四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二下学期期末热身数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二下学期期末热身数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知等差数列前n项和为，，，则的值为( )
A.70B.80C.90D.100
二、选择题
2．的展开式中的系数为( )
A.50B.100C.D.
三、选择题
3．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( )
A.200B.150C.250D.100
四、选择题
4．已知等比数列的公比为，前n项和为.若，，则( )
A.3B.4C.5D.7
五、选择题
5．若曲线有两条过点的切线，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
六、选择题
6．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为( )
A.150B.180C.240D.540
七、选择题
7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于的概率为( )
A.B.C.D.
八、选择题
8．若实数x，y，z满足，，则下列不等式错误是( )
A.B.C.D.
九、多项选择题
9．设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是( )
A.B.
C.与均为的最大值D.满足的n的最小值为14
一十、多项选择题
10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前n项为，则( )
A.B.满足n的最小值为11
C.D.
一十一、多项选择题
11．设函数，则( )
A.当时，直线不是曲线的切线
B.当时，函数有三个零点
C.若有三个不同的零点，，，则
D.若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
一十二、填空题
12．已知函数，则的极小值点为__________.
一十三、填空题
13．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为________.
一十四、填空题
14．我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如，，，，若，则_______.
一十五、解答题
15．设数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，，恒成立，求实数m的最小值.
一十六、解答题
16．为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.
（1）从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立；
（2）活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设：
假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高.
假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的期望（精确到元）.
一十七、解答题
17．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
一十八、解答题
18．在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答n道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为.
（1）若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为X，求X的分布列与期望；
（2）若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.
一十九、解答题
19．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中.求的通项公式.
（3）在（2）的条件下，证明：
参考答案
1．答案：D
解析：因为等差数列中，，，所以，
则.
故选：D.
2．答案：C
解析：，
令，得，
所以的系数为.
故选C
3．答案：A
解析：因为数学考试成绩服从正态分布，
又，所以
则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为.
故选：A.
4．答案：C
解析：根据题意，因为等比数列的公比为，则，
，
所以
解得.
故选：C.
5．答案：D
解析：设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为
直线过点，
，
化简得切线有2条，，则a的取值范围是.
故选：D.
6．答案：A
解析：先将5名同学分成3组，然后将这3组安排选修3门选修课即可，
则5名同学选课的种数为
故选：A.
7．答案：D
解析：质点移动6次后位于，则质点在移动过程中向右移动2次，向上移动4次，因此质点移动6次后位于的概率为.
故选D
8．答案：B
解析：对于A，令函数，求导得，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，即，而，因此，故A正确；
对于B，由，得，则，显然，否则，，于是，则，故B错误；
对于C，由，得，故C正确；
对于D，，即，因此，D正确.
故选：B
9．答案：BCD
解析：A：因为，所以，，
所以，故A错误；
B：由A的解析可得B正确；
C：因为，，所以与，均为的最大值，故C正确；
D：因为，由，，故D正确；
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：数列1，3第n次拓展后的项数为，则，，根据拓展规则可知，，即，
数列是等比数列，首项为2，公比为2，
，即；故A项错误；
由，即，解得，故B项正确；
根据拓展规则可知，，，又，数列是等比数列，首项为6，公比为3，，所以；故C项错误；
，故D项正确.
11．答案：BCD
解析：当时，，则，则，
则曲线在点处的切线方程为，故A选项错误；
当时，，则，当和时，，单调遂增，时，，单调递减.
又因为，，结合三次函数的图象特征，
此时，有三个零点，故B选项正确；
设的三个零点分别为，，，则有，展开后比对含项的系数，可得
，故选项C正确；
当时，易知在R上单调递增，结合图象知不符合题意，故.
因为，，因此函数的图象关于点成中心对称图形.则此正方形必以为中心，不妨设正方形的四个顶点分别为A，B，C，D，其中一条对角线的方程为，则，即，解得，则，同理可得，
由得，根据题意，方程
只有一个正解，当时，是然不成立，故，
则
因为，则，设，则，
设，根据题意，只需要直线与函数的图象只有唯一的公共点即可.
结合双勾函数的图象可得，解得，所以选项D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由已知可得的定义域为R，且
令，解得，令，解得或，故在上单调递减，在和上单调递增，
故的极小值点为1.
故答案为：1.
13．答案：729或
解析：由题意的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即，，
设的各项的系数为，，，，，
则各项的系数的绝对值之和为
，
即为中各项的系数的和，
令，
即各项的系数的绝对值之和为，故答案为：729.
14．答案：4049
解析：依题意可知：
，，…，①，
②，
①-②：
，
，…，，，
（累加）
15．答案：（1）；
（2）1
解析：（1）因为①，所以当时，②，
由①②得到，整理得到，
又，所以，得到，
所以当时，，
当，满足，所以.
（2）由（1）知，
所以，
因为，且，所以是关于的递增数列，由，恒成立，得到，
所以实数m的最小值为1.
16．答案：（1）A，B不独立；
（2）列联表见解析；
解析：（1）模型内饰为米色的共有20个，所以，
红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所，
红色外观模型且内饰为米色的共有15个，
所以，，
因为，所以A，B不独立；
（2）设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”，
，
，
，
因为，
所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为，
其分布列为
期望为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为R，且，
若，则对任意恒成立，
可知在R上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为R，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，，
因为则，在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
18．答案：（1）分布列见解析；；
（2）
解析：由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
X的分布列为
则.
（2）设“考生甲答对第i道试题”，
则，，
，
则.
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
则，
即他第10道试题也答对的概率为.
19．答案：（1）单调性见解析；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）
①若，当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
②若，则，则在R上单调递增
③若，当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
综上所述：
①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，则在R上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，，切点
切线斜率：，故切线方程为：
联立得：
化简得：
因式分解得：.
故
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故
，则是以为首项，以为公比的等比数列
故，故
（3）构造，
，故在上单调递减，故
故当时，
故
则，，……，… 15分
将上式累加，得
故
故
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
20
10
米色内饰
15
5
X
3000
2000
1000
P
X
0
1
2
3
P