[数学]浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高一下学期期末质量调研卷试题（解析版）

这是一份[数学]浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高一下学期期末质量调研卷试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因，所以的虚部为.
故选：D.
2. P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】由，可得，
即，即，
将等式两边平方，化简得，∴，
即，因此，是直角三角形.
故选：B．
3. 在中，若，，，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由向量平行四边形法则，知当时，，
又，，
故，，则，所以．
故选：B.
4. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，
如果，则，故充分性成立；
反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
5. 设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A，当，时，满足，但，选项A错误；
对于B，当时，，则与不一定平行，选项B错误；
对于C，由，
则，即，
所以，所以与同向，即，选项C正确；
对于D，若，则，所以，
不能得出，选项D错误．
故选：C.
6. 已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，，
则由三线合一可知，
所以二面角的平面角为，
取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面，
且，其中为四面体外接球的半径，
过点作垂直平面，垂足为点，
由对称性可知点必定落在的延长线上面，
由几何关系，设，
而由正弦定理边角互换得，
进而，
由勾股定理得，
从而，
，
所以，，
所以由得，，解得，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：B.
7. 某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，.记两个班总成绩的方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设两个班的平均分分别为，，两个班的总的平均分为，
则
.
故选：B.
8. 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，
容易求得，，
取的中点，连接，易得，则，
所以多面体的体积
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则在复平面内对应的点在一条直线上
【答案】AD
【解析】对于A：设，若，则，故，
必有，A正确；
对于B：若，，则有，但，B错误；
对于C：若，，则有，但，C错误；
对于D：设复数，在复平面内对应的点为和，
若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，
故在复平面内对应的点在一条直线上，D正确.
故选：AD.
10. 已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量的模长为
【答案】BD
【解析】由题意可知：为中点，则，
以为原点，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设
由，可得，
即是中点，，故选项正确；
，故选项错误；
又因为则，故选项错误；
易知在方向上的投影向量的模长为
，故选项D正确．
故选：BD.
11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ）
A. 存在点P，使得平面B. 对任意点P，平面平面
C. 两条异面直线和所成的角为D. 点到直线的距离为4
【答案】ABD
【解析】A：当与重合时，由题可知，
，
四边形为平行四边形，故，又平面，平面，
则平面，故A正确；
B：连接，平面，平面，，
又，
故，
又平面，平面，
又平面，故对任意点P，平面平面，故B正确；
C：由正方体的结构特征可知，
异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为，故C错误；
D：由正方体的特征可得，
，
所以点到直线的距离，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．
【答案】
【解析】首先从中任取两个小球有共个基本事件，
取出的小球中至少有一个号码为奇数有共个基本事件，
所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为.
故答案为：.
13. 在中，角的对边分别为，已知．则角______.
【答案】
【解析】由正弦定理及二倍角公式得：
，
因为在中，，
，
即，
即，
因为在中，，
所以，所以.
故答案为：.
14. 位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）
【答案】310
【解析】设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，
所以，在中，，所以，
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得，所以，
则，
所以米.
故答案为：310.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
解：（1）由，
得，
，
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是.
16. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若的周长为20，面积为，求边c．
解：（1），
由正弦定理，得，
，
，又，得，
所以，即，
由，解得.
（2）由（1），得，则，
由余弦定理，得，即，
得，又，
所以，即，
即，解得.
17. 2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
解：（1）由频率分布直方图可知，
成绩在内的频率为，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为人.
（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
所以成绩在分以下的学生所占的比例为，
成绩在分以下的学生所占的比例为，
所以成绩的分位数一定在内，即，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为.
（3）因为，，，
所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，
其中有人为航天达人，设为，
有人不是航天达人，设为，
则从6人中选择2人作为学生代表，
有，
共种，
其中2人均为航天达人为共种，
所以被选中的2人均为航天达人的概率为．
18. 如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．
（1）求证：；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
解：（1）连接BD，DE，设，则，
取AB的中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，故，
得，∴，∴，
同理可得，，又面BDE，
∴面BDE，又面BDE，.
（2）由（1）知，
又∵，∴，
由，得，
又∵，面ABCD，∴面ABCD，
过点D作交AB于点M，连接EM，
因为面ABCD，所以，
又因为，且面DEM，
则面DEM，又面ABE，∴面面ABE，
过点D作交EM于点N，连接AN，
∴就是直线AD与面ABE所成的线面角，
∵面面ADE，∴就是直线AD与面CDF所成的线面角，
∵，又，，∴，
又，∴，
即直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值为.
19. 如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥体积的最大值．
解：（1）为圆柱的母线，平面，
又平面，①
是下底面圆的直径，，②
①②及平面，平面，
平面，又平面平面平面．
（2）在中，设，则，
，
当且仅当时，不等式取“=”号，
故最大值为18．