第25讲 人教版新八年级开学考试卷（测试范围：实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式组、统计、三角形等）（教师版+学生版）

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1．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、属于无理数，故此选项符合题意；
C、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）关于x，y的二元一次方程3x﹣2y＝5的解有（ ）
A．B．C．D．
【分析】二元一次方程的解有无限多个，能够使二元一次方程两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【解答】解：将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝5，左边＝右边，所以是该方程的解．
将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝6，左边≠右边，所以不是该方程的解．
将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝2，左边≠右边，所以不是该方程的解．
将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝﹣25，左边≠右边，所以不是该方程的解．
故选：A．
【点评】本题关键是掌握二元一次方程的解的定义．
3．（3分）下面统计调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．调查市场上某种食品防腐剂是否符合国家标准
B．调查某城市初中生每周“诵读经典”的时间
C．对某品牌手机的防水性能的调查
D．疫情期间对国外入境人员的核酸检测
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、调查市场上某种食品防腐剂是否符合国家标准，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查某城市初中生每周“诵读经典”的时间，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、对某品牌手机的防水性能的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、疫情期间对国外入境人员的核酸检测，适合全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（3分）点P（﹣5，2）是第几象限内的点（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点P的横坐标小于0纵坐标大于0，再根据各象限内，点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：∴点P的横坐标小于0纵坐标大于0，
∴点P一定在第二象限．
∴点P（﹣5，2）在第二象限，
故选：B．
【点评】此本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号特点．
5．（3分）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣bD．若a＞b，ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、当a＞b＞0时，＜，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、当a＞0，b＜0，a＜|b|时，a2＜b2，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，原说法正确，故此选项符合题意；
D、当c＝0时，虽然a＞b，但是ac2＝bc2，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这100名考生是总体的一个样本
B．每位考生的数学成绩是个体
C．1000名考生是总体
D．100名考生是样本的容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、这100名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不合题意；
B、每位考生的数学成绩是个体，故本选项符合题意；
C、1000名考生的数学成绩是总体，故本选项不合题意；
D、样本的容量是100，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是确定总体、个体和样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”．
7．（3分）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．直线m与直线n相交于点D
B．点A在直线n上
C．DA+DB＜CA+CB
D．直线m上共有两点
【分析】根据三角形的三边关系、结合图形判断即可．
【解答】解：A、直线m与直线n相交于点D，本选项说法正确，不符合题意；
B、点A在直线n上，本选项说法正确，不符合题意；
C、在△ABC中，AB＜CA+CB，
∴DA+DB＜CA+CB，本选项说法正确，不符合题意；
D、直线m上有无数个点，本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（ ）
A．36°B．46°C．54°D．64°
【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据全等三角形的判定定理画出图形，再得出选项即可．
【解答】解：如图所示：
能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形有△ABC，△AGB，△HEF，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．（3分）如图，所给出图形中的x的值等于（ ）
A．45B．55C．65D．75
【分析】依据四边形内角和为360°，即可得到x的值．
【解答】解：由题可得，2x°+140°+90°＝360°，
解得x＝65，
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和，关键是利用四边形内角和为360°列方程求解．
11．（3分）数学课上，小明用尺规在黑板上作∠AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“♡、☺、☆、⊕”代表的内容错误的是（ ）
A．♡表示“OD＝OE”
B．☺表示“大于DE的长”
C．☆表示“SAS”
D．⊕表示“全等三角形的对应角相等”
【分析】根据作已知角的平分线的步骤判断即可．
【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使OE＝OD，
（2）分别以点D，E为圆心、以大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．
理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由SSS；
（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由全等三角形的对应角相等．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的作法等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
12．（3分）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对（a，b）表示，如z＝1+2i表示Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（ ）
A．Z（2，0）B．Z（﹣1，2）C．Z（2，1）D．Z（2，﹣1）
【分析】根据题中的新定义解答即可．
【解答】解：由题意，得z＝2﹣i可表示为Z（2，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）线段AB两端点的坐标分别为A（2，4）、B（5，2），若将线段AB平移，使得点A的对应点为C（3，﹣2），则平移后点B的对应点的坐标为 （6，﹣4） ．
【分析】各对应点之间的关系是横坐标减2，纵坐标减4，那么让点A的横坐标减2，纵坐标减4即为平移后点A的对应点的坐标．
【解答】解：∵A（2，4），点A的对应点为点C（3，﹣2）．
∴变化规律是坐标加1，纵坐标减6，
∵B（5，2），
∴平移后点B的对应点的坐标为 （6，﹣4），
故答案为（6，﹣4）．
【点评】考查坐标与图形变化﹣平移；得到一对对应点的变换规律是解决本题的关键．
14．（3分）如果mn＜0，且m＞0，那么点P（m，n）在第 四 象限．
【分析】根据mn＜0，且m＞0，可以判断出n＜0，再结合各象限内点的坐标符号即可判断．
【解答】解：∵mn＜0，且m＞0，
∴n＜0，
∴P（m，n）在第四象限，
故答案为：四．
【点评】此题主要考查了点的坐标，解题关键是根据已知条件判断出点P纵坐标的符号．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，且DC＝15，则点D到AB的距离DE的长为 15 ．
【分析】根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解．
【解答】解：∵ED⊥AB，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝CD，
∵CD＝15，
∴DE＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16．（3分）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是 28 cm．
【分析】如图，过点C作CD⊥OB于点D，构造全等三角形△AOB≌△BDC（AAS），由全等三角形的对应边相等得到OB＝CD．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵∠O＝∠ABC＝∠BDC＝90°，
∴∠1＝∠2（同角的余角相等）．
在△AOB与△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS）．
∴OB＝CD＝28cm．
故答案是：28．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
17．（3分）不等式组的最小整数解为 ﹣3 ．
【分析】先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．
【解答】解：，
解①得x≤2，
解②得x＞﹣4，
不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
不等式组的最小整数解为﹣3，
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18．（3分）若满足方程组的x，y的值都不大于1，则a的取值范围是 ﹣3≤a≤1 ．
【分析】解方程组得出，结合x，y的值都不大于1知，继而分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解方程组得，
∵x，y的值都不大于1，
∴，
解得﹣3≤a≤1，
故答案为：﹣3≤a≤1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（6分）计算：
（1）（﹣）×（﹣24）；
（2）．
【分析】（1）直接利用乘法分配律计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质和立方根的性质、乘方分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）；
＝18﹣20+21
＝19；
（2）原式＝﹣4+2﹣3
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4x﹣3＞1，得：x＞1，
解不等式3（x+1）＜x+9，得：x＜3，
则不等式组的解集为1＜x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD和A′D′分别是边BC和B′C′上的中线，且AD＝A′D′．求证：∠C＝∠C′．
【分析】依据BD＝B'D'，AB＝A'B'，AD＝A'D'，即可判定△ABD≌△A'B'D'，再根据∠B＝∠B'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，可判定△ABC≌△A'B'C'，由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
在△ABD和△A'B'D'中，
，
∴△ABD≌△A'B'D'（SSS），
∴∠B＝∠B'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），
∴∠C＝∠C′．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键．
22．（10分）某校学生会调查了七年级部分学生对“垃圾分类”的了解程度．
（1）在确定调查方式时，学生会设计了以下三种方案，其中最具有代表性的方案是 方案③ ；
方案①：调查七年级部分男生；
方案②：调查七年级部分女生；
方案③：到年级每个班去随机调查一定数量的学生；
（2）学生会采用最具有代表性的方案进行调查后，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图1、图2），请你根据图中信息，回答下列问题：
①本次调查学生人数共有 120 名；
②补全图1中的条形统计图，图2中“了解一点”的圆心角度数为 216° ；
③根据本次调查估计该校八年级500名学生中，比较了解“垃圾分类”的学生大约有多少名．
【分析】（1）根据选择“样本”的代表性，普遍性、可操作性做出选择；
（2）①从两个统计图中可以得到“不了解”的人数为12人，占调查人数的10%，可求出调查人数；
②先求出“了解一点”所占的百分比，再求出所在的圆心角的度数；
③样本估计总体，样本中“比较了解”的所占的比为，该校八年级学生总数乘以即可求解．
【解答】解：（1）根据选择“样本”的广泛性、代表性和可操作性可得，最具有代表性的方案是方案③，
故答案为：方案③；
（2）①1本次调查学生人数共12÷10%＝120（名），
故答案为：120；
②（120﹣12﹣36）÷120＝72÷120＝60%，360°×60%＝216°，
故答案为：216°；
③500×＝150（名），
答：比较了解“垃圾分类”的学生大约有150名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解统计图中各个数据之间的关系，是解决问题的关键，两个统计图联系起来寻找数据之间关系是常用的方法．
23．（10分）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．
（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？
（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
【分析】（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，根据“改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，根据该公司自筹的改造资金不超过320万元且国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出改造方案的数量．
【解答】解：（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造一条A类生产线需要资金50万元，改造一条B类生产线需要资金75万元．
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，
依题意，得：，
解得：2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4．
答：共有3种改造方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点M的坐标为（4﹣2a，a﹣2），将点M向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到点N，且点N位于第三象限．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为整数，求出M，N两点的坐标．
【分析】（1）构建不等式组求解即可；
（2）求出整数a的值，可得结论．
【解答】解：（1）由题意N（7﹣2a，a﹣5），
∵点N在第三象限，
∴，
∴3.5＜a＜5；
（2）∵3.5＜a＜5，a是整数，
∴a＝4，
∴M（﹣4，2），N（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会根据不等式组解决问题．
25．（12分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，0），C（0，c），且|a+b|+（c﹣b）2＝0，△ABC的面积为16，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连接PA，PB．
（1）直线写出A、B、C三点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，D为AC上的动点（不与A、C两点重合）问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？并求出此时点D的坐标．
（3）如图2，若PA＞AB，以PA为边作等边△APQ，使△APQ与△ABP位于AP的同侧，直线BQ与y轴、直线PA交于点E、F，请找出线段PE、EQ、OE之间的数量关系（等量关系），请说明理由．
【分析】（1）由非负性判断出a＝c＝﹣b，进而得出OA＝OB＝OC，再由△ABC的面积求出OA＝OB＝OC＝4，即可得出结果；
（2）构造全等三角形得出DM＝DN，进而得出OM＝ON＝2，用BM＝PN建立方程即可得出结果；
（3）先判断出∠AQG＝∠APO，得出AE＝AG，∠PAE＝∠QAG，进而判断出△AEG是等边三角形，得出EG＝2OE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a+b|+（c﹣b）2＝0，
∴a+b＝0，c﹣a＝0，
∴a＝c＝﹣b，
∴|a|＝|b|＝|c|，
∴OA＝OB＝OC，
∵△ABC的面积为16，
∴（OA+OB）•OC＝OA2＝16，
∴OA＝4，
∴OA＝OB＝OC＝4，
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥OC于N，如图1所示：
∴∠BMD＝∠PND＝90°，
∵∠AOC＝90°，
∴四边形DMON是矩形，
∴ON＝DM，OM＝DN，∠MDN＝90°，
∵DP⊥DB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠BDM＝∠PDN，
在△BDM和△PDN中，
，
∴△BDM≌△PDN（AAS），
∴PN＝BM，DM＝DN，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴直线AC的解析式为：y＝x+4，
∵点D在线段AC上，且在第二象限内，
∴DM＝DN＝2，
∴ON＝OM＝2，
∴D（﹣2，2），BM＝OM+OB＝6，
∴PN＝6，
∵PN＝OP﹣ON＝OC+CP﹣ON＝4+t﹣2＝t+2，
∴t+2＝6，
∴t＝4，
即：t＝4秒时，DP与DB垂直相等，此时，点D（﹣2，2）；
（3）线段PE、EQ、OE之间的数量关系为：PE﹣EQ＝2OE，理由如下：
在QF上取一点G，使QG＝PE，连接AE、AG，如图2所示：
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP＝PQ，∠PAQ＝∠APQ＝60°，
∵OP⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，
∴PB＝PQ，∠APO＝∠BPO，
∴∠BPQ＝60°﹣2∠APO，
∵∠AQG＝∠PQB﹣∠AQP＝∠PQB﹣60°＝（180°﹣∠BPQ）﹣60°＝（180°﹣60°+2∠APO）﹣60°＝∠APO，
在△APE和△AQG中，
，
∴△APE≌△AQG（SAS），
∴AE＝AG，∠PAE＝∠QAG，
∴∠EAG＝∠PAQ＝60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴EG＝AE，∠AEG＝60°，
∴∠AEB＝120°，
∵OE⊥AB，OA＝OB，
∴BE＝AE，
∴∠AEO＝∠BEO＝60°，
在Rt△AOE中，AE＝2OE，
∴EG＝2OE，
∴QG＝EQ+EG＝EQ+2OE，
∵QG＝PE，
∴PE＝EQ+2OE，
即：PE﹣EQ＝2OE．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、坐标与图形的性质、绝对值与平方的非负性等知识；解本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
已知：∠AOB．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使♡；
（2）分别以点D，E为圆心、以☺为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．
理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由☆；
（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由⊕．