数学5.2 平面直角坐标系单元测试随堂练习题

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（时间：120分，满分：120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果棋盘上的“第5列第2行”记作5,2，“第7列第5行”记作7,5，那么4,3表示（ ）
A．第3列第5行B．第5列第3行C．第4列第3行D．第3列第4行
【解析】解：由题意得：第4列第3行，
故选C．
2．点3,−4到x轴的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【解析】解：∵点3,−4，
∴点A(3,−4)到y轴的距离是−4=4，
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为(2，1)，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．(−2,−1)B．(2,−1)C．(−2,1)D．(2,1)
【解析】点P 2，1关于y轴的对称点的坐标是−2，1，
故选C．
4．已知P(a，b）满足ab=0，则点P在（ ）
A．坐标原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上
【解析】解：∵ab=0，
∴a=0或b=0，
∴点P在坐标轴上，
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，点P（1，−x2−2）一定在（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【解析】解：∵−x2≤0，
∴−x2−2<0，
∴点P（1，−x2−2）在第四象限．
故选：A．
6．重庆一中寄宿学校北楼，食堂，含弘楼的位置如图所示，如果北楼的位置用（-1，2）表示， 食堂的位置用（2，1）表示，那么含弘楼的位置表示成（ ）
A．（0,0）B．（0，4）C．（-2，0）D．（1，5）
【详解】由题意，坐标系的位置如图，

所以含弘楼的位置坐标为（-2,0）
故选C.
7．点A(1，2)先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是( )
A．(3，3)B．(－1，3)C．(－1，－1)D．(3，1)
【解析】原来点的横坐标是1，纵坐标是2，向右平移2个单位再向下平移1个单位得到新点的横坐标是1+2=3，纵坐标为2-1=1．
∴点A′的坐标是（3，1）．
故选D．
8.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0,1)，AC=2，则这种变换可以是( )
A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
【解析】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：A．
9．平面直角坐标原中，点A−3,2,B3,4,Cx,y，若AC//x轴．则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．6，−3,4B．3，3,0C．2，3,2D．1，4,2
【解析】解：如图所示：

由垂线段最短可知：当BC⊥AC时，BC有最小值．
∴点C的坐标为（3，2），线段的最小值为2．
故选：C．
10.有甲、乙、丙三个人，他们所处的位置不同，甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是(2,3).”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是(−3,−2).”若以乙为坐标原点，则甲、丙的坐标分别是(已知三人所建立的直角坐标系，x轴、y轴的正方向相同，且单位长度也相同)（ ）
A. (−3,−2)、(2,−3)B. (−3,2)、(2,3)
C. (−2,−3)、(3,2)D. (−3,−2)、(−2,−3)
【解析】解：以甲为坐标原点，乙的位置是(2,3)，则以乙为坐标原点，甲的位置是(−2,−3);
以丙为坐标原点，乙的位置是(−3,−2)，则以乙为坐标原点，丙的位置是(3,2)．
故选C．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11.画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A(6,60°)、B(5,180°)、C(4,330°)，则点D的坐标可以表示为______ ．
【解析】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，
∴点D的坐标为(3,150°)．
故答案为：(3,150°)．
12.中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧 攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 ．
【解析】解：由题意可建立如下平面直角坐标系，
∴“兵”的坐标是（-3，1），
故答案为：（-3，1）．
13.已知点P(a−1，a2−9)在y轴上，则点P的坐标为 ．
【解析】因为点P(a−1，a2−9)在y轴上，
所以a−1=0，即a=1，
所以点P的坐标为0，−8；
故答案为：0，−8．
在平面直角坐标系xOy中，把点Pa−1,5向左平移3个单位得到点Q2b,5，则a−2b+3的值为 ．
【详解】∵把点Pa−1,5向左平移3个单位得到点Q2b,5，
∴a−1−3=2b．
∴a−2b=4．
∴a−2b+3=4+3=7．
故答案是7．
15．如图，平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A−5,0，B0,−3，若将线段AB平移至线段A1B1，且A1−3,m，B12,1，则m的值为 ．
【解析】解：∵在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，
且A−5,0，B0,−3，A1−3,m，B12,1，
∴m−0=1−−3，
∴m=4，
故答案为：4．
16．若点Pa,b到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，且a+b<0，则点P的坐标是 ．
【解析】解：∵根据P(a,b)到x轴的距离为b ，到y轴的距离是a，
∴b=3，a=4，
∴a=±4,b=±3，
∵a+b<0，
∴a=−4，b=±3，
∴点P坐标为−4,−3或−4,3．
故答案：−4,−3或−4,3．
17．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ．
【解析】由题意，可利用勾股定理求出等边三角形的高为22−12=3，得到C点坐标为(2,3+1)，翻转，平移一次为C1(1,−3−1)
翻转，平移两次为C2(0,3+1)，
翻转，平移三次为C3(−1,−3−1)
…
故C点翻转，平移n次的坐标为Cn2−n,(−1)n⋅(3+1)
当n=2020时，C2020(−2018,3+1)，故答案为(-2018,3+1)
18．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1，1，第2次运动到点2，0，第3次运动到点3，2，…，按这样的运动规律，则第2023次运动到点 ．

【解析】第一次运动后的坐标为：1，1，
第二次运动后的坐标为：2，0，
第三次运动后的坐标为：3，2，
第四次运动后的坐标为：4，0，
第五次运动后的坐标为：5，1，
……
∴可以得出规律：点P的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0；
∵2023÷4=
∴P点的横坐标是运动次数即2023，纵坐标与第三次运动到达的点的纵坐标相同即2，
,∴第2023次运动后的坐标为：2023，2，
故答案为：2023，2．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19．（6分）已知平面直角坐标中有一点M(2-a，3a+6)，点M到两坐标轴的距离相等,求M的坐标.
【解析】∵点M的坐标为（2-a，3a+6），且点M到两坐标轴的距离相等，
∴2-a=3a+6或（2-a）+（3a+6）=0；
解得：a=-1或a=-4，
∴M点坐标为（3，3）或（6，-6）.
20.（6分）在平面直角坐标系中xOy中，已知点Mm−1,2m+4
(1)若点M在x轴上，求m的值；
(2)若点M在第二象限内，求m的取值范围．
【解析】（1）解：∵点M在x轴上，
∴2m+4=0，
∴m=−2；
（2）解：∵点M在第二象限内，
∴m−1<02m+4>0，
∴−221.（8分）如图，A（－1，0），C（1，4），点B在x轴上，且BC=5．
（1）求点B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【解析】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
可知D点坐标为（1,0），
∵BC=5，CD=4，
∴BD=52−42=3，
当B点在点D右侧时，B点坐标是（4,0），
当B点在点D左侧时，B点坐标是（-2,0）；
（2）当B点在点D右侧时，
S△ABC=12×AB×CD,
=12×5×4,
=10；
当B点在点D左侧时，
S△ABC=12×AB1×CD,
=12×1×4,
=2．

22．（8分）如图，长方形ABCD的长为6，宽为4．
(1)建立适当的平面直角坐标系，写出矩形ABCD各顶点的坐标；
(2)把矩形ABCD向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到矩形A1B1C1D1，写出点A1、B1、C1、D1的坐标．
【解析】解：(1)如图所示：以长方形两邻边所在的直线为坐标轴，建立坐标系，则A(0,4)，B(0,0)，C(6,0)，D(6,4)．
(2)长方形A1B1C1D1. 各顶点坐标如下：A1−5,3,B1−5,−1,C11,−1,D11,3
23．（8分）阅读材料：
在航海领域，我们经常用距离和角度来确定点的位置．规定如下：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度(有时也用r表示)，θ表示从Ox到OM的角度，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系称为极坐标系．通常情况下，点M的极径坐标的单位为1(单位长度)，极角坐标的单位为°(或rad).例如：如图①，点M到点O的距离为5个单位长度，OM与Ox的夹角为70°(Ox的逆时针方向)，则点M的极坐标为(5,70°)；同理，点N到点O的距离为3个单位长度，ON与Ox的夹角为50°(Ox的顺时针方向)，则点N的极坐标为(3,−50°)．
请根据以上信息，回答下列问题：
如图②，过点O的所有射线等分各圆的圆周且相邻两射线的夹角为15°．
(1)点A的极坐标是 ；点D的极坐标是 ．
(2)请在图②中标出点B(5,45°)、E(2,−90°)．
(3)想从点B运动到点C(所走路线必须在图②中的线上)，小明设计的一条路线为点B→(4,45°)→(3,45°)→(3,30°)→点C.请你设计一条与小明不同的路线，也可以从点B运动到点C．
【解析】(1)(4，75°) ;(3，-15°)
(2)如图所示．
(3)答案不唯一，如点B→(5，30°)→(5，15°)→(4，15°)→点C．
24．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,2,C3,4．
(1)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1；
(2)若小正方形的边长为1，试求△ACA1的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得PA+PB的值最小，请在坐标系中找出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标．
【解析】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，，
（2）△ACA1的面积为=12AA1×2=12×2×2=2．
（3）如图所示，连接A1B，与x轴交于点P，此时PA+PB的值最小,点P即为所求，P2,0．
25．（10分）阅读下列一段文字，然后回答问题．
已知平面内两点M(x1,y1)、N(x2,y2)，则这两点间的距离可用下列公式计算：MN= x1−x22+y1−y22．
例如：已知P(3,1)、Q(1,−2)，则这两点间的距离PQ= (3−1)2+(1+2)2= 13．
特别地，如果两点M(x1,y1)、N(x2,y2)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1−x2|或|y1−y2|.
(1)已知A(1,2)、B(−2,−3)，试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为−1，试求A、B两点间的距离；
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,4)、B(−1,2)、C(4,2)，你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
【解析】(1)AB= (1+2)2+(2+3)2= 34．
(2)AB＝5-(-1)＝6．
(3)△ABC为直角三角形．理由：
∵AB2＝(0+1)2+(4-2)2＝5，
AC2＝(0-4)2+(4-2)2＝20，BC2＝(-1-4)2+(2-2)2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a,0)，点D的坐标为(6,4)，将线段AD平移得到线段BC，使点B的坐标为(0,b)，且a、b满足|a−2|+ b+6=0，延长BC交x轴于点E．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，∠DAE= °.
(2)求点C和点E的坐标．
(3)设P是x轴上的一动点(不与点A、E重合)，且PA>AE，探究∠APC与∠PCB之间的数量关系．
【解析】(1)(2，0) ;(0，-6);45
(2)∵将线段AD平移得到线段BC，A(2，0)，B(0，-6)，D(6，4)，
∴易得点C的坐标为(4，-2)．
∵由平移的性质，可得AD// BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°．
∵∠EOB＝90°，
∴∠OBE＝45°＝∠BEO．
∴OB＝OE．
∴点E的坐标为(6，0)．
(3)①如图①，当点P在点A的左侧时．
∵∠PCB＝∠APC+∠PEC，∠PEC＝45°，
∴∠PCB-∠APC＝45°．
②当点P在点A、E中间时，PA＜AE，不符合题意．
③如图②，当点P在点E的右侧时，连接BP．
∵∠PCB＝∠PEC+∠APC，∠PEC＝180°-∠AEB＝180°-45°＝135°，
∴∠PCB-∠APC＝135°．
综上所述，∠PCB-∠APC＝45°或∠PCB-∠APC＝135°．