2024年河南省信阳市新县中考数学三模试卷（含答案）

这是一份2024年河南省信阳市新县中考数学三模试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数23的相反数是( )
A. −23B. 32C. −32D. ±23
2.某物体如图所示，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.浅草芳草凉，五月青山暖，正是出游好时节.“五一”假期，甘肃文旅经济持续升温，全省各地共接待游客2510万人次.数据“2510万”用科学记数法表示为( )
A. 251×105B. 25.1×106C. 2.51×107D. 2.51×106
4.已知a2b+2ab+b=a2−a−1，则满足等式的b的值可以是( )
A. −32B. −54C. −74D. −2
5.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC/​/DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
6.不等式组12x+1>02x−6≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，直角坐标系中，点A(0,4)，B(3,0)，线段AB绕点B按顺时针方向旋转45°得到线段BC，则点C的纵坐标为( )
A. 5B. 3+ 2C. 5− 22D. 7 22
8.2024年4月11日，农历三月初三，在新郑市举办了一年一度的拜祖大典.海内外的炎黄子孙共同拜祭始祖轩辕黄帝，祈祷中华民族繁荣富强.小明趁机制作了四张分别印有“繁”“荣”“富”“强”字样，质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，打算用抽签的方式为国祈福.他从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的概率为( )
A. 23B. 12C. 13D. 16
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若∠ADC=60°，CD=4 3，则⊙O的半径为( )
A. 2 3
B. 4
C. 3 3
D. 5
10.如图①，在矩形ABCD中(AD>CD)，动点P从点A出发，沿AD→DC匀速运动，运动到点C处停止.设点P的运动路程为x，△ABP的周长为y，y与x的函数图象如图②所示，则AD的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：−m2n+6mn−9n=______．
12.不等式组x+1≥0,x−2(x−1)<1的解集是______．
13.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四.问人数物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱.问人数、物价各多少？若设人数为x人，则可列方程为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，AB的垂直平分线分别交AB、AD于点E、F、若AC=6，BC=8，则BF的长为______．
15.如图，⊙O的内接四边形ABCD，AD//BC，⊙O的直径AE与BC交于点F，连接BD.若AE/​/CD，sin∠DBC=23，EF=2，则AE的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：|1− 2|− 18+4cs45°+(2024−π)0．
(2)化简：(1−1x−1)÷x2−4x+4x−1．
17.(本小题9分)
为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请结合图表完成下列各题：
(1)求表中a的值；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
(4)第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
18.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，将▱ABCD翻折，使点A与点C重合，折痕与CD交于点E，与AB交于点F．
(1)请在图中作出折痕EF；(要求：尺规作图.不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：CE=AF．
19.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AC=6，tan∠CAD=12，求AE的长．
20.(本小题9分)
如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192)．
21.(本小题9分)
某学校计划一次性购买A，B两种类型的书架，用于建设班级读书角，方便学生利用课余时间阅览图书.已知购买3个A型书架和4个B型书架共需640元，购买5个A型书架和2个B型书架共需670元．
(1)求购买一个A型书架和一个B型书架各需多少元．
(2)该学校打算购买A，B型书架共52个，且购买的总费用不超过4700元.若A型书架的最大放书量为80册，B型书架的最大放书量为65册，请设计出放书总量最大的购买方案，并说明理由．
22.(本小题10分)
如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=−43x2+bx+c过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF/​/y轴交AB于点F，当△DEF的周长最大时，求点D的坐标；
(3)G是平面内的一点，在(2)的条件下，将△DEF绕点G顺时针旋转α得到△D′E′F′，当α=∠OBA时，△D′EF的两个顶点恰好落在抛物线上，求点D′的横坐标．
23.(本小题10分)
问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰直角三角形，如图1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC摆在一起，其中直角顶点A重合，延长CA至点F，满足AF=AC，然后连接DF，BE．

(1)实践猜想：图1中的BE与DF的数量关系为______，位置关系为______；
(2)拓展探究：当△ADE绕着点A旋转一定角度α时，如图2所示，(1)中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)解决问题：当AB=2，AD= 2，△ADE旋转得到D，E，F三点共线时，直接写出线段DF的长．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.B
9.B
10.B
11.−n(m−3)2
12.x>1
13.8x−3=7x+4
14.5 52
15.6
16.解：(1)|1− 2|− 18+4cs45°+(2024−π)0
= 2−1−3 2+4× 22+1
= 2−1−3 2+2 2+1
=0；
(2)(1−1x−1)÷x2−4x+4x−1
=x−2x−1⋅x−1(x−2)2
=1x−2．
17.解：(1)表中a的值是：
a=50−4−8−16−10=12；
(2)根据题意画图如下：
(3)本次测试的优秀率是12+1050=0.44．
答：本次测试的优秀率是0.44；
(4)用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是412=13．
18.解：(1)解：如图，折痕EF即为所求；

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠BAC，
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AC⊥EF，
在△EOC与△FOA中，
∠ECO=∠FAOOA=OC∠EOC=∠FOA，
∴△EOC≌△FOA(ASA)，
∴CE=AF．
19.(1)证明：连接OD，则OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD/​/AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
(2)解：如图，连接DE，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAC=12，AC=6，
∴CD=12AC=3，
∴AD= CD2+AC2= 32+62=3 5
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°．
∴∠ADE=∠C，
由(1)知∠EAD=∠CAD．
∴△ADE∽△ACD，
∴AEAD=ADAC，即：AE3 5=3 56，
∴AE=7.5．
20.解：过B作BD⊥AC于D，

由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°−30°−30°−70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
21.解：(1)设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，
根据题意得：3x+4y=6405x+2y=670，
解得：x=100y=85．
答：购买一个A型书架需要100元，购买一个B型书架需要85元；
(2)放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，理由如下：
设购买m个A型书架，则购买(52−m)个B型书架，
根据题意得：100m+85(52−m)≤4700，
解得：m≤563．
设购买两种书架的放书总量为w册，则w=80m+65(52−m)=15m+3380．
∵15>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≤563，且m为整数，
∴当m=18时，w取得最大值，此时52−m=34，
∴放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架．
22.解：(1)当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，
当y=0时，x=3，
∴A(3,0)，
将A(3,0)，B(0,4)代入y=−43x2+bx+c，
∴c=4−12+3b+c=0，
解得b=83x=3，
∴y=−43x2+83x+4；
(2)设D(t,−43t2+83t+4)，则F(t,−43t+4)，
∴DF=−43t2+4t，
∵DE⊥BA，DF/​/OB，
∴∠EDF=∠BAO，
∵OB=4，OA=3，
∴AB=5，
∴EF=45DF，ED=35DF，
∴△DEF的周长=45DF+35DF+DF=125DF=−165(t−32)2+365，
当t=32时，△DEF的周长有最大值365，
此时D(32,5)；
(3)∵EF在直线AB上，
∴当EF绕G点顺时针旋转∠OBA时，E′F′//OB，
∵ED⊥EF，
∴D′E′//x轴，
∵D(32,5)，
∴F(32,2)，
∴DF=3，
∴DE=95，EF=125，
设D′(m,−43m2+83m+4)，则E′(m−95,−43m2+83m+4)，F′(m−95,−43m2+83m+85)，
当D′、E′在抛物线上时，−43m2+83m+4=−43(m−95)2+83(m−95)+4，
解得m=1910，
∴D′的横坐标为1910；
当D′、F′在抛物线上时，−43m2+83m+85=−43(m−95)2+83(m−95)+4，
解得m=75，
∴D′的横坐标为75；
综上所述：D′的横坐标为1910或75．
23.BE=DF BE⊥DF 组别
成绩x分
频数(人数)
第1组
25≤x<30
4
第2组
30≤x<35
8
第3组
35≤x<40
16
第4组
40≤x<45
a
第5组
45≤x<50
10