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2023-2024学年广东省佛山市禅城区城北中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广东省佛山市禅城区城北中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列不等式中是一元一次不等式的是( )
A. y+3≥xB. 3−4<0C. 2x2−4≥1D. 2−x≤4
2.如果a>b，那么下列不等式中正确的是( )
A. a−b<0B. a+3bc2D. −a7<−b7
3.如图，小刚荡秋千，秋千旋转了70°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
4.不等式2x+1≥3x−1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
A. AC=ADB. AB=AB
C. ∠ABC=∠ABDD. ∠BAC=∠BAD
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )
A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm
7.如图，已知直线y=kx−2，根据图象可知不等式kx−2<0的解集是( )
A. x>1
B. x>−2
C. x<1
D. x<−2
8.把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8(x+6)>11x，则横线的信息可以是( )
A. 分给8个同学，则剩余6本B. 分给6个同学，则剩余8本
C. 分给8个同学，则每人可多分6本D. 分给6个同学，则每人可多分8本
9.已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是( )
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E.过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF.现有如下结论：①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=2 5；⑤∠CAF=∠CFB.其中正确的结论有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题：本题共6小题，共25分。
11.如图，托盘天平左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示其数量关系是______．
12.不等式2x−3<2的非负整数解为______．
13.已知等腰三角形的两边长为10和12，则等腰三角形的面积为______．
14.“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：______．
15.EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当∠BAC减少x°时，∠ABC增加y°，则y与x的函数表达式是______．
16.下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空．
解不等式：2x−13<3x−22−1．
解：2(2x−1)<3(3x−2)−6第①步
4x−2<9x−6−6第②步
4x−9x<−6−6+2第③步
−5x<−10第④步
x<2第⑤步
(1)以上解题过程中，第②步是依据______(运算律)进行变形的；
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(3)该不等式的正确解集为______．
三、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解下列不等式2(3x−2)>x+1；并把解集在数轴上表示出来．
18.(本小题8分)
(1)请认真阅读并完成填空：
根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果a−b<0，那么a ______b；
②如果a−b=0，那么a ______b；
③如果a−b>0，那么a ______b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
(2)请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较3x2−3x+7与4x2−3x+8的大小．
19.(本小题9分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求证：CE=CF；
(2)若CD=2，求DF的长．
20.(本小题9分)
某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把.经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
(1)求A种，B种办公椅每把各多少元？
(2)因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其它因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠.请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
21.(本小题9分)
阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应学习任务．
学习任务：
(1)方案一依据的一个基本事实是______；方案二“判定直角三角形全等”的依据是______；
(2)同学们提出的方案三是否正确？请你利用图③说明理由；
(3)请依据等腰三角形“三线合一”的性质，在图④中作出∠AOB的平分线，并简要叙述作图过程．
22.(本小题12分)
阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2 ab(当且仅当a=b时取等号)．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x>0，若y=x+1x，求y的最小值．
解：由a+b≥2 ab，得y=x+1x≥2 x⋅1x=2× 1=2，当且仅当x=1x，即x=1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
(1)已知x>0，若y=4x+9x，则当x= ______时，y有最小值，最小值为______．
(2)已知x>3，若y=x+9x−3，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3)用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
23.(本小题12分)
△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE．
【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α(0°<α<90°)，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD= 2，AD=4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.A
6.C
7.C
8.C
9.D
10.B
11.x>50
12.0，1，2
13.48或5 119
14.三边对应相等的三角形是全等三角形
15.y=12x
16.(1)乘法分配律；
(2)⑤；不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变．(或不等式性质2)；
(3) x>2；
17.解：去括号，得6x−4>x+1，
移项，得6x−x>1+4，
合并，得5x>5，
系数化为1，得x>1，
在数轴上表示不等式的解集为：
18.< = <
19.解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵DE//AB，
∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=30°
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF．
(2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC=2．
又∵CE=CF，
∴CF=2．
∴DF=DC+CF=2+2=4．
20.解：(1)设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，
依题意得：2x+5y=6003x+y=380，
解得：x=100y=80．
答：A种办公椅100元/把，B种办公椅80元/把．
(2)设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅(100−m)把，
依题意得：m≥3(100−m)，
解得：m≥75．
设实际所花费用为w元，则w=[100m+80(100−m)]×0.9=18m+7200．
∵k=18>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w取得最小值，最小值=18×75+7200=8550，此时100−m=25．
答：当购买75把A种办公椅，25把B种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．
21.SSS HL
22.32 12
23.解：【观察猜想】AE⊥BD，AE=BD；
【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：因为∠ACB=∠DCE=90°，
所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
所以△ACE≌△BCD(SAS)，
所以AE=BD，∠CAE=∠CBD，
因为∠ACB=90°，
所以∠CBD+∠CGB=90°，
因为∠CAE=∠CBD，∠AGF=∠CGB，
所以∠CAE+∠AGF=90°，
所以∠BFA=180°−90°=90°，
所以AE⊥BD；
【拓展应用】如图，在CD的左侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE，连接AE，
所以∠DCE=90°，CE=CD= 2，∠CDE=45°，
所以DE= CD2+CE2=2，
因为∠ADC=45°，
所以∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+45°=90°，
所以AE= DE2+AD2= 22+42=2 5，
因为将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，
所以∠ACB=90°，AC=BC，
由【探究证明】在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
所以△ACE≌△BCD(SAS)知BD=AE，
所以BD=2 5． 作∠AOB的平分线；
活动内容：
已知∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．
方法展示：
方案一：如图①，分别在∠AOB的边OA，OB上截取OM=ON，再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧相交于点C，则射线OC就是∠AOB的平分线．
方案二：如图②，分别在∠AOB的边OA，OB上用圆规截取OM=ON，再利用三角尺分别过点M，N作出OA，OB的垂线，两条垂线交于点C，作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
方案三：如图③，在OA上取一点P，过点P作∠APQ=∠AOB；然后在PQ上截取PC=OP，作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．
活动总结：
全等三角形、等腰三角形的性质是证明两角相等的重要依据，根据全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作∠AOB的平分线．
活动反思：
利用等腰三角形“三线合一”的性质可以作出∠AOB的平分线吗？
1.下列不等式中是一元一次不等式的是( )
A. y+3≥xB. 3−4<0C. 2x2−4≥1D. 2−x≤4
2.如果a>b，那么下列不等式中正确的是( )
A. a−b<0B. a+3
3.如图，小刚荡秋千，秋千旋转了70°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
4.不等式2x+1≥3x−1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
A. AC=ADB. AB=AB
C. ∠ABC=∠ABDD. ∠BAC=∠BAD
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )
A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm
7.如图，已知直线y=kx−2，根据图象可知不等式kx−2<0的解集是( )
A. x>1
B. x>−2
C. x<1
D. x<−2
8.把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8(x+6)>11x，则横线的信息可以是( )
A. 分给8个同学，则剩余6本B. 分给6个同学，则剩余8本
C. 分给8个同学，则每人可多分6本D. 分给6个同学，则每人可多分8本
9.已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是( )
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E.过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF.现有如下结论：①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=2 5；⑤∠CAF=∠CFB.其中正确的结论有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题：本题共6小题，共25分。
11.如图，托盘天平左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示其数量关系是______．
12.不等式2x−3<2的非负整数解为______．
13.已知等腰三角形的两边长为10和12，则等腰三角形的面积为______．
14.“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：______．
15.EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当∠BAC减少x°时，∠ABC增加y°，则y与x的函数表达式是______．
16.下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空．
解不等式：2x−13<3x−22−1．
解：2(2x−1)<3(3x−2)−6第①步
4x−2<9x−6−6第②步
4x−9x<−6−6+2第③步
−5x<−10第④步
x<2第⑤步
(1)以上解题过程中，第②步是依据______(运算律)进行变形的；
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(3)该不等式的正确解集为______．
三、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解下列不等式2(3x−2)>x+1；并把解集在数轴上表示出来．
18.(本小题8分)
(1)请认真阅读并完成填空：
根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果a−b<0，那么a ______b；
②如果a−b=0，那么a ______b；
③如果a−b>0，那么a ______b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
(2)请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较3x2−3x+7与4x2−3x+8的大小．
19.(本小题9分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求证：CE=CF；
(2)若CD=2，求DF的长．
20.(本小题9分)
某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把.经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
(1)求A种，B种办公椅每把各多少元？
(2)因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其它因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠.请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
21.(本小题9分)
阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应学习任务．
学习任务：
(1)方案一依据的一个基本事实是______；方案二“判定直角三角形全等”的依据是______；
(2)同学们提出的方案三是否正确？请你利用图③说明理由；
(3)请依据等腰三角形“三线合一”的性质，在图④中作出∠AOB的平分线，并简要叙述作图过程．
22.(本小题12分)
阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2 ab(当且仅当a=b时取等号)．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x>0，若y=x+1x，求y的最小值．
解：由a+b≥2 ab，得y=x+1x≥2 x⋅1x=2× 1=2，当且仅当x=1x，即x=1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
(1)已知x>0，若y=4x+9x，则当x= ______时，y有最小值，最小值为______．
(2)已知x>3，若y=x+9x−3，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3)用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
23.(本小题12分)
△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE．
【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α(0°<α<90°)，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD= 2，AD=4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.A
6.C
7.C
8.C
9.D
10.B
11.x>50
12.0，1，2
13.48或5 119
14.三边对应相等的三角形是全等三角形
15.y=12x
16.(1)乘法分配律；
(2)⑤；不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变．(或不等式性质2)；
(3) x>2；
17.解：去括号，得6x−4>x+1，
移项，得6x−x>1+4，
合并，得5x>5，
系数化为1，得x>1，
在数轴上表示不等式的解集为：
18.< = <
19.解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵DE//AB，
∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=30°
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF．
(2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC=2．
又∵CE=CF，
∴CF=2．
∴DF=DC+CF=2+2=4．
20.解：(1)设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，
依题意得：2x+5y=6003x+y=380，
解得：x=100y=80．
答：A种办公椅100元/把，B种办公椅80元/把．
(2)设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅(100−m)把，
依题意得：m≥3(100−m)，
解得：m≥75．
设实际所花费用为w元，则w=[100m+80(100−m)]×0.9=18m+7200．
∵k=18>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w取得最小值，最小值=18×75+7200=8550，此时100−m=25．
答：当购买75把A种办公椅，25把B种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．
21.SSS HL
22.32 12
23.解：【观察猜想】AE⊥BD，AE=BD；
【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：因为∠ACB=∠DCE=90°，
所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
所以△ACE≌△BCD(SAS)，
所以AE=BD，∠CAE=∠CBD，
因为∠ACB=90°，
所以∠CBD+∠CGB=90°，
因为∠CAE=∠CBD，∠AGF=∠CGB，
所以∠CAE+∠AGF=90°，
所以∠BFA=180°−90°=90°，
所以AE⊥BD；
【拓展应用】如图，在CD的左侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE，连接AE，
所以∠DCE=90°，CE=CD= 2，∠CDE=45°，
所以DE= CD2+CE2=2，
因为∠ADC=45°，
所以∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+45°=90°，
所以AE= DE2+AD2= 22+42=2 5，
因为将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，
所以∠ACB=90°，AC=BC，
由【探究证明】在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
所以△ACE≌△BCD(SAS)知BD=AE，
所以BD=2 5． 作∠AOB的平分线；
活动内容：
已知∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．
方法展示：
方案一：如图①，分别在∠AOB的边OA，OB上截取OM=ON，再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧相交于点C，则射线OC就是∠AOB的平分线．
方案二：如图②，分别在∠AOB的边OA，OB上用圆规截取OM=ON，再利用三角尺分别过点M，N作出OA，OB的垂线，两条垂线交于点C，作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
方案三：如图③，在OA上取一点P，过点P作∠APQ=∠AOB；然后在PQ上截取PC=OP，作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．
活动总结：
全等三角形、等腰三角形的性质是证明两角相等的重要依据，根据全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作∠AOB的平分线．
活动反思：
利用等腰三角形“三线合一”的性质可以作出∠AOB的平分线吗？
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