2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3+i1+3i=( )
A. iB. 4−3i5C. −iD. 3−4i5
2.设集合A={x|2−x≥2}，B={x|x2+x−6≤0}，则A∩B=( )
A. {x|−3≤x≤0}B. {x|−2≤x≤0}C. {x|0≤x≤2}D. {x|0≤x≤3}
3.将函数y=sin(7x+π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=f(x)的图象，则f(x)=( )
A. sin14xB. −sin14xC. sin7x2D. −sin7x2
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，csC=34，则c=( )
A. 32B. 2C. 3D. 5
5.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取100名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间：
这100名学生的一周内课外阅读时间的70%分位数是( )
A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6
6.欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作.若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为( )
A. 14B. 12C. 13D. 23
7.有一组样本数据x1，x2，⋯，x6(其中x1是最小值，x6是最大值)的平均数为x−，方差为s2，中位数为x′，则( )
A. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的平均数为2x−
B. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的方差为s2
C. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的中位数为2x′+1
D. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的极差为x6−x1
8.定义[x]为不超过x的最大整数，如[−0.1]=−1，[0.5]=0，[2.3]=2，[2]=2.已知函数f(x)满足：对任意x∈R.f(x+2)=2f(x).当x∈[0,2]时，f(x)=2x−x2，则函数g(x)=f(x)−[f(x)]在[−4,4]上的零点个数为( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=1−m+mi，m∈R，下列结论正确的是( )
A. 若z在复平面内对应的点在第二象限，则m>1
B. 若|z|>1，则z在复平面内对应的点在第二象限
C. 1−zi+z是实数
D. 复数z−的实部大于虚部
10.已知平面向量a=(1, 3),b=(3, 3)，则下列说法正确的是( )
A. |a+b|=2 7B. b⋅(b−a)=6
C. a与b的夹角为π3D. a在b上的投影向量为12b
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为1，下列结论正确的是( )
A. 若b=1，则tanB的最大值为12B. 若b=1，则tanB的最大值为815
C. 若c=2b，则a的最小值为 2D. 若c=2b，则a的最小值为 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某社区有男性居民900名，女性居民600名，该社区卫生服务站为了解该社区居民的身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用等比例分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则样本中男性居民的人数为______．
13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinAcsC=12asinB，ab=6，则△ABC的面积为______．
14.已知复数z1=a(a−3i)，z2=−a+(a2+2)i(a2∈Z)，且|z1+z2|=2 10，则a= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足|z|2+(z+z−)i=5+4i．
(1)求z；
(2)若m∈R，ω=2iz+m.证明：|ω|≥4．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a−c)2−b2=−12ac．
(1)求csB；
(2)若b= 11，a+c=32b.求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润(单位：百元)进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前13的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由．
18.(本小题17分)
某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该停车场停车.两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时．
(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率；
(2)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率；
(3)甲、乙停车不超过半小时的概率分别为13，15，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为15，25，求甲、乙两人临时停车的费用不相同的概率．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanA=1−csBsinB．
(1)证明：B=2A．
(2)若b=4，求c的取值范围．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.ACD
10.ABD
11.BD
12.60
13.3 32
14.−1或3
15.解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，则z−=a−bi，
因为|z|2+(z+z−)i=5+4i，所以a2+b2+2ai=5+4i，
所以2a=4，即a=2，又因为4+b2=5，所以b=±1，
所以z=2+i或z=2−i；
(2)证明：由(1)知，ω=2i(2±i)+m，即ω=m±2+4i，
所以|ω|= (m±2)2+42≥ 42=4．
16.解：(1)在△ABC中，∵(a−c)2−b2=−12ac，
∴2accsB=32ac，
∴csB=34；
(2)△ABC中，由(1)得sinB= 1−cs2B= 74，
又b= 11，a+c=32b，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−2ac(1+csB)=94b2−72ac，
∴72ac=54b2=54×11=554，
∴ac=5514，
∴S△ABC=12acsinB=12×5514× 74=55 7112．
17.解：(1)由题意可知(0.005×2+0.015+m+0.025+0.03)×10=1，解得m=0.02，
设中位数为n，则0.05+0.15+0.2+(n−70)×0.025=0.5，解得n=74，所以中位数为74，
平均数为(45+95)×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.3=72.5．
(2)由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为(80−7810×0.25+0.3+0.05)×600=240，
方案二受到奖励的商家的个数为13×600=200，
因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多．
18.解：(1)由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同均为13，
且三段时间费用分别为0，3，6元，
故甲停车的费用不超过3元的概率为13+13=23．
(2)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b∈{0,3,6}，
所以甲、乙两人停车付费(a,b)的所有可能情况为：(0,0)，(0,3)，(0,6)，(3,0)，(3,3)，(3,6)，(6,0)，(6,3)，(6,6)，共9种，且概率相等，
其中事件“甲、乙两人停车付费之和为9元”包含(3,6)，(6,3)，共2种情况，
故甲、乙两人停车付费之和为9元的概率为29．
(3)设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别为事件A1，B1，
甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2，B2，
甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时、乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3，B3，
则P(A3)=1−P(A1)−P(A2)=1−13−15=715，
P(B3)=1−P(B1)−P(B2)=1−15−25=25，
所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)
=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)
=13×15+15×25+715×25=115+225+1475=13，
所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为1−13=23．
19.(1)证明：因为tanA=1−csBsinB，即sinAcsA=1−csBsinB，
所以sinAsinB+csAcsB=csA，
即cs(A−B)=csA，
在△ABC内，可得A−B=A，
即证得B=2A；
(2)解：因为b=4，
C=π−A−B=π−3A∈(0,π)，可得0B=2A∈(0,π)，可得0所以A∈(0,π3)，
可得csA∈(12,1)，
由正弦定理可得：bsinB=csinC，
即c=sinCsinB⋅4=sin3Asin2A⋅4=4⋅sin2AcsA+cs2AsinA2sinAcsA=4⋅2sinAcs2A+(2cs2A−1)sinA2sinAcsA
=8cs2A−2csA=8csA−2csA，
令t=csA∈(12,1)，
令f(t)=8t−2t，t∈(12,1)，
函数单调递增，
所以f(t)∈(0,6)．
即c的范围是(0,6)． 一周内课外阅读时间/小时
0
1
2
3
4
5
≥6
人数
3
10
20
17
20
23
7