人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题，共9页。试卷主要包含了已知a＝，b＝，且∥，则等内容，欢迎下载使用。
基础篇

1．(5分)已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OA,\s\up6(→))或eq \(OB,\s\up6(→))
2.(5分)已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
3．(5分)已 知a ＝ (1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
4.(5分)若eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，6，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq \(AB,\s\up6(→))，a⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则a＝________.
5．(5分)(多选)已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝eq \f(1,3) B．x＝eq \f(1,2)
C．y＝－eq \f(1,4) D．y＝－4
6．(5分)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则“eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(5分)已知a＝(cs α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cs α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
8．(5分)设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )
A.eq \f(\r(53),4) B.eq \f(53,2)
C.eq \f(\r(53),2) D.eq \f(\r(13),2)
9.(5分)若(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－5b)，则a与b的夹角的余弦值为________．
提升篇
10．(5分)(多选)点A (n，n－1，2n)，B(1，－n，n)，则 |eq \(AB,\s\up6(→))|的可能取值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C．1 D．2
11．(5分)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，则向量eq \(OC,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))
12．(5分)已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.eq \r(65) B.eq \f(\r(65),2)
C．4 D．8
13.(5分)已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
14.(5分)已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________.
15.(10分)已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
16.(10分)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
1.2-1.3 空间向量基本定理及其运算的坐标表示（练习）
(60分钟 90分)
基础篇

1．(5分)已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OA,\s\up6(→))或eq \(OB,\s\up6(→))
C 解析：因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，eq \(OC,\s\up6(→))与a，b共面，
所以a，b，eq \(OC,\s\up6(→))不能构成空间的基底．
2.(5分)已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
3a＋3b－5c 解析：因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))，
所以两式相加得2eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋(eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))．
因为E为AC中点，故eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝0，同理eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝0，
所以2eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝6a＋6b－10c，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝3a＋3b－5c.
3．(5分)已 知a ＝ (1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
A 解析：b＝a－(－1，2，－1)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．
4.(5分)若eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，6，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq \(AB,\s\up6(→))，a⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则a＝________.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,13)，\f(4,13)，\f(12,13)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,13)，－\f(4,13)，－\f(12,13)))
解析：设a＝(x，y，z)，
由题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·\(AB,\s\up6(→))＝0，,a·\(AC,\s\up6(→))＝0，,|a|＝1，))代入坐标可解得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,13)，,y＝\f(4,13)，,z＝\f(12,13)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,13)，,y＝－\f(4,13)，,z＝－\f(12,13).))
5．(5分)(多选)已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝eq \f(1,3) B．x＝eq \f(1,2)
C．y＝－eq \f(1,4) D．y＝－4
BD 解析：因为a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－4.
6．(5分)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则“eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：设eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0，0，0)，虽有a∥b成立，但条件eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.
7．(5分)已知a＝(cs α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cs α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
A 解析：a＋b＝(cs α＋sin α，2，sin α＋cs α)，
a－b＝(cs α－sin α，0，sin α－cs α)，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，
所以(a＋b)⊥(a－b)．
8．(5分)设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )
A.eq \f(\r(53),4) B.eq \f(53,2)
C.eq \f(\r(53),2) D.eq \f(\r(13),2)
C 解析：AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3))，所以eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)，3))，故|CM|＝|eq \(CM,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(\r(53),2).
9.(5分)若(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－5b)，则a与b的夹角的余弦值为________．
1 解析：由题意知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－5a·b＋21a·b－15|b|2＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，①且(a－4b)·(7a－5b)＝7|a|2－33a·b＋20|b|2＝0，②
①－②得49a·b＝35|b|2，所以a·b＝eq \f(35,49)|b|2.
33×①＋16×②得|a|2＝eq \f(25,49)|b|2，所以eq \f(|b|,|a|)＝eq \f(7,5).
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(35,49)|b|2,|a||b|)＝eq \f(35,49)·eq \f(|b|,|a|)＝1.
提升篇
10．(5分)(多选)点A (n，n－1，2n)，B(1，－n，n)，则 |eq \(AB,\s\up6(→))|的可能取值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C．1 D．2
BCD 解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(1－n，1－2n，－n)，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)，
当n＝eq \f(1,2)时，|eq \(AB,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(2),2).
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))的可能取值有eq \f(\r(2),2)，1，2.
11．(5分)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，则向量eq \(OC,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))
A 解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(6,5)a－eq \f(4,5)b－eq \f(8,5)c，所以向量eq \(OC,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))，故选A.
12．(5分)已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.eq \r(65) B.eq \f(\r(65),2)
C．4 D．8
A 解析：设向量a，b的夹角为θ，
于是cs θ＝eq \f(4－2＋2,3×3)＝eq \f(4,9).由此可得sin θ＝eq \f(\r(65),9).
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为
S＝2×eq \f(1,2)×3×3×eq \f(\r(65),9)＝eq \r(65).
13.(5分)已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
eq \f(3\r(5),5) 解析：由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．
所以|b－a|＝eq \r(（1＋t）2＋（2t－1）2＋02)
＝eq \r(5t2－2t＋2)＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,5)))\s\up12(2)＋\f(9,5)).
所以当t＝eq \f(1,5)时，|b－a|的最小值为eq \f(3\r(5),5).
14.(5分)已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________.
11 解析：因为点P在平面ABC内，
所以存在实数k1，k2，
使eq \(AP,\s\up6(→))＝k1eq \(AB,\s\up6(→))＋k2eq \(AC,\s\up6(→))，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k1＋6k2＝－2，,k1＋4k2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－4，,k2＝1.))
所以x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
15.(10分)已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
解：ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以eq \f(k－2,7)＝eq \f(5k＋3,－4)＝eq \f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq \f(1,3).
(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，
所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，
解得k＝eq \f(106,3).
16.(10分)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解：(1)eq \(D1B,\s\up6(→))＝eq \(D1D,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝－eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(D1A,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a－c)．
(2)eq \(D1F,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(D1D,\s\up6(→))＋eq \(D1B,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(－eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(D1B,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(－c＋a－b－c)
＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－1.