人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第1课时一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第1课时一课一练，共23页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·高一专题练习）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
2．(2023·全国·高一专题练习）完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工人，瓦工人，则，满足的关系式是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高一专题练习）设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
4．（2023·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重庆十八中高一期中）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20B．22C．24D．26
二、概念填空
8．(2023·全国·高一课时练习）设，则m，n的大小关系是___________．
9．(2023·全国·高一课时练习）实数大小比较的基本事实
如果是___________，那么；如果等于___________，那么；如果是___________，那么．反过来也对．这个基本事实可以表示为：
___________；
___________；
___________．
三、填空题
10．(2023·全国·高一专题练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
11．(2023·全国·高一专题练习）（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小关系为__.
12．（2023·河南·高一阶段练习）2021年是中国共产党成立周年，某校为了庆祝建党周年，组织了一系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的倍多于高一年级选手人数，则参加红歌会的选手至少有___________人.
四、解答题
13．（2023·全国·高一课时练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.
（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;
（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.
14．(2023·全国·高一专题练习）比较与)的大小.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知，证明：.
16．(2023·全国·高一专题练习）已知，证明：.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·云南·曲靖市关工委麒麟希望学校高一阶段练习）生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2023·广东·小榄中学高一阶段练习）对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
三、填空题
3．（2023·全国·高一课时练习）某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
（1）高一学生人数多于高二学生人数；
（2）高二学生人数多于高三学生人数；
（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和
若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为__________．
4．（2023·全国·高一课时练习）用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)
四、双空题
5．（2023·全国·高一单元测试）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．
6．(2023·全国·高一专题练习）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.
五、解答题
7．(2023·全国·高一专题练习）已知，试比较与的值的大小．
8．（2023·全国·高一课前预习）船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
9．(2023·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
10．（2023·贵州毕节·高一阶段练习）（1）比较和的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
11．（2023·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小.
（1）与，；
（2）与.
12．（2023·全国·高一课时练习）设试证:对任意实数有
13．（2023·全国·高一课时练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：
若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B，试用x、y表示混合食物成本c元，并写出x、y所满足的不等关系．
14．（2023·全国·高一课时练习）某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
甲
乙
丙
维生素A(单位/kg)
600
700
400
维生素B(单位/kg)
800
400
500
成本(元/kg)
11
9
4
2.1等式性质与不等式性质（第1课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·高一专题练习）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
答案：C
分析：根据题意，，，考虑，， ， 四种情况，计算得到答案.
【详解】设软件片，磁盘盒，，则，，.
当 时，满足条件；当时， 满足条件；
当 时，满足条件；当 时，满足条件；
故共有7种方案.
故选：C.
2．(2023·全国·高一专题练习）完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工人，瓦工人，则，满足的关系式是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据给定条件直接列出不等式即可判断作答.
【详解】因请木工每人需付工资800元，木工人，则需付木工工资元，
因请瓦工每人需付工资700元，瓦工人，则需付瓦工工资元，
于是得完成这项装修工程，共需付工资()元，而工人工资预算为20000元，
因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，
所以，满足的关系式是：.
故选：D
3．(2023·全国·高一专题练习）设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
答案：C
分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.
【详解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，
由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，
所以y1＞y2＞y3，
故选：C.
4．（2023·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：利用作差法比较大小.
【详解】解：，，．
，．
．
故选：B．
5．（2023·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积．
图（2）是一个矩形，面积．
可得：．
故选：A
6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：由已知条件及矩形面积公式即可求解.
【详解】解：由题意知，根据面积公式可以得到.
故选:C．
7．（2023·重庆十八中高一期中）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20B．22C．24D．26
答案：B
分析：分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出.
【详解】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数，
则由题意得，，，，可得，
所以，，，即至少有个.
故选：B.
二、概念填空
8．(2023·全国·高一课时练习）设，则m，n的大小关系是___________．
答案：
【详解】∵
∴
故答案为：
9．(2023·全国·高一课时练习）实数大小比较的基本事实
如果是___________，那么；如果等于___________，那么；如果是___________，那么．反过来也对．这个基本事实可以表示为：
___________；
___________；
___________．
答案： 正数 0 负数
三、填空题
10．(2023·全国·高一专题练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
答案：
分析：克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【详解】克糖水中有克糖，
糖水的浓度为：；
克糖水中有克糖，若再添克糖，
则糖水的浓度为，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
，，，，.
故答案为：，
11．(2023·全国·高一专题练习）（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小关系为__.
答案：（x+1）（x+5）＜（x+3）2
分析：作差，判断差的符号，即可得到答案.
【详解】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝﹣4＜0，
∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，
故答案为：（x+1）（x+5）＜（x+3）2
12．（2023·河南·高一阶段练习）2021年是中国共产党成立周年，某校为了庆祝建党周年，组织了一系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的倍多于高一年级选手人数，则参加红歌会的选手至少有___________人.
答案：
分析：设高一年级选手人数､高二年级选手人数､高三年级选手人数､教师选手人数分别为，根据条件列不等式求解即可.
【详解】设高一年级选手人数､高二年级选手人数､高三年级选手人数､教师选手人数分别为，
且为正整数，
则，从而，
解得
故选手至少有人.
四、解答题
13．（2023·全国·高一课时练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.
（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;
（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.
答案：（1）；（2）.
分析：（1）由边长表示出面积，再由边长与面积的范围求解即可；
（2）由长与宽的范围都不超过11m，求解即可
【详解】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，
所以，这时菜园的另一边长为， ，
所以菜园的面积，依题意有，即，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
（2）因为矩形的另一边长，所以，
又，且，所以.
14．(2023·全国·高一专题练习）比较与)的大小.
答案：
分析：做差化简，分情况讨论比较大小.
【详解】

当时，， ，
即；
当时，， ，
即；
综上所得.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知，证明：.
分析：利用作差法即得.
【详解】∵，

，
，即.
16．(2023·全国·高一专题练习）已知，证明：.
分析：利用作差法即得.
【详解】∵，
，
， ，
.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·云南·曲靖市关工委麒麟希望学校高一阶段练习）生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．
【详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，
糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；
选项D等价于，不成立，
故选B．
【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、多选题
2．（2023·广东·小榄中学高一阶段练习）对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
答案：BD
分析：A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断.
【详解】A：当时，不成立，错误；
B：由，有，则，正确；
C：由，则，错误；
D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.
故选：BD
三、填空题
3．（2023·全国·高一课时练习）某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
（1）高一学生人数多于高二学生人数；
（2）高二学生人数多于高三学生人数；
（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和
若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为__________．
答案：18
【详解】分析：设高二学生人数为，高三学生人数为，根据题意列不等式，根据不等式的解为整数，可得符合条件的有六组解，逐一验证，即可得结果.
详解：设高二学生人数为，高三学生人数为，
则
由②可知，，
结合①可知，，共有种，
取法，
逐一代入②验证，可得只有满足， ，
该志愿者服务队总人数为人，故答案为.
点睛：本题主要考查分类讨论思想、不等式的应用以及整数解的问题，求解整数解得的问题，往往根据不等关系初步判断出有限个（组）解，然后逐一验证排除即可.
4．（2023·全国·高一课时练习）用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)
答案：
分析：本题考查的知识点是二元一次不等式组的建立，关键是要从已知的题目中找出不等关系，并用不等式表达出来．
【详解】解：依题意，且三次后全部进入，
即，
故不等式组为
故答案为
【点睛】在使用不等式解决实际问题时，关键的步骤是仔细分析题意，从题目中找到合适的变量及不等关系，并用不等式（组将数量间的不等关系正确表达出来，在表达时要注意变量的取值范围，特别在实际问题中，要实际问题实际考虑．
四、双空题
5．（2023·全国·高一单元测试）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．
答案： 16 1
【解析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；
（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,
（1）由题意知，，
化简得：，
又，
所以，
解得：，
共种；
（2）由题意知，
，
，
，
，
即的最大值为1万元，
故答案为：16；1
【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
6．(2023·全国·高一专题练习）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.
答案：
分析：设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，可得出，当时，讨论的取值，结合不等式的性质可求得的最小值；当的值未知时，讨论的取值，结合不等关系可求得的最小值.
【详解】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则.
若，则，可得，则，当时，取最小值，
即男学生人数为，则女学生人数的最小值为；
若的值未知，当时，则，不满足题意，
当时，则，不合乎题意，
当时，则，此时，，则，合乎题意.
故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.
故答案为：；.
五、解答题
7．(2023·全国·高一专题练习）已知，试比较与的值的大小．
答案：时，；时，．
分析：用做差法比较可得答案.
【详解】，可得，
当时，，，则，即；
当时，，则，即．
综上可得时，；时，．
8．（2023·全国·高一课前预习）船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
答案：船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度
分析：设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u， 水流速度为v(u>v>0)，分别求得平均速度， 作差，判断符号可得结论.
【详解】解：设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u， 水流速度为v(u>v>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间，
平均速度，
∵ ，
∴
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度.
9．(2023·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
答案：(1)
(2)
分析：利用作差法得出大小关系.
(1)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
即
(2)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
故.
10．（2023·贵州毕节·高一阶段练习）（1）比较和的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
答案：（1） ；（2） ．
分析：（1）利用作差法比较大小；
（2）直接利用不等式的性质求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以．
因为，所以，
故．
11．（2023·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小.
（1）与，；
（2）与.
答案：（1）；（2）.
【解析】利用作差法求解即可.
【详解】（1），
，且，
，.
，即.
（2）
（当且仅当时取等号），
又，，.
.
【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于较难题.
12．（2023·全国·高一课时练习）设试证:对任意实数有
分析：利用差比较法，证得不等式成立.
【详解】依题意
.
所以.
【点睛】本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
13．（2023·全国·高一课时练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：
若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B，试用x、y表示混合食物成本c元，并写出x、y所满足的不等关系．
分析：设出未知量x,y，z,根据题意列出不等式组即可.
【详解】依题意得c＝11x＋9y＋4z，
又x＋y＋z＝100，
∴c＝400＋7x＋5y，
由
及z＝100－x－y，得
∴x，y所满足的不等关系为
【点睛】这个题目考查了实际应用问题，主要是读懂题意，列出相应的不等关系即可,其中注意定义域的问题.
14．（2023·全国·高一课时练习）某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
分析：设出未知量x,y，根据题意列出不等式组即可.
【详解】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
即
【点睛】这个题目考查了实际应用问题，主要是读懂题意，列出相应的不等关系即可,其中注意定义域的问题.
甲
乙
丙
维生素A(单位/kg)
600
700
400
维生素B(单位/kg)
800
400
500
成本(元/kg)
11
9
4