2023-2024学年天津市第二南开中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年天津市第二南开中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,−4)，且a⊥c，b/​/c，则
|a+b|=( )
A. 5B. 10C. 2 5D. 10
2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40、50)，[50、60)，[60、70)，[70、80)，[80、90)，[90、100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A. 588B. 420C. 450D. 120
3.如图，在△ABC中，BD=2DC，AD=mAB+nAC，则mn=( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 2
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=1，b= 2，B=π4，则A=( )
A. π6B. π3C. 5π6D. π6或5π6
5.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则原平面图形的面积为( )
A. 32B. 16C. 32 2D. 16 2
6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若m⊥α，n/​/β，且α/​/β，则m⊥n
B. 若m⊥α，m//β，则α⊥β
C. 若α∩β=l，m/​/α，m//β，则m/​/l
D. 若m⊥n，m⊥α，n/​/β，则α⊥β
7.向量b=( 33,1)在向量a=( 3,1)方向上的投影向量的坐标为( )
A. ( 33,1)B. ( 32,12)C. (− 32,12)D. ( 33,13)
8.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为9π2的同一球面上，则PA的长为( )
A. 3B. 32C. 1D. 12
9.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，则下列结论中正确的有( )
①AC⊥BE；
②三棱锥A−BEF的体积为定值；
③△AEF的面积与△BEF的面积相等；
④二面角A−EF−A1的正切值为 2．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知复数z满足z(1−i)=4+2i，则z的虚部为______．
11.某中学共有高一学生120人，高二学生150人，高三学生330人申请报名做志愿者．现用分层抽样方法从中抽取高一学生4人，则该中学抽取的志愿者总人数为______人．
12.a=(1,−2),b=(1,λ),a与b的夹角为锐角，λ的取值范围为______．
13. 如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为2，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为______．

14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足4≤|A1P|≤2 5的点P组成，则W的面积是______；四面体P−A1BC的体积的取值范围______．
15.在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，AD=λBC，AD⋅AB=−3，则实数λ的值为______，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=2，则DM⋅DN的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为2π3．
(Ⅰ)求|a+b|的值；
(Ⅱ)若(2a+b)⊥(ka−b)，求实数k的值．
17.(本小题8分)
已知复数z=(m2−5m+6)+(m2−m−2)i(m∈R)．
(1)若复数z为纯虚数，求z−；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
18.(本小题11分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=2sinC1−2csC，b=1．
(1)求a的值(2)若c= 7，求△ABC外接圆的面积．
19.(本小题10分)
如图，三棱锥S−ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，SD⊥CD．
(1)证明：BC/​/平面SDE；
(2)求直线SE与平面ABC所成角的正切值．
20.(本小题12分)
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为S，2a+b=4，c(a+b−c)(sinA+sinB+sinC)=6S,CA=3CD−2CB．
(1)求C的值；
(2)求|CD|的最小值．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.A
5.C
6.D
7.B
8.C
9.C
10.3
11.20
12.(−∞,−2)∪(−2,12)
13.23
14.π [163,323]
15.13 234
16.解：(Ⅰ)|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为2π3，
则a⋅b=|a||b|csθ=2×3×(−12)=−3，
故|a+b|=(a+b)2=a2+b2+2a⋅b=4+9−6=7，
所以|a+b|= 7；
(Ⅱ)若(2a+b)⊥(ka−b)，
则2ka2−b2+(k−2)a⋅b=8k−9+(k−2)×(−3)=5k−3=0，解得k=35．
17.解：(1)若复数z是纯虚数，
则m2−5m+6=0m2−m−2≠0，得m=3，
则z=4i，
所以z−=−4i；
(2)由复数的几何意义可知，
m2−5m+6>0m2−m−2<0，得−1故m的取值范围为(−1,2)．
18.解：(1)由已知得sinAcsA=2sinC1−2csC，
即sinA(1−2csC)=2csAsinC，
∴sinA=2sinAcsC+2csAsinC=2sin(A+C)，
∵A+C=π−B，
∴sinA=2sinB，
由正弦定理得a=2b，
∵b=1，
∴a=2；
(2)由余弦定理得c2=a2+b2+−2abcsC，
∴( 7)2=12+22−2×1×2×csC，
即csC=−12，
∵0∴C=2π3，
设△ABC外接圆的半径为R，则2R=csinC= 7 32，
解得R= 213，
∴△ABC外接圆的面积πR2=7π3．
19.解：(1)因为点D，E分别是AB，AC的中点，所以DE/​/BC，
DE⊂平面SDE，BC⊄平面SDE，
所以BC/​/平面SDE；
(2)因为△SAB是等边三角形，点D是AB中点，所以SD⊥AB，
又SD⊥CD，AB∩CD=D，且AB，CD⊂平面ABC，
所以SD⊥平面ABC，
所以直线SE与平面ABC所成角为∠SED，
即tan∠SED=SDDE= 31= 3，
所以直线SE与平面ABC所成角的正切值为 3．
20.解：(1)因为S=12bcsinA，
则c(a+b−c)(sinA+sinB+sinC)=6S=3bcsinA，
由正弦定理可得：(a+b−c)(a+b+c)=3ab，
整理得a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，
又C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)由CA=3CD−2CB，可得3CD=CA+2CB，
即9CD2=CA2+4CB2+4CA⋅CB=b2+4a2+4abcsC
=b2+4a2+2ab=(b+2a)2−2ab≥16−(2a+b)24=12，
故|CD|≥2 33，当且仅当b=2a时，等号成立，
联立b=2a2a+b=4，得a=1，b=2，
所以|CD|的最小值为2 33．