内蒙古通辽市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份内蒙古通辽市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为 S＝πr2.下列判断正确的是（ ）
A．r是因变量B．π是常量
C．S是自变量D．S，π，r都是变量
2．（3分）若有意义，则x可以是下面的哪个值（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（3分）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠BB．a：b：c＝4：5：6
C．a2＝b2﹣c2D．a＝，b＝，c＝1
4．（3分）已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9B．C．m＞0D．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，∠A＝100°，则∠AEB等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BAD＝120°，若AB＝6，则OA的长为（ ）
A．5B．4C．3D．
7．（3分）已知直线与两坐标轴的交点分别为A、B，则△AOB的周长为（ ）
A．12B．10C．9D．8
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点C（m，4）．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A．x＜4B．x＞4C．x＜3D．x＞3
9．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长
直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（ ）
A．3B．4C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以O为圆心，OA1的长为半径画弧，交直线于点B1；过点B1作B1A2∥y轴交直线y＝2x于点A2，以O为圆心，OA2长为半径画弧，交直线于点B2；过点B2作B2A3∥y轴交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，OA3长为半径画弧，交直线于点B3，…，按如此规律进行下去，点B2024的坐标为（ ）
A．（22023，22024）B．（22022，22023）
C．（22023，22022）D．（22024，22023）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）甲、乙两支排球队队员的平均身高都为1.82m，方差分别为S甲2＝3.7m2，S乙2＝4.2m2，则身高较整齐的球队是 队．
12．（3分）将直线y＝﹣3x﹣5向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为 ．
13．（3分）若点A（a，b）在直线y＝﹣x+2上，则a+b的值是 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③四边形BEFG是平行四边形；④EA平分∠GEF．其中正确的是 .（填序号）
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P为边CD上一个动点，将△APD沿AP折叠得到△APQ，点D的对应点为Q，当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题各7分，共24分．
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（7分）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 ，中位数为 ；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 ；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
18．（7分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A，B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
（1）求证：∠ACB＝90°
（2）求修建的公路CD的长．
19．（9分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明其正确性．
20．（9分）如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC，交BC于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若BC＝2AD，当∠C满足什么条件时，（1）中作出的四边形ABED为正方形？并证明你的结论．
21．（9分）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
22．（12分）问题情境：小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
（1）请直接判断：AE BF（填“＝”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且AE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，当M在正方形ABCD的对角线AC上时，连接BG，将△BMG沿着BG翻折，点M落在点M′处．那么四边形BMGM′是正方形吗？并说明理由．
23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，4），直线y＝kx+b经过点B且交x轴正半轴于点C，已知AC＝5．
（1）点C的坐标是（ ， ），直线BC的表达式是 ；
（2）若点G为线段BC上一点，且满足S△ABG＝S△AOB，求点G的坐标；
（3）如图2，点E为线段AB中点，点D为y轴上一动点，以DE为直角边作等腰直角△DEF，且DE＝DF，当点F落在直线BC上时，求点D的坐标．
2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为 S＝πr2.下列判断正确的是（ ）
A．r是因变量B．π是常量
C．S是自变量D．S，π，r都是变量
【分析】根据常量和变量的定义即可作答．
【解答】解：∵S随着r的变化而变化，
∴S是因变量，r是自变量，π是常量．
故选：B．
【点评】本题主要考查常量和变量，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（3分）若有意义，则x可以是下面的哪个值（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得x且x≠1．
则只有0符合．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件是解题的关键．
3．（3分）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠BB．a：b：c＝4：5：6
C．a2＝b2﹣c2D．a＝，b＝，c＝1
【分析】依据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形．
B、∵42+52≠62，∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵a＝，b＝，c＝1，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
4．（3分）已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9B．C．m＞0D．
【分析】根据题意得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2，
∴9m﹣1＞0，
解得m＞．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，∠A＝100°，则∠AEB等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由BC∥AD，得∠ABC＝180°﹣∠A＝80°，则∠CBE＝∠ABE＝40°，所以∠AEB＝∠CBE＝40°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝100°，
∴BC∥AD，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC＝×80°＝40°，
∴∠AEB＝∠CBE＝40°，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，求得∠CBE＝∠ABE＝40°是解题的关键．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BAD＝120°，若AB＝6，则OA的长为（ ）
A．5B．4C．3D．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，AO＝CO，可证△ABC是等边三角形，可得AC＝AB＝6，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，AO＝CO，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OA＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
7．（3分）已知直线与两坐标轴的交点分别为A、B，则△AOB的周长为（ ）
A．12B．10C．9D．8
【分析】先求出直线AB与两坐标轴的交点，再求出AB的长度，即可得出答案．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x＝4，
AB＝＝5，
则△AOB的周长为3+4+5＝12．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，求出直线AB与两坐标轴的交点是解题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点C（m，4）．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A．x＜4B．x＞4C．x＜3D．x＞3
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：将y＝4代入y＝得，
，
解得x＝3，
所以点C的坐标为（3，4）．
由函数图象可知，
当x＜3时，函数y＝的图象在函数y＝kx+b图象的下方，即＜kx+b，
所以关于x的不等式的解集为x＜3．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象和性质及数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
9．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长
直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（ ）
A．3B．4C．D．
【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出＝25，再结合ab＝8即可得出（a﹣b）的值，再根据勾股定理即可求出EF的长．
【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴AB2＝25，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴＝25，
∴（a﹣b）2+2ab＝25，
∴（a﹣b）2+2×8＝25，
∴（a﹣b）＝3（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴EF＝＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以O为圆心，OA1的长为半径画弧，交直线于点B1；过点B1作B1A2∥y轴交直线y＝2x于点A2，以O为圆心，OA2长为半径画弧，交直线于点B2；过点B2作B2A3∥y轴交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，OA3长为半径画弧，交直线于点B3，…，按如此规律进行下去，点B2024的坐标为（ ）
A．（22023，22024）B．（22022，22023）
C．（22023，22022）D．（22024，22023）
【分析】根据题意可求出B1的坐标，A2的坐标，B2的坐标，进而发现坐标变化的规律，即可得出答案．
【解答】解：∵点A1的坐标为（1，2），
设点B1的坐标为（a，），
∵a2+（）2＝12+22，
∴a＝2，（负根舍去），
∴点B1的坐标为（2，1），
同理可得A2的坐标为（2，4），B2的坐标为（4，2），
A3的坐标为（3，8），B3的坐标为（8，4），
⋯⋯，
∴点B2024的坐标为（22024，22023）．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标的特征、规律型，发现题目中坐标的变化规律是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）甲、乙两支排球队队员的平均身高都为1.82m，方差分别为S甲2＝3.7m2，S乙2＝4.2m2，则身高较整齐的球队是 甲 队．
【分析】根据方差越小数据越稳定解答即可．
【解答】解：∵平均身高都为1.82m，3.7＜4.2，
∴身高较整齐的球队是甲队．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
12．（3分）将直线y＝﹣3x﹣5向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为 y＝﹣3x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减”的平移规律即可得到答案．
【解答】解：将直线y＝﹣3x﹣5向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为y＝﹣3x﹣5+3＝﹣3x﹣2；
故答案为：y＝﹣3x﹣2．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律．
13．（3分）若点A（a，b）在直线y＝﹣x+2上，则a+b的值是 2 ．
【分析】将点A（a，b）代入直线y＝﹣x+2中，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣x+2上，
∴b＝﹣a+2，
∴a+b＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，将点A（a，b）代入直线y＝﹣x+2中是解题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③四边形BEFG是平行四边形；④EA平分∠GEF．其中正确的是 ①③④ .（填序号）
【分析】由平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，由BG＝EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得③正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝AB＝AG＝BG，
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，
故②错误，
∵BG＝EF，BG∥EF∥CD
∴四边形BEFG是平行四边形
故③正确，
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P为边CD上一个动点，将△APD沿AP折叠得到△APQ，点D的对应点为Q，当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为 2 ．
【分析】先推出MP＝MA＝5，在Rt△AMQ中，求出MQ，即可求出QP，由翻折性质可得DP＝QP，从而解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠APD＝∠PAM，
∵将△APD沿AP折叠得到△APQ，AD＝4，
∴∠APD＝∠APM，∠AQP＝∠D＝90°，AQ＝AD＝4，DP＝QP，
∴∠APM＝∠PAM，∠AQM＝90°，
∴MP＝MA，
∵AB＝10，M是AB的中点，
∴MP＝MA＝5，
在Rt△AMQ中，
由勾股定理，得MQ＝＝＝3，
∴DP＝QP＝MP﹣MQ＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题各7分，共24分．
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘除法，再化简即可；
（2）先化简，然后计算加减法即可．
【解答】解：（1）
＝+
＝+2；
（2）
＝1+﹣1﹣2+2
＝﹣2+3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（7分）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 106 ，中位数为 106 ；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 104 ；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
【分析】（1）将5次测验成绩重新排列后，根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）将平时测验成绩相加后除以3即可得；
（3）根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：（1）将5次测验的成绩重新排列为100、105、106、106、110，
∴该同学上学期5次测验成绩的众数为10（6分）、中位数为10（6分），
故答案为：106、106；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为＝104，
故答案为：104；
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为104×0.2+105×0.3+110×0.5＝107.3≈107，即该同学总评成绩约为10（7分）．
【点评】本题主要考查众数、中位数和加权平均数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及加权平均数的计算公式．
18．（7分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A，B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
（1）求证：∠ACB＝90°
（2）求修建的公路CD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，由AC2+BC2＝AB2得到△ABC是直角三角形，进而得解；
（2）利用△ABC的面积公式可得，CD•AB＝AC•BC，从而求出CD的长．
【解答】（1）证明：△ABC是直角三角形．
∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝12（km）．
答：修建的公路CD的长是12km．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： （+1）（6﹣）＝5+1 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （+1）（n+1﹣）＝n+1 （用含n的等式表示），并证明其正确性．
【分析】（1）根据所给等式可得答案；
（2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可．
【解答】（1）解：（+1）（6﹣）＝5+1，
故答案为：（+1）（6﹣）＝5+1；
（2）（+1）（n+1﹣）＝n+1，
证明：∵＝
∴，
故答案为：（+1）（n+1﹣）＝n+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，关键是认真观察等式，找出所给规律．
20．（9分）如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC，交BC于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若BC＝2AD，当∠C满足什么条件时，（1）中作出的四边形ABED为正方形？并证明你的结论．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）当∠C＝45°时，四边形ABED是正方形．根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）当∠C＝45°时，四边形ABED是正方形．
理由：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，
∵∠C＝45°，∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝∠C＝45°，
∴DE＝EC，
∵BC＝2AD，AD＝BE，
∴BE＝EC＝DE，
∴四边形ABED是正方形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（9分）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出m的值，得出购买方案；
（3）设购车总费用为w万元，根据总费用＝购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值．
【解答】解：（1）依题意得：
答：a的值为100，b的值为150；
（2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车 （10﹣m） 辆，
解得：6≤m≤9
又∵m为整数，
∴有4购买方案；
方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
方案一：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆；
方案二：购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆；
（3）设购车总费用为w万元，
则 w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，（6≤m≤9且m为整数）
∵﹣50＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝9时，w最小，最小值为﹣50×9+1500＝1050（万元），
∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆，购车总费用为1050万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确列出函数解析式．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。
22．（12分）问题情境：小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
（1）请直接判断：AE ＝ BF（填“＝”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且AE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，当M在正方形ABCD的对角线AC上时，连接BG，将△BMG沿着BG翻折，点M落在点M′处．那么四边形BMGM′是正方形吗？并说明理由．
【分析】（1）可证明△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF；
（2）作AH∥EG，交BC于H，由（1）知：AH＝BF，可证得四边形AHEG是平行四边形，从而GE＝AH，进而得出结论；
（3）连接DM，证明△BAM≌△DAM（ASA），所以∠ABM＝∠ADM，BM＝DM；由折叠可知，AM＝AM′，GM＝GM′，由四边形内角和和平角的定义可得∠MGD＝∠GDM，所以GM＝DM，则AM＝AM′＝GM＝GM′＝BM，所以四边形BMGM′是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论．
【解答】解：（1）AE＝BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠ABM+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB＝90°，
∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF，
故答案为：＝；
（2）GE＝BF，理由：如图2，
GE＝BF，理由如下：
作AH∥EG，交BC于H，
∵EG⊥BF，
∴AH⊥BF，
由（1）知：AH＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴四边形AHEG是平行四边形，
∴GE＝AH，
∴GE＝BF；
（3）是，理由如下：
连接DM．
由（2）的结论可知：GE＝BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAM＝∠DAM＝45°，
在△BAM和△DAM中，
，
∴△BAM≌△DAM（ASA），
∴∠ABM＝∠ADM，BM＝DM，
由折叠可知：GM＝GM'，BM＝BM'．
∵∠BAG+∠BMG＝180°，
∴∠ABM+∠AGM＝180°，
∵∠DGM+∠AGM＝180°，
∴∠DGM＝∠ABM，
∴∠DGM＝∠GDM，
∴GM＝DM，
∴GM＝BM，
∴GM＝GM'＝BM＝BM'，
∴四边形BMGM'为菱形，
又∵∠GMB＝90°，
∴四边形BMGM'为正方形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角 形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键
23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，4），直线y＝kx+b经过点B且交x轴正半轴于点C，已知AC＝5．
（1）点C的坐标是（ 3 ， 0 ），直线BC的表达式是 y＝﹣x+4 ；
（2）若点G为线段BC上一点，且满足S△ABG＝S△AOB，求点G的坐标；
（3）如图2，点E为线段AB中点，点D为y轴上一动点，以DE为直角边作等腰直角△DEF，且DE＝DF，当点F落在直线BC上时，求点D的坐标．
【分析】（1）由点A（﹣2，0），AC＝5，得到点C（3，0），再由待定系数法求出函数表达式；
（2）当BC、MN分别为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当BM、CN分别为对角线或BN、CM分别为对角线时，同理可解；
（3）当DE＝DF时，当D点在E上方时，证明△MED≌△NDF（AAS），列出等式即可求解；当点D在点E下方时，同理可解；当DE＝EF时，存在点D在点E下方和上方两种情况，同理可解．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），AC＝5，
则点C（3，0），
设直线BC的表达式为：y＝kx+4，
将点C的坐标代入上式得：0＝3k+4，
解得：k＝﹣，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
故答案为：3，0，y＝﹣x+4；
（2）存在，理由：
如图，连接OG，
∵S△ABG＝S△ABO，
则OG∥AB，
则直线OG的表达式为：y＝2x，
联立直线BC和OG的表达式得：y＝﹣x+4＝2x，
解得：x＝，
则点G（，），
（3）设D（0，y），F（m，﹣m+4），
当DE＝DF时，
如图，当D点在E上方时，过点D作MN⊥y轴，过E、F分别作ME、FN垂直于x轴，与MN交于点M、N，
∵△EDF是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，ED＝DF，
∵∠MDE+∠NDF＝∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠NDF＝∠MED，
∴△MED≌△NDF（AAS），
∴ME＝DN，MD＝FN，
∵E是AB的中点，
∴E（﹣1，2），
∴ME＝y﹣2，MD＝1，
∴DN＝y﹣2，NF＝1，
∴m＝y﹣2，y＝1+（﹣m+4）＝5﹣m，
∴m＝，
∴D（0，）；
如图，当点D在点E下方时，过点D作PQ⊥y轴，过P、Q分别作PE、FQ垂直于x轴，与PQ交于点P、Q，
∵△EDF是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，ED＝DF，
∵∠PDE+∠QDF＝∠PDE+∠PED＝90°，
∴∠QDF＝∠PED，
∴△PED≌△QDF（AAS），
∴PE＝DQ，PD＝FQ，
∵E是AB的中点，
∴E（﹣1，2），
∴PE＝2﹣y，PD＝1，
∴DQ＝2﹣y，QF＝1，
∴m＝2﹣y，1＝﹣m+4﹣y，
∴m＝3，
∴D（0，﹣1）；
即D点坐标为（0，﹣1）或（0，）；
当DE＝EF时，存在点D在点E下方和上方两种情况，
当点D在点E下方时，如图，
同理可得：△END≌△FME（AAS），
则MF＝EN，ME＝ND，
即m+1＝2﹣y且﹣m+2＝1，
解得：m＝，y＝，
即点D（0，）；
当点D在点E上方时，如图，
同理可得：△ENF≌△DME（AAS），
则EN＝DM，NF＝EM，
则y﹣2＝m+1且1＝m﹣2，
解得：m＝，y＝，
即点D（0，），
即点D的坐标为：（0，﹣2）或（0，）；
综上，点D的坐标为：（0，﹣1）或（0，）或（0，）或（0，）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/1 14:44:05；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.cm；学号：27405248测验类别
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106
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B型
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a
b
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