2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)第1章集合与常用逻辑用语(单元卷)(原卷版+解析)

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第 1 章集合与常用逻辑用语（单元卷）一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（　　）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}2．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（∁RA）∩B＝（　　）A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3}3．已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是（　　）A．B＝A∩C B．A⫋C C．B∪C＝C D．A＝B＝C4．若1∈{0，a}，则实数a＝（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或15．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（　　）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个6．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（　　）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}7．给出下列关系，其中正确的个数为（　　）①0∈N；②；③{0}＝∅；④R＝（﹣∞，+∞）．A．1 B．0 C．2 D．38．已知A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜4}，若A⊆∁RB，则实数a的取值范围为（　　）A．{a|a＜1} B．{a|a≤4} C．{a|a≤1} D．{a|a≥1}二．多选题（共4小题）（多选）9．在下列结论中，正确的有（　　）A．x2＝9是x3＝﹣27的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2+AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件 D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 E．一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件（多选）10．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（　　）A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∃x∈R，[2x]＝2[x] C．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x﹣y＜1 D．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]（多选）11．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（　　）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅（多选）12．在下列命题中，真命题有（　　）A．∃x∈R，x2+x+3＝0 B．∀x∈Q，是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10 D．∀x∈R，x2＞|x| E．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”三．填空题（共4小题）13．已知命题p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是　 　．14．已知α：x＞3或x＜1，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若β是￢α的必要不充分条件，则m的取值范围是 　 　．15．已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则￢p：　 　．16．命题p：∃x0∈R，x02+2x0+5＝0是　 　（填“全称命题”或“特称命题”），它是　 　命题（填“真”或“假”）．四．解答题（共6小题）17．已知全集U＝{小于10的正整数}，A⊆U，B⊆U，且（∁UA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（∁UA）∩（∁UB）＝{4，6，9}．（1）求集合A和B．（2）求（∁RU）∪[∁Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集）18．集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|1＜3x﹣5＜16}．（1）求A∪B；（2）求（∁RA）∩B．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围．20．已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．（1）若a＝﹣1，求A∪B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．在①{x|a﹣1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a+2}；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的a存在，求a的值，若a不存在，请说明理由．已知集合A＝____，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22．已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|x2＜4}．（1）当m＝2时，求A∪B，A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．第 1 章集合与常用逻辑用语（单元卷）一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（　　）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}分析：由已知结合集合的并集定义即可求解．【解答】解：因为A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝{x|x＞﹣1}．故选：A．【点评】本题主要考查了集合的并集求解，属于基础题．2．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（∁RA）∩B＝（　　）A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3}分析：先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求（∁RA）∩B．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，∴∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥4}，∵B＝{2，3，4，5}，∴（∁RA）∩B＝{4，5}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．3．已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是（　　）A．B＝A∩C B．A⫋C C．B∪C＝C D．A＝B＝C分析：由钝角是第二象限角，也是小于180°的角，且第二象限角不一定是小于180°，小于180°角也不一定是第二象限角，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：由题意知，钝角是第二象限角，也是小于180°的角，所以B⫋A∩C，即A错误；又A与C互不包含，所以B错误；因为B⫋C，所以B∪C＝C，即C正确；由以上分析可知D错误．故选：C．【点评】本题考查了任意角的概念与应用问题，也考查了集合之间的关系应用问题，是基础题．4．若1∈{0，a}，则实数a＝（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1分析：根据集合元素的得特点，进行判断即可．【解答】解：∵1∈{0，a}，则1在集合{0，a}内，故a＝1．故选：C．【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．5．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（　　）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个分析：若集合M有n个元素，则集合M有2n个子集．【解答】解：∵集合M＝{0，1，2}，∴M的子集有23＝8个．故选：D．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（　　）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}分析：进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．7．给出下列关系，其中正确的个数为（　　）①0∈N；②；③{0}＝∅；④R＝（﹣∞，+∞）．A．1 B．0 C．2 D．3分析：根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案．【解答】解：对于①：0为自然数，所以0∈N，故①正确，对于②：为无理数，所以，故②错误，对于③：{0}含有元素0，不是空集，故③错误，对于④：R为实数集，所以④正确，故选：C．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．8．已知A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜4}，若A⊆∁RB，则实数a的取值范围为（　　）A．{a|a＜1} B．{a|a≤4} C．{a|a≤1} D．{a|a≥1}分析：求出∁RB，然后根据A⊆∁RB建立条件关系，求出a的值．【解答】解：∵B＝{x|1＜x＜4}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥4}，∵A＝{x|x＜a}，A⊆∁RB，∴a≤1．故实数a的取值范围为{a|a≤1}．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．二．多选题（共4小题）（多选）9．在下列结论中，正确的有（　　）A．x2＝9是x3＝﹣27的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2+AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件 D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 E．一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件分析：根据充分必要条件的定义对各个选项分别判断即可．【解答】解：对于A：∵x2＝9，∴x＝±3，∵x3＝﹣27，∴x＝﹣3，∴是必要不充分条件，故A正确，对于B：在△ABC中，由AB2+AC2＝BC2，则△ABC为直角三角形，是充分条件，反之△ABC为直角三角形，不一定AB2+AC2＝BC2，不是必要条件，故B错误，对于C：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0，推不出a，b全不为0，不是充分条件，反之，若a，b全不为0，则a2+b2≠0，是必要条件，故C错误，对于D：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0，即a，b不全为0，是充分条件，反之，若a，b不全为0，则“a2+b2≠0，是必要条件，故D正确，对于E：因为正方形既是矩形也是菱形，所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分条件，故E错误，故选：AD．【点评】本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是中档题．（多选）10．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（　　）A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∃x∈R，[2x]＝2[x] C．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x﹣y＜1 D．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]分析：判断特称命题正确，只要举出例子即可，判断全称命题错误，也只要举出例子即可．【解答】解：对A，根据新定义“取整函数”的意义知[2x]＝2[x]不一定成立，如x取1.5，[2x]＝3，2[x]＝2，故A错误；对B，令x＝1，则[2x]＝2，2[x]＝2，B正确；对C，设x＝n+a（n∈Z，0≤a＜1），y＝m+b（m∈Z，0≤b＜1），若[x]＝[y]，则n＝m，因此x﹣a＝y﹣b，即x﹣y＝a﹣b≤a＜1，故C正确；对D，令x＝y＝1.6，[x+y]＝[3.2]＝3，[x]+[y]＝1+1＝2，D错误．故选：BC．【点评】本题属于新概念题，考查取整函数的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意特值法的运用，属于中档题．（多选）11．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（　　）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅分析：利用A⫋B的关系即可判断．【解答】解：∵A⫋B，∴A∩B＝A，A∪B＝B，（∁UA）∩B＝≠∅，A∩（∁UB）＝∅，故选：BD．【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．（多选）12．在下列命题中，真命题有（　　）A．∃x∈R，x2+x+3＝0 B．∀x∈Q，是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10 D．∀x∈R，x2＞|x| E．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”分析：x2+x+3＝0 在实数集无解，x2＞|x|不是恒成立，其余命题均为真．【解答】解：A中，，故A是假命题；B中，一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x﹣2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题；E命题否定的形式正确，故为真命题．故真命题有BCE．故选：BCE．【点评】此题考査全称命题和特称命题真假性的判断，需要熟练掌握数与式的关系，最后一个选项考査准确进行全称命题的否定，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．已知命题p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是　[﹣，+∞）　．分析：分别求出关于p，q的不等式，根据p是q的充分非必要条件结合集合的包含关系得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，①3m+1＞m+2即m＞时，命题q：R，p是q的充分非必要条件，②3m+1≤m+2即m≤，若p是q的充分非必要条件，则（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）⫋（﹣∞，3m+1）∪（m+2，+∞），故“＝“不同时成立，解得：﹣≤m≤，综上：实数m的取值范围是[﹣，+∞）故答案为：[﹣，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．14．已知α：x＞3或x＜1，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若β是￢α的必要不充分条件，则m的取值范围是 　[﹣，0]　．分析：根据充分必要条件的定义可得，且等号不能同时成立，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵α：x＞3或x＜1，∴￢α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若β是￢α的必要不充分条件，令A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R，}∴集合A⫋B，∴，且等号不能同时成立，即﹣≤m≤0，故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，运用了转化的思想方法，属于基础题．15．已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则￢p：　∃x∈R，x2≤0　．分析：根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：p：“∀x∈R，x2＞0”，则￢p：∃x∈R，x2≤0，故答案为：∃x∈R，x2≤0．【点评】本题主要考查了命题的否定的应用，属于基础试题．16．命题p：∃x0∈R，x02+2x0+5＝0是　特称命题　（填“全称命题”或“特称命题”），它是　假　命题（填“真”或“假”）．分析：根据含有量词的命题的真假判断即可得到结论．【解答】解：命题p，含有特称量词∃，是特称命题，为假命题．x2+2x+5＝0，所以Δ＝22﹣4×1×5＝﹣16＜0，方程无解，命题为假命题．故答案为：特称命题　假．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定以及命题的真假判断，比较基础．四．解答题（共6小题）17．已知全集U＝{小于10的正整数}，A⊆U，B⊆U，且（∁UA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（∁UA）∩（∁UB）＝{4，6，9}．（1）求集合A和B．（2）求（∁RU）∪[∁Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集）分析：（1）利用韦恩图，将各个集合进行表示，据图可以写出A，B（2）直接计算较麻烦，可以显得出[∁Z（A∩B）]⊈（∁RU），所以（∁RU）∪[∁Z（A∩B）]＝∁Z（A∩B）【解答】解：（1）利用韦恩图，将各个集合表示如下：据图可以写出A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，8}（2）A∩B＝{2，3}，∁Z（A∩B）＝{x∈Z|x≠2，且x≠3}．[∁Z（A∩B）]⊈（∁RU），所以（∁RU）∪[∁Z（A∩B）]＝∁R（A∩B）＝{x∈R|x≠2，且x≠3}．【点评】本题考查集合的基本运算．考查逻辑思维，运算求解能力．容易出错．属于基础题．18．集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|1＜3x﹣5＜16}．（1）求A∪B；（2）求（∁RA）∩B．分析：（1）可以求出集合B，然后进行并集的运算即可；（2）进行补集和交集的运算即可．【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|2＜x＜10}；（2）∁RA＝{x|x＜3或x≥10}，∴（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3}．【点评】本题考查了集合交集、并集和补集的概念及运算，考查了计算能力，属于基础题．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围．分析：直接利用集合间的基本关系求解即可．【解答】解：集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B＝∅，若A＝∅，即2a＞a+3，解得a＞3，满足题意，若A≠∅，则，解得﹣≤a≤2，综上所述a的取值范围为{x|﹣≤a≤2，或a＞3}【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查学生的计算能力，比较基础．20．已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．（1）若a＝﹣1，求A∪B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．分析：（1）由a＝﹣1时得到A＝{x|﹣2≤x≤0}，进而根据并集的定义即可求解；（2）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时A＝{x|﹣2≤x≤0}，B＝{x|x≤﹣2或x≥3}，∴A∪B＝{x|≤0或x≥3}；（2）∵p是q的充分条件，∴A⊆B，且A≠∅，则a+1≤﹣2或a﹣1≥3，解得a≤﹣3，或a≥4，∴p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了充分条件，考查了集合关系的参数取值问题，集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较，是易错题．21．在①{x|a﹣1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a+2}；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的a存在，求a的值，若a不存在，请说明理由．已知集合A＝____，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．分析：根据x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进而得出a的取值范围．【解答】解：由题意知，A不为空集，B＝{x|1≤x≤3}．当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，解得2≤a≤3．所以实数a的取值范围是[2，3]．当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，解得a＝1．此时A＝B，不符合条件．故不存在a的值满足题意．当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，该不等式组无解，故不存在a的值满足题意．【点评】本题考查集合的概念、充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22．已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|x2＜4}．（1）当m＝2时，求A∪B，A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．分析：（1）根据交集和并集的定义即可求出；（2）由x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，可得A⫋B，进而得出实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝2时，A＝{x|1＜x＜5}，B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜5}，A∩B＝{x|1＜x＜2}；（2）“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，∴A⫋B，当A＝∅时，即m﹣1≥m2+1时，此时m无解，∴A≠∅，∴，解得﹣1≤m≤1，当m＝﹣1时，A＝B＝（﹣2，2），不成立．故实数m的取值范围为{m|﹣1＜m≤1}．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．