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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第07讲向量运算(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第07讲向量运算(原卷版+解析)，共46页。
1、掌握平面向量的运算和探索其运算性质．
2、体会平面向量运算的作用．
【考点目录】
考点一：向量的加法运算
考点二：向量的减法运算
考点三：与向量的模有关的问题
考点四：向量的数乘运算
考点五：共线向量与三点共线问题
考点六：平面向量数量积的运算
考点七：平面向量模的问题
考点八：向量垂直（或夹角）问题
【基础知识】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点七： 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点十：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、，则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【考点剖析】
考点一：向量的加法运算
例1．(2023·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）等于（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·全国·高一课前预习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A．B．
C．D．
考点二：向量的减法运算
例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
例5．如图，已知向量，，求作向量．
考点三：与向量的模有关的问题
例6．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
例7．已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
例8．已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
考点四：向量的数乘运算
例9．计算下列各式：
（1）4（+）3（）；
（2）3（2+）（2+3）；
（3）．
例10．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
考点五：共线向量与三点共线问题
例11．设两非零向量和不共线，
（1）如果求证三点共线．
（2）试确定实数，使和共线．
例12．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p， ＝q，求证：＋＝1．
考点六：平面向量数量积的运算
例14．(2023·全国·高一课时练习）已知等边的边长为3，则________
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______．
例16．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）已知向量，，满足，，，，，则_________．
例17．已知，且向量与向量的夹角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
考点七：平面向量模的问题
例18．(2023·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．2C．D．4
例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夹角为120°，且，，则等于（ ）
A．2B．C．D．
例20．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．5
考点八：向量垂直（或夹角）问题
例21．已知，且向量在向量方向上的投影数量为．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
例22．已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
例23．(2023·全国·高一课时练习）若单位向量满足，且，则实数k的值为___________．
例24．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足，，与的夹角为，，则_______．
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
3．（2023·北京·高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
5．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________．
6．（2023·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________．
7．（2023·全国·高考真题（理））已知单位向量，的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
8．（2023·全国·高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
6．(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知非零向量、满足，且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
7．(2023·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·江苏·金沙中学高一期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（ ）
A．B．
C．5D．7
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
10．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A．B．C．4D．6
11．(2023·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·福建·福州黎明中学高一期末）已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则（ ）
A．与的夹角B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知向量的夹角为，，，则______．
14．(2023·全国·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
15．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为________．
16．(2023·北京师大附中高一期末）已知平面向量，，满足，且，则的值为________．
四、解答题
17．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知平面向量满足，且．
（1）求；
（2）若，求实数m的值．
18．(2023·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
19．(2023·全国·高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
20．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知向量､的夹角为，且，设，．
（1）求；
（2）试用来表示的值；
（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．
（1）若与垂直，求；
（2）若，求的最小值及对应的的值．
22．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）已知向量满足：，，．
（1）若，求在方向上的投影向量；
（2）求的最小值．
23．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）如图所示，在中，与相交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值．
第07讲 向量运算
【学习目标】
1、掌握平面向量的运算和探索其运算性质．
2、体会平面向量运算的作用．
【考点目录】
考点一：向量的加法运算
考点二：向量的减法运算
考点三：与向量的模有关的问题
考点四：向量的数乘运算
考点五：共线向量与三点共线问题
考点六：平面向量数量积的运算
考点七：平面向量模的问题
考点八：向量垂直（或夹角）问题
【基础知识】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点七： 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点十：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、，则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【考点剖析】
考点一：向量的加法运算
例1．(2023·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
故选：B
例2．(2023·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由,
故选：A
例3．(2023·全国·高一课前预习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】.
故选：B
考点二：向量的减法运算
例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
答案：B
【解析】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形一定是梯形．
故选：B．
例5．如图，已知向量，，求作向量．
【解析】
解：（1）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
（2）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
考点三：与向量的模有关的问题
例6．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，
∴|++|的最大值为6．
（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．
∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，
∴，，
于是，
∴．
例7．已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
答案：C
【解析】
解：由，得，即，
所以，即，故选：C．
例8．已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
【解析】 如图，，，则．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．
由于．
故，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．
考点四：向量的数乘运算
例9．计算下列各式：
（1）4（+）3（）；
（2）3（2+）（2+3）；
（3）．
【解析】 （1）原式=43+4+3=+7．
（2）原式=36+32+3=7+6．
（3）原式
．
例10．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
【解析】在中
考点五：共线向量与三点共线问题
例11．设两非零向量和不共线，
（1）如果求证三点共线．
（2）试确定实数，使和共线．
【解析】（1）证明
共线，又有公共点，
∴三点共线．
（2）解 ∵ 和 共线，
∴存在，使，
则由于 和不共线，
只能有 则．
例12．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
【解析】
因为向量，，
所以
要使与共线，则应有实数，使，
即，
即得．
故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线．
例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p， ＝q，求证：＋＝1．
【解析】
因为A，M，D三点共线，
所以，
因为B，M，C三点共线，
所以，
解得，
所以，
因为＝p， ＝q，
所以．
因为共线，
所以，即，
所以＋＝1．
考点六：平面向量数量积的运算
例14．(2023·全国·高一课时练习）已知等边的边长为3，则________
答案：
【解析】.
故答案为：
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______.
答案：-268
【解析】.
故答案为：
例16．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）已知向量，，满足，，，，，则_________.
答案：6
【解析】由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，得.
故答案为：.
例17．已知，且向量与向量的夹角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
【解析】
解：
；
（2）设与向量方向相同的单位向量为，则．
向量在向量上的投影为：
，
所以向量在向量上的投影向量为．
考点七：平面向量模的问题
例18．(2023·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．2C．D．4
答案：B
【解析】因为，，，
所以，
故选：B
例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夹角为120°，且，，则等于（ ）
A．2B．C．D．
答案：D
【解析】因为的夹角为120°，且，，
所以，
所以
.
故选：D
例20．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．5
答案：C
【解析】由，可得，则，
将，代入可得：，可得：，
则，
故选：C.
考点八：向量垂直（或夹角）问题
例21．已知，且向量在向量方向上的投影数量为．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
【解析】
（1）因为，所以．
又在方向上的投影数量为，
所以，
所以，所以．
（2）．
（3）因为与互相垂直，
所以，
所以，所以．
例22．已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
【解析】
（1），
，，
设与的夹角为，则．
又，
；
（2），，
．，
又．，
设与的夹角为，
则．
即与的夹角的余弦值为．
例23．(2023·全国·高一课时练习）若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.
答案：6
【解析】因为，所以，因为，所以，
即，又是单位向量，所以，即.
故答案为：
例24．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．
答案：2
【解析】因为，所以，即.
又，,与的夹角为，则，
所以．
故答案为：2.
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【解析】∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
3．（2023·北京·高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
4．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
答案：
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
5．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
答案：
【解析】∵
∴
∴.
故答案为：.
6．（2023·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
7．（2023·全国·高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
答案：
【解析】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
8．（2023·全国·高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
答案：.
【解析】因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对于A，，故错误；
对于B，，故错误；
对于C，，故错误；
对于D，，故正确；
故选：D
2．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或；
若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行．
综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件．
故选：B．
3．(2023·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，，
所以，
所以，
故选：A
4．(2023·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，，
即，
即，
又，
，
解得，，
所以.
故选：C
5．(2023·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【解析】因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
6．(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知非零向量、满足，且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
答案：D
【解析】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由， 的角平分线与垂直，
为等腰三角形，且，
且，
，又，
，
，
三角形为等边三角形．
故选：D．
7．(2023·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
8．(2023·江苏·金沙中学高一期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（ ）
A．B．
C．5D．7
答案：D
【解析】由题图知：，，，
所以，
由，，故.
故选：D
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
答案：BC
【解析】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
10．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A．B．C．4D．6
答案：AD
【解析】
根据数量积的几何意义，可以看作和在上的投影向量的模的乘积，
因为，所以当点在点处时数量积最小，最小为；
当点在点处时数量积最大，最大为.
故选：AD.
11．(2023·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
12．(2023·福建·福州黎明中学高一期末）已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则（ ）
A．与的夹角B．
C．D．
答案：AD
【解析】因为,所以.
设，因为与的夹角为锐角，所以.
所以，所以x>0.
因为，，为位向量,所以.
又所以.
所以，又,所以
即，解得：.
所以.
对于A：
设与的夹角为,为锐角.
则，所以.故A正确；
对于 B：由A的推导可知：.故B错误；
对于C：因为，
所以
故C错误；
对于D：因为，
所以
.
故D正确.
故选：AD
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知向量的夹角为，，，则______．
答案：
【解析】因为向量的夹角为，，，
所以，
因此，，
故答案为：.
14．(2023·全国·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
答案：
【解析】取边的中点，连接，如图所示，
因为，即，所以，即点为的中点，所以.
故答案为：
15．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为________．
答案：
【解析】由于，，与的夹角为，则
则在上的投影为：.
故答案为：.
16．(2023·北京师大附中高一期末）已知平面向量，，满足，且，则的值为________.
答案：
【解析】因为，所以，两边平方可得，
又，
所以，
故答案为：
四、解答题
17．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知平面向量满足，且．
(1)求；
(2)若，求实数m的值．
【解析】（1）由，平方得，
∵，∴，∴，
∴，
∴；
（2）∵，
又∵，∴，
化简得，
∴．
18．(2023·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；
(2)求；
(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【解析】（1）因为，，
所以，
又因，所以；
（2）；
（3）当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得.
19．(2023·全国·高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
【解析】证明：因为在中，D，F分别是边BC，AC的中点，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
又与有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
20．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知向量､的夹角为，且，设，.
(1)求；
(2)试用来表示的值；
(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
【解析】（1）.
（2）
.
（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.
其中，而，
于是实数的取值范围是.
21．(2023·全国·高一课时练习）已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值.
【解析】（1）因为与垂直，
所以，
所以，，
所以，
；
（2）
，
所以时，取得最小值．
22．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
【解析】（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：
；
（2）
又，，
所以
令
所以
所以当时，取到最小值为
23．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）如图所示，在中，与相交于点.
(1)用和分别表示和；
(2)若，求实数和的值.
【解析】（1）由，可得.
（2）（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即.
1、掌握平面向量的运算和探索其运算性质．
2、体会平面向量运算的作用．
【考点目录】
考点一：向量的加法运算
考点二：向量的减法运算
考点三：与向量的模有关的问题
考点四：向量的数乘运算
考点五：共线向量与三点共线问题
考点六：平面向量数量积的运算
考点七：平面向量模的问题
考点八：向量垂直（或夹角）问题
【基础知识】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点七： 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点十：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、，则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【考点剖析】
考点一：向量的加法运算
例1．(2023·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）等于（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·全国·高一课前预习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A．B．
C．D．
考点二：向量的减法运算
例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
例5．如图，已知向量，，求作向量．
考点三：与向量的模有关的问题
例6．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
例7．已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
例8．已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
考点四：向量的数乘运算
例9．计算下列各式：
（1）4（+）3（）；
（2）3（2+）（2+3）；
（3）．
例10．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
考点五：共线向量与三点共线问题
例11．设两非零向量和不共线，
（1）如果求证三点共线．
（2）试确定实数，使和共线．
例12．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p， ＝q，求证：＋＝1．
考点六：平面向量数量积的运算
例14．(2023·全国·高一课时练习）已知等边的边长为3，则________
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______．
例16．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）已知向量，，满足，，，，，则_________．
例17．已知，且向量与向量的夹角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
考点七：平面向量模的问题
例18．(2023·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．2C．D．4
例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夹角为120°，且，，则等于（ ）
A．2B．C．D．
例20．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．5
考点八：向量垂直（或夹角）问题
例21．已知，且向量在向量方向上的投影数量为．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
例22．已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
例23．(2023·全国·高一课时练习）若单位向量满足，且，则实数k的值为___________．
例24．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足，，与的夹角为，，则_______．
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
3．（2023·北京·高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
5．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________．
6．（2023·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________．
7．（2023·全国·高考真题（理））已知单位向量，的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
8．（2023·全国·高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
6．(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知非零向量、满足，且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
7．(2023·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·江苏·金沙中学高一期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（ ）
A．B．
C．5D．7
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
10．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A．B．C．4D．6
11．(2023·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·福建·福州黎明中学高一期末）已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则（ ）
A．与的夹角B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知向量的夹角为，，，则______．
14．(2023·全国·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
15．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为________．
16．(2023·北京师大附中高一期末）已知平面向量，，满足，且，则的值为________．
四、解答题
17．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知平面向量满足，且．
（1）求；
（2）若，求实数m的值．
18．(2023·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
19．(2023·全国·高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
20．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知向量､的夹角为，且，设，．
（1）求；
（2）试用来表示的值；
（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．
（1）若与垂直，求；
（2）若，求的最小值及对应的的值．
22．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）已知向量满足：，，．
（1）若，求在方向上的投影向量；
（2）求的最小值．
23．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）如图所示，在中，与相交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值．
第07讲 向量运算
【学习目标】
1、掌握平面向量的运算和探索其运算性质．
2、体会平面向量运算的作用．
【考点目录】
考点一：向量的加法运算
考点二：向量的减法运算
考点三：与向量的模有关的问题
考点四：向量的数乘运算
考点五：共线向量与三点共线问题
考点六：平面向量数量积的运算
考点七：平面向量模的问题
考点八：向量垂直（或夹角）问题
【基础知识】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点七： 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点十：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、，则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【考点剖析】
考点一：向量的加法运算
例1．(2023·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
故选：B
例2．(2023·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由,
故选：A
例3．(2023·全国·高一课前预习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】.
故选：B
考点二：向量的减法运算
例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
答案：B
【解析】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形一定是梯形．
故选：B．
例5．如图，已知向量，，求作向量．
【解析】
解：（1）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
（2）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
考点三：与向量的模有关的问题
例6．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，
∴|++|的最大值为6．
（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．
∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，
∴，，
于是，
∴．
例7．已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
答案：C
【解析】
解：由，得，即，
所以，即，故选：C．
例8．已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
【解析】 如图，，，则．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．
由于．
故，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．
考点四：向量的数乘运算
例9．计算下列各式：
（1）4（+）3（）；
（2）3（2+）（2+3）；
（3）．
【解析】 （1）原式=43+4+3=+7．
（2）原式=36+32+3=7+6．
（3）原式
．
例10．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
【解析】在中
考点五：共线向量与三点共线问题
例11．设两非零向量和不共线，
（1）如果求证三点共线．
（2）试确定实数，使和共线．
【解析】（1）证明
共线，又有公共点，
∴三点共线．
（2）解 ∵ 和 共线，
∴存在，使，
则由于 和不共线，
只能有 则．
例12．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
【解析】
因为向量，，
所以
要使与共线，则应有实数，使，
即，
即得．
故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线．
例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p， ＝q，求证：＋＝1．
【解析】
因为A，M，D三点共线，
所以，
因为B，M，C三点共线，
所以，
解得，
所以，
因为＝p， ＝q，
所以．
因为共线，
所以，即，
所以＋＝1．
考点六：平面向量数量积的运算
例14．(2023·全国·高一课时练习）已知等边的边长为3，则________
答案：
【解析】.
故答案为：
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______.
答案：-268
【解析】.
故答案为：
例16．(2023·安徽·歙县教研室高一期末）已知向量，，满足，，，，，则_________.
答案：6
【解析】由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，得.
故答案为：.
例17．已知，且向量与向量的夹角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
【解析】
解：
；
（2）设与向量方向相同的单位向量为，则．
向量在向量上的投影为：
，
所以向量在向量上的投影向量为．
考点七：平面向量模的问题
例18．(2023·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．2C．D．4
答案：B
【解析】因为，，，
所以，
故选：B
例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夹角为120°，且，，则等于（ ）
A．2B．C．D．
答案：D
【解析】因为的夹角为120°，且，，
所以，
所以
.
故选：D
例20．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．5
答案：C
【解析】由，可得，则，
将，代入可得：，可得：，
则，
故选：C.
考点八：向量垂直（或夹角）问题
例21．已知，且向量在向量方向上的投影数量为．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
【解析】
（1）因为，所以．
又在方向上的投影数量为，
所以，
所以，所以．
（2）．
（3）因为与互相垂直，
所以，
所以，所以．
例22．已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
【解析】
（1），
，，
设与的夹角为，则．
又，
；
（2），，
．，
又．，
设与的夹角为，
则．
即与的夹角的余弦值为．
例23．(2023·全国·高一课时练习）若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.
答案：6
【解析】因为，所以，因为，所以，
即，又是单位向量，所以，即.
故答案为：
例24．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．
答案：2
【解析】因为，所以，即.
又，,与的夹角为，则，
所以．
故答案为：2.
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【解析】∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
3．（2023·北京·高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
4．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
答案：
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
5．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
答案：
【解析】∵
∴
∴.
故答案为：.
6．（2023·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
7．（2023·全国·高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
答案：
【解析】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
8．（2023·全国·高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
答案：.
【解析】因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对于A，，故错误；
对于B，，故错误；
对于C，，故错误；
对于D，，故正确；
故选：D
2．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或；
若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行．
综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件．
故选：B．
3．(2023·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，，
所以，
所以，
故选：A
4．(2023·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，，
即，
即，
又，
，
解得，，
所以.
故选：C
5．(2023·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【解析】因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
6．(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知非零向量、满足，且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
答案：D
【解析】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由， 的角平分线与垂直，
为等腰三角形，且，
且，
，又，
，
，
三角形为等边三角形．
故选：D．
7．(2023·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
8．(2023·江苏·金沙中学高一期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（ ）
A．B．
C．5D．7
答案：D
【解析】由题图知：，，，
所以，
由，，故.
故选：D
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
答案：BC
【解析】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
10．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A．B．C．4D．6
答案：AD
【解析】
根据数量积的几何意义，可以看作和在上的投影向量的模的乘积，
因为，所以当点在点处时数量积最小，最小为；
当点在点处时数量积最大，最大为.
故选：AD.
11．(2023·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
12．(2023·福建·福州黎明中学高一期末）已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则（ ）
A．与的夹角B．
C．D．
答案：AD
【解析】因为,所以.
设，因为与的夹角为锐角，所以.
所以，所以x>0.
因为，，为位向量,所以.
又所以.
所以，又,所以
即，解得：.
所以.
对于A：
设与的夹角为,为锐角.
则，所以.故A正确；
对于 B：由A的推导可知：.故B错误；
对于C：因为，
所以
故C错误；
对于D：因为，
所以
.
故D正确.
故选：AD
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知向量的夹角为，，，则______．
答案：
【解析】因为向量的夹角为，，，
所以，
因此，，
故答案为：.
14．(2023·全国·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
答案：
【解析】取边的中点，连接，如图所示，
因为，即，所以，即点为的中点，所以.
故答案为：
15．(2023·全国·高一课时练习）已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为________．
答案：
【解析】由于，，与的夹角为，则
则在上的投影为：.
故答案为：.
16．(2023·北京师大附中高一期末）已知平面向量，，满足，且，则的值为________.
答案：
【解析】因为，所以，两边平方可得，
又，
所以，
故答案为：
四、解答题
17．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知平面向量满足，且．
(1)求；
(2)若，求实数m的值．
【解析】（1）由，平方得，
∵，∴，∴，
∴，
∴；
（2）∵，
又∵，∴，
化简得，
∴．
18．(2023·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；
(2)求；
(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【解析】（1）因为，，
所以，
又因，所以；
（2）；
（3）当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得.
19．(2023·全国·高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
【解析】证明：因为在中，D，F分别是边BC，AC的中点，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
又与有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
20．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知向量､的夹角为，且，设，.
(1)求；
(2)试用来表示的值；
(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
【解析】（1）.
（2）
.
（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.
其中，而，
于是实数的取值范围是.
21．(2023·全国·高一课时练习）已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值.
【解析】（1）因为与垂直，
所以，
所以，，
所以，
；
（2）
，
所以时，取得最小值．
22．(2023·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
【解析】（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：
；
（2）
又，，
所以
令
所以
所以当时，取到最小值为
23．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）如图所示，在中，与相交于点.
(1)用和分别表示和；
(2)若，求实数和的值.
【解析】（1）由，可得.
（2）（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即.
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