综上所述，t为4或时，AQ＝BP．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
【过关检测】
1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
故选：D．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．
【答案】
【详解】解：如图
，，
，
，
，
故答案为：．
3．如图，已知四边形ABCD中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90°B．135°C．270°D．315°
【解答】解：∵三角形的内角和等于180°，
∴可得∠1和∠2的邻补角等于90°，
∴∠1+∠2＝2×180°﹣90°＝270°．
故选：C．
4．（2022春•云龙区校级月考）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．315°B．270°C．180°D．135°
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．
故选：B．
5．（2021春•东台市月考）如图，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝ °．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝75°，
∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．
故答案为：255．
6．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________．
【答案】61°
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
7．（2023春·七年级单元测试）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【详解】解：和是的外角，
．
又，
．
8．旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，
∴130°+∠2＝180°+∠C，
∴∠2﹣∠C＝50°；
（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A；
即∠P＝90°﹣∠A；
故答案为：50°，∠P＝90°﹣∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P＝90°﹣∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P，
∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，
＝180°+180°﹣2∠P，
＝360°﹣2∠P．