【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第04讲指数函数、对数函数、幂函数(原卷版+解析)

这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第04讲指数函数、对数函数、幂函数(原卷版+解析)，共51页。

1、掌握5个幂函数的图象和性质。
2、掌握指数的运算性质，理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化。
3、能画出具体的指数函数的图象，掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小。
4、理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数运算。
5、理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化。
6、了解对数函数的概念，能结合图象分析对数函数的性质。
【考点目录】
【基础知识】
知识点一、根式的概念和运算法则
1、次方根的定义：
若，则称为的次方根．
为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．
为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．
2、两个等式
（1）当且时，；
（2）
知识点二、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
知识点三、有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的运算性质
（1）
（2）
（3）
当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．
2、指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．
知识点四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；
②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
知识点五、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
知识点六、指数函数的图象及性质：
知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
知识点八、对数概念
1、对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．
知识点诠释：
对数式中各字母的取值范围是：且，，．
2、对数（且）具有下列性质：
（1）0和负数没有对数，即；
（2）1的对数为0，即；
（3）底的对数等于1，即．
3、两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．
4、对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
知识点九、对数的运算法则
已知，（且，、）
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
知识点十、对数公式
1、对数恒等式：
2、换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，则有，，即，即，即：．
（2），令，则有，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．
知识点十一、对数函数的图象与性质
知识点十二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点十三、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点十四、幂函数的图象及性质
1、作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2、作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3、幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4、幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【考点剖析】
考点一：指数运算
例1．(2023·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；
（2）计算：．
例2．(2023·吉林延边·高一期末）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
例3．(2023·江苏连云港·高一期末）计算：（1）
（2）解不等式：
考点二：指数函数图像与性质
例4．(2023·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
例5．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023·安徽合肥·高一期末）已知函数为奇函数，.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
例7．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
例8．(2023·广东惠州·高一期末）设函数．
(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；
(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．
考点三：对数运算
例9．(2023·上海长宁·高一期末）已知，，用，表示_____．
例10．(2023·江苏南通·高一期末）的值为______.
例11．(2023·吉林·农安县教师进修学校高一期末）计算______.
例12．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）方程的解为___________．
考点四：对数函数图像与性质
例13．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：
①与互为反函数，其图像关于对称;
②已知函数，则;
③当，且时，函数必过定点；
④已知，且，则实数.
上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
例14．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.
例15．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．
例16．(2023·天津南开·高一期末）已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
例17．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
考点五：指对幂比较大小
例18．(2023·江苏连云港·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例19．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例20．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
例21．(2023·贵州六盘水·高一期末）在，，，四个数中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
考点六：幂函数
例22．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
例23．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
例24．(2023·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，.
(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
例25．(2023·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数为偶函数
(1)求幂函数的解析式；
(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.
【真题演练】
1．（2023·天津·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
3．（2023·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
4．（2023·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a5．（2023·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
8．（2023·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，则有（ ）
A．最小值B．最大值
C．最小值D．最大值
3．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·山东枣庄·高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·陕西西安·高一阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·江苏连云港·高一期末）假若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（ ）（）
A．7B．8C．9D．10
8．(2023·江苏连云港·高一期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·广东·广州市第二中学高一阶段练习）下列运算中，正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．(2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·山东枣庄·高一期中）下列函数中，满足对，都有的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，设的图象为曲线，则（ ）
A．曲线是中心对称图形
B．曲线是轴对称图形
C．在上为增函数
D．在上为减函数
三、填空题
13．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________.
14．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）函数的值域为___________.
15．(2023·福建省华安县第一中学高一阶段练习）设函数，则使得成立的的取值范围是___________
16．(2023·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
17．(2023·江苏·南京田家炳高级中学高一阶段练习）计算：
(1)；
(2)
18．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数是上的奇函数（为常数）.
(1)求的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
19．(2023·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；
20．(2023·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知
(1)若，判断的奇偶性并予以证明；
(2)若，判断的单调性（不用证明）；
(3)在（2）条件下求不等式的解集．
21．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知，，为实数，
(1)当时，求函数的最大值；
(2)求函数的最大值的解析式；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．(2023·安徽·合肥世界外国语学校高一阶段练习）已知．
(1)解不等式：；
(2)记，求函数的最小值．
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
第04讲 指数函数、对数函数、幂函数
【学习目标】
1、掌握5个幂函数的图象和性质。
2、掌握指数的运算性质，理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化。
3、能画出具体的指数函数的图象，掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小。
4、理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数运算。
5、理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化。
6、了解对数函数的概念，能结合图象分析对数函数的性质。
【考点目录】
【基础知识】
知识点一、根式的概念和运算法则
1、次方根的定义：
若，则称为的次方根．
为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．
为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．
2、两个等式
（1）当且时，；
（2）
知识点二、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
知识点三、有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的运算性质
（1）
（2）
（3）
当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．
2、指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．
知识点四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；
②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
知识点五、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
知识点六、指数函数的图象及性质：
知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
知识点八、对数概念
1、对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．
知识点诠释：
对数式中各字母的取值范围是：且，，．
2、对数（且）具有下列性质：
（1）0和负数没有对数，即；
（2）1的对数为0，即；
（3）底的对数等于1，即．
3、两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．
4、对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
知识点九、对数的运算法则
已知，（且，、）
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
知识点十、对数公式
1、对数恒等式：
2、换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，则有，，即，即，即：．
（2），令，则有，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．
知识点十一、对数函数的图象与性质
知识点十二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点十三、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点十四、幂函数的图象及性质
1、作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2、作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3、幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4、幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【考点剖析】
考点一：指数运算
例1．(2023·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；
（2）计算：．
【解析】（1）
（2）原式
例2．(2023·吉林延边·高一期末）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【解析】（1），所以
（2），所以；
，所以
例3．(2023·江苏连云港·高一期末）计算：（1）
（2）解不等式：
【解析】（1）
（2）由，得
又因为是增函数，，解得.
所以解集为
考点二：指数函数图像与性质
例4．(2023·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为函数的定义域为，，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；
当时，，当时，，排除C．
故选：D．
例5．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】令，解得，
所以当时，，
所以函数过定点.
故选：B
例6．(2023·安徽合肥·高一期末）已知函数为奇函数，.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数定义域为.因为函数为奇函数，
所以有，即.
又，
则，
所以，.
（2）由（1）知，.
任取，不妨设 ，
，
∵，∴，∴.
又，，
∴，
即，
∴函数是上的增函数.
（3）因为，函数为奇函数，
所以等价于，
∵是上的单调增函数，
∴，即恒成立，
∴，
解得.
例7．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由已知可得的定义域为，任取，且，则，因为，，，所以，即，所以在上是单调递增函数．
（2），令，则当时，，所以．令，，则只需．当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；当即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．综上，实数的取值范围是．
例8．(2023·广东惠州·高一期末）设函数．
(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；
(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．
【解析】（1） 的图象关于原点对称，
为奇函数，
，
，
即，．所以，所以，
令，
则，
，又，
，解得，即，
所以函数的零点为．
（2）因为，，
令，则，，，
对称轴，
当，即时，，；
②当，即时，，（舍；
综上：实数的值为．
考点三：对数运算
例9．(2023·上海长宁·高一期末）已知，，用，表示_____．
答案：
【解析】由题意，
故答案为：．
例10．(2023·江苏南通·高一期末）的值为______.
答案：11
【解析】原式．
故答案为：11．
例11．(2023·吉林·农安县教师进修学校高一期末）计算______.
答案：7
【解析】
.
故答案为：7.
例12．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）方程的解为___________．
答案：
【解析】由得，且，，
即，所以，解得或，
检验：当，，不满足真数大于0，故舍去，
当，，
所以方程的解为：．
故答案为：
考点四：对数函数图像与性质
例13．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：
①与互为反函数，其图像关于对称;
②已知函数，则;
③当，且时，函数必过定点；
④已知，且，则实数.
上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
答案：①③
【解析】对于①，因为与互为反函数，其图像关于对称；所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题①正确；
对于②，因为，所以令，得，故命题②错误；
对于③，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题③正确；
对于④，因为，所以，
所以，
故由得，即，即，
所以，故命题④错误.
故答案为：①③.
例14．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.
答案：
【解析】由题意得为正常数，令，则，
且，解得，
原不等式为，可得，解得，
故答案为：
例15．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．
答案：2
【解析】因为已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，
所以与互为反函数，所以.
所以.
故答案为：2
例16．(2023·天津南开·高一期末）已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【解析】（1）由得：，的定义域为.
（2）令，在上单调递增；在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递增区间为；单调递减区间为，
，，
的值域为.
例17．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解析】（1）因为函数过点，
即，
解得，
故；
（2）因为是复合函数，设，，
，在区间单调递增，单调递增，
故函数在区间上单调递增，，
由题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，，只需即可，
因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，
故在单调递减，
故，
故.
考点五：指对幂比较大小
例18．(2023·江苏连云港·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，，
故.
故选：B
例19．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在同一直角坐标系中画出的图象如下：
所以．
故选：A．
例20．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，，，
所以.
故选：D.
例21．(2023·贵州六盘水·高一期末）在，，，四个数中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，，
，，
所以四个数中最大的是，
故选：A.
考点六：幂函数
例22．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
答案：
【解析】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
例23．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
【解析】（1）因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
（2）由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，
所以函数在的值域为.
例24．(2023·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，.
(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
【解析】（1）由，得且，解得，；
所以方程的解集为
（2）由已知得.
（3）函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
例25．(2023·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数为偶函数
(1)求幂函数的解析式；
(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意有：，
解得或；
又函数为偶函数，则，
所以.
（2）；
由题知：或，
所以或.
【真题演练】
1．（2023·天津·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：C
【解析】，，
.
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
答案：C
【解析】由，当时，，
则.
故选：C.
3．（2023·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
答案：B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
4．（2023·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a答案：A
【解析】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
5．（2023·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
6．(2023·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，故.
故答案为：C.
7．(2023·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
答案：C
【解析】因为，，即，所以．
故选：C.
8．（2023·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
9．（2023·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，即.
故选：C.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为
，即，
又因为，因此，.
故选：D.
2．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，则有（ ）
A．最小值B．最大值
C．最小值D．最大值
答案：B
【解析】，令，，
任取、且，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增，故当时，，
所以，，
又因为函数为减函数，故，
故选：B.
3．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，，
.
故选：C
4．(2023·山东枣庄·高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】A.，故A错误；B.，故B错误；
C.，故C错误；D. ，故D正确.
故选：D
5．(2023·陕西西安·高一阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】内层函数在区间单调递减 ，在单调递增，
外层函数为减函数，
所以函数的单调递减区间是，
故选：C
6．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】依题意在上恒成立且，
又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.
故选：B
7．(2023·江苏连云港·高一期末）假若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（ ）（）
A．7B．8C．9D．10
答案：D
【解析】设经过x年国民经济生产总值是现在的两倍，现在的国民经济生产总值是a.
根据题意，得 ，即 ，则≈≈10.
所以约经过10年国民经济生产总值是现在的两倍．
故选：D．
8．(2023·江苏连云港·高一期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，
令（），则（），
要想方程有实数解只需与有交点即可；
设，当时，单调递增，所以，
即时，解得：，
故a的取值范围是为：.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·广东·广州市第二中学高一阶段练习）下列运算中，正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：AB
【解析】对于A，，A正确；
对于B，因，则，B正确；
对于C，因，则，C不正确；
对于D，当时，成立，但无意义，D不正确.
故选：AB
10．(2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】两边平方得：，
所以，A正确；
，
因为的大小不确定，所以，B正确；
，
因为，所以，C错误；
由立方和公式可得：
，
D正确.
故选：ABD
11．(2023·山东枣庄·高一期中）下列函数中，满足对，都有的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】由题意可知：当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线，
对于A，函数在第一象限的图象是一条凹形曲线，故当时，
，故选项A满足；
对于B，函数的图象在第一象限是凹形曲线，故当时，
，故选项B满足；
对于C，函数的图象在第一象限是凸形曲线，故当时，
，故选项C不满足；
对于D，函数的图象在第一象限是凹形曲线，故当时，
，故选项D满足；
综上，满足条件的是ABD，
故选：ABD.
12．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，设的图象为曲线，则（ ）
A．曲线是中心对称图形
B．曲线是轴对称图形
C．在上为增函数
D．在上为减函数
答案：BD
【解析】函数的定义域为，
，令，有，
，显然，，
即函数是定义域上的偶函数，其图象关于y轴对称，
令，，，
，因，则，即，
因此，即，函数在上单调递减，
而函数在上单调递减，于是得函数在上单调递减，
在上单调递增，函数的图象不是中心对称图形，
显然函数的图象向右平移2个单位得函数的图象，
因此函数的图象不是中心对称图形，是轴对称图形，对称轴为，A不正确，B正确；
由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，D正确；
由函数在上单调递增，得函数在上单调递增，C不正确.
故选：BD
三、填空题
13．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________.
答案：125
【解析】函数，由，
当，即时，，点的坐标是．
幂函数的图像过点，所以，解得；
所以幂函数为，则．
故答案为：125
14．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）函数的值域为___________.
答案：
【解析】函数的定义域为R.
因为，
令，则.
又函数在上单调递增，
所以在上，有恒成立.
所以函数的值域为.
故答案为：.
15．(2023·福建省华安县第一中学高一阶段练习）设函数，则使得成立的的取值范围是___________
答案：
【解析】的定义域是，
，是偶函数，
时，设，
，，，从而，
所以，即，是增函数，
不等式化为，
所以，，解得．
故答案为：
16．(2023·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________.
答案：
【解析】要使函数有意义，则有，
解得：，令，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递减，由复合函数的单调性可知：
函数在上单调递增，
又因为函数在区间内单调递增，
所以，则有，解得：，
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·江苏·南京田家炳高级中学高一阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【解析】（1）
（2）
18．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数是上的奇函数（为常数）.
(1)求的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因函数是上的奇函数，则有，解得，即，
，，即，，解得，
所以.
（2）由（1）知，在上单调递减，
而，
即，则，
依题意，存在，，当时，，
，当且仅当，即取等号，
又，因此当时，取得最大值，则，
所以实数的取值范围是.
19．(2023·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；
【解析】（1），定义域为
，函数是奇函数.
又在时是减函数，
故不等式等价于
即，又，∴
解得
故不等式的解集为.
（2）由题意知：时，与值域有交集.
时，是减函数 ∴，
当时，，时单调递减，，
∴ ∴
当时，，时单调递增，，显然不符合
综上：a的取值范围为
20．(2023·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知
(1)若，判断的奇偶性并予以证明；
(2)若，判断的单调性（不用证明）；
(3)在（2）条件下求不等式的解集．
【解析】（1）若，函数是奇函数．
证明：若，则.
由得，，
函数的定义域为，关于原点对称，
，
若，函数是奇函数．
（2）令.
在上单调递增，且，
当时，在上单调递增，
在上单调递增．
（3）由（2）知在上单调递增，
则由可得，
，即，解得.
所以，不等式的解集为.
21．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知，，为实数，
(1)当时，求函数的最大值；
(2)求函数的最大值的解析式；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，
因为，所以当时取得最大值，
的最大值为.
（2），
令，，
所以二次函数的对称轴为，
①当即时，时取最大值，；
②当即，时取最大值，；
③当即时，时取最大值，，
综上.
（3）对任意恒成立，仅需即可，
由（2）得，
当时，的对称轴为，所以，
当时，单调递减，所以，
综上，
所以.
22．(2023·安徽·合肥世界外国语学校高一阶段练习）已知．
(1)解不等式：；
(2)记，求函数的最小值．
【解析】（1），所以，不等式，
即，即，恒成立，
故，解得，即不等式的解集为．
（2），则，
令，则，当且仅当，时取等号，
则，
所以问题转化为求函数，的最小值，
因为对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，
所以，
所以函数的最小值为．
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，