高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程习题，共53页。

知识点1 直线方程的点斜式、斜截式
注：1．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？
斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距)．
2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：
(1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；
(2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.
3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
4．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b.
5．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．
6．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．
【即学即练1】方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
【即学即练2】已知直线的方程是x＋y＝1，则斜率k＝________.
【即学即练3】在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
【即学即练4】已知直线l的方程为y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为( )
A．9 B．－9 C.eq \f(27,4) D．－eq \f(27,4)
【即学即练5】(多选)给出下列四个结论，正确的是( )
A．方程k＝eq \f(y－2,x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【即学即练6】求满足下列条件的m的值．
(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．
知识点2 直线的两点式与截距式方程
注：（1）两点式方程
①利用两点式求直线方程必须满足x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴．
（即：当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．）
②两点式方程与这两个点的顺序无关．
③方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
截距式方程
①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．
②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
④过原点的直线的横、纵截距都为零．
【即学即练7】已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0D．2x－y－12＝0
【即学即练8】直线x－2y＝4的截距式方程是____________．
【即学即练9】(多选)下列命题中不正确的是( )
A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
D．不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示
知识点3 直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．系数的几何意义：当B≠0时，则－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－eq \f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
3．直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
4.当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
注：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示
（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线
【即学即练10】若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
【即学即练11】直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120°D．150°
【即学即练12】斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
【即学即练13】已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
【即学即练14】已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－2 B．2
C．±2D．2或4
考点一 直线的点斜式方程
解题方略：
求直线的点斜式方程的方法步骤
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
【例1-1】若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：
(1)倾斜角为150°；
(2)平行于x轴；
(3)垂直直线m：y＝eq \f(1,3)x＋2.
变式1：已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．
变式2：经过点(－1,1)，斜率是直线y＝eq \f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝eq \r(2)(x＋1)D．y－1＝2eq \r(2)(x＋1)
变式3：以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．y－(－3)＝2(x－3) B．y－3＝2(x－3)
C．y－3＝－eq \f(1,2)(x－3) D．y－(－3)＝－eq \f(1,2)(x－3)
变式4：已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
变式5：已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【例1-2】已知点A(3,3)和直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2).求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程．
变式1：若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的方程为( )
A．x＋2y＝0B．y－1＝－2(x＋2)
C．y＝2x＋5D．y＝2x＋3
【例1-3】直线l1过点P(－1,2)，斜率为－eq \f(\r(3),3)，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
考点二 直线的斜截式方程
解题方略：
直线的斜截式方程的求解策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
(3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
【例2-1】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
变式1：求倾斜角是直线y＝－eq \r(3)x＋1的倾斜角的eq \f(1,4)，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
变式2：直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为( )
A．a＋bB．2a－b
C．b－2aD．|2a－b|
【例2-2】若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b0，b0，b0，b>0，矛盾；对于C选项，由l1得a>0，b0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故选D.
【例2-4】已知斜率为－eq \f(4,3)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程．
【解析】设l：y＝－eq \f(4,3)x＋b，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝eq \f(3,4)b.
由题意，得eq \f(1,2)·|b|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)b))＝6，
∴b2＝16，∴b＝±4.
故直线l的方程为y＝－eq \f(4,3)x±4.
考点三 直线的两点式方程
解题方略：
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
【例3-1】经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线方程为____________．
【解析】由两点式得直线方程为eq \f(y－6,5－6)＝eq \f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0.
变式1：已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
【解析】(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得eq \f(y－－4,－2－－4)＝eq \f(x－5,0－5)，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，y0＝eq \f(－4＋－2,2)＝－3.
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
又BC边上的中线经过点A(－3,2)．
∴由两点式得eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－－3,\f(5,2)－－3)，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
变式2：已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
【解析】由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
考点四 直线的截距式方程
解题方略：
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
【例4-1】直线eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1 B．－1
C．7D．－7
【解析】直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.故选B
【例4-2】求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．
【解析】(1)当截距不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l过点(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
变式1：求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
【解析】法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0.
法二：由题意知直线的斜率一定存在．
设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－eq \f(2,k).
根据题意得2－5k＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(2,k)))，解方程得k＝eq \f(2,5)或1.
当k＝eq \f(2,5)时，直线方程为y－2＝eq \f(2,5)(x－5)，即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.
变式2：过点作直线，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
【解析】若截距相等且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：，此时，直线方程为：
若截距互为相反数且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：.
故选：C
变式3：求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
【解析】设直线方程的截距式为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1.则eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是eq \f(x,2＋1)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,1＋1)＋eq \f(y,1)＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
变式4：求过点A(5,2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线l的方程．
【解析】①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0适合题意．
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l过点(5,2)，∴eq \f(5,2a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝eq \f(9,2).
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
【例4-3】直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0B．a>0，b0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b0，b>0，两者矛盾，故D错．故选C
【例5-6】已知，，则直线通过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【解析】等价于，
根据题意，故直线必经过第一、三象限；
又因为，故直线必经过第三、四象限，
故直线必经过第一、三、四象限.
故选：C.
考点六 两直线平行与垂直的应用
解题方略：
1．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
2．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
3．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
4．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.

（一）由直线方程的斜截式研究直线的平行与垂直
【例6-1】判断下列两条直线平行还是垂直：
(1)l1：y－2＝3(x＋1)，l2：y＝3x；
(2)l1：y＝6x－1，l2：y＝－eq \f(1,6)x－1.
【解析】(1)直线l1的方程化为y＝3x＋5，则直线l1的斜率k1＝3，直线l1在y轴上的截距b1＝5，直线l2的方程为y＝3x，则直线l2的斜率k2＝3，直线l2在y轴上的截距b2＝0，于是k1＝k2，b1≠b2，故l1∥l2.
(2)直线l1的斜截式方程为y＝6x－1，则直线l1的斜率k1＝6，直线l2的斜截式方程为y＝－eq \f(1,6)x－1，则直线l2的斜率k2＝－eq \f(1,6)，于是k1k2＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))＝－1，故l1⊥l2.
【例6-2】当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
【解析】由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，
∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2＝－1，,2a≠2，))
解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
变式1：当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【解析】由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
变式2：直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点( )
A．(－1,2)B．(2,1)
C．(1，－2)D．(1,2)
【解析】由两直线垂直得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)得过点为(1，－2)．故选C.
变式3：已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－eq \f(1,n)x－eq \f(1,n).若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为( )
A．－10B．－2
C．0D．8
【解析】∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故选A.
（二）由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
【例6-3】判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
【解析】(1)方法一 将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝－eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，
l2：y＝－eq \f(3,5)x－eq \f(3,10).
则k1＝－eq \f(3,5)，b1＝eq \f(6,5)；k2＝－eq \f(3,5)，b2＝－eq \f(3,10).
∵k1＝k2，且b1≠b2，
∴l1∥l2.
方法二 ∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，
∴l1∥l2.
(2)方法一 将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(7,3)，
l2：y＝－2x＋2.
则k1＝eq \f(1,2)，k2＝－2.
∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.
方法二 ∵3×2＋(－6)×1＝0，
∴l1⊥l2.
(3)∵l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2.
(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
【例6-4】已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【解析】法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
(1)当l1∥l2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa＋1－2×3＝0，,a×－a－－3×3≠0，))
解得a＝2.
(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－eq \f(2,5).
法二：直线l1可化为y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(3,2).
(1)当a＝－1时，l2：x＝－eq \f(1,3)与l1不平行；
当a≠－1时，直线l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1∥l2，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(3,a＋1)且eq \f(3,2)≠eq \f(a,a＋1)，
解得a＝2.
(2)当a＝－1时，l2：x＝－eq \f(1,3)与l1不垂直；
当a≠－1时，l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1⊥l2，∴－eq \f(a,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,a＋1)))＝－1，
解得a＝－eq \f(2,5).
变式1：已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为( )
A．－1或2B．0或2
C．2D．－1
【解析】由a·a－(a＋2)＝0，得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
经过验证，可得a＝2时两条直线重合，舍去．
∴a＝－1.故选D.
变式2：如果直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，那么a，b的值分别为( )
A．－eq \f(1,2)，0 B．2,0
C.eq \f(1,2)，0 D．－eq \f(1,2)，2
【解析】∵直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,1)＝\f(1－b,－2)≠\f(5,3)，,\f(1＋a,1)＝\f(－1,－2)≠\f(－b,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝0.))故选A
变式3：已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为_________.
【解析】因为直线与直线平行，所以，
又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，
所以.
故答案为：
变式4：【多选】三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是( )
A．－1 B．1 C．2 D．5
【解析】直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.故选CD
变式5：若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－2 B．－4 C．10 D．8
【解析】由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－4＝0，,m＋4p－2＝0，,2－p＋n＝0，))解得n＝－2.故选A
【例6-5】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
【解析】法一：l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，
∴l的斜率为－eq \f(3,4).
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).又∵l′过点(－1,3)，
由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，
又l′过点(－1,3)，
由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
变式1：求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为eq \f(7,3)的直线l的方程．
【解析】法一：由题意，设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)，
令x＝0，得y＝－eq \f(m,4)；令y＝0，得x＝－eq \f(m,3)，
所以－eq \f(m,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)))＝eq \f(7,3)，解得m＝－4.
所以直线l的方程为3x＋4y－4＝0.
法二：由题意，直线l不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a≠0，b≠0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－\f(3,4)，,a＋b＝\f(7,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(4,3)，,b＝1.))
所以直线l的方程为3x＋4y－4＝0.
考点七 直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题
【例7-1】直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
【解析】当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，
令y＝0，得x＝eq \f(2k－2,k)，
由三角形的面积为2，得eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2k－2,k)))×2＝2.
解得k＝eq \f(1,2).
可得直线l的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．
综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．
变式1：若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
【解析】∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
则直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，
∴直线l的方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
故直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|－a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，
∴直线的方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
变式2：垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______________．
【解析】由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，
令y＝0，得x＝－eq \f(c,4)，令x＝0，得y＝－eq \f(c,3)，
则S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,4)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,3)))＝6，得c2＝122，c＝±12，
∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
【例7-2】直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
【解析】设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
由题意知，a＋b＋eq \r(a2＋b2)＝12.
所以eq \r(a2＋b2)＝12－a－b.
两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.①
又因为直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
所以eq \f(4,3a)＋eq \f(2,b)＝1，整理得3ab＝6a＋4b.②
由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(9,2)，,a＝\f(12,5)，))
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
题组A 基础过关练
1、求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
【解析】(1)∵直线y＝eq \f(\r(3),3)x的斜率为eq \f(\r(3),3)，
∴直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为eq \r(3).
∴所求直线方程为y＋3＝eq \r(3)(x－2)，
即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－3＝0.
(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率
kPQ＝eq \f(－4－3,5－－2)＝eq \f(－7,7)＝－1.
∵直线过点P(－2,3)，
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
2、若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2,0)，则直线l的方程是( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(2\r(3),3)D．y＝eq \r(3)x－2eq \r(3)
【解析】由题得直线l的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.
3、过点(－1,2)，且倾斜角为60°的直线方程为________．
【解析】直线的斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，由直线的点斜式方程得y－2＝eq \r(3)(x＋1)．
4、已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为( )
A．x＝3 B．x＝－2
C．y＝3 D．y＝－2
【解析】∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y＝－2.故选D
5、已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.
【解析】由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
6、若直线l1：y＝－eq \f(2,a)x－eq \f(1,a)与直线l2：y＝3x－1互相平行，则a＝________.
【解析】由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)＝3，,－\f(1,a)≠－1，))解得a＝－eq \f(2,3).
7、在x轴和y轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( )
A.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－2)＝1 B.eq \f(x,2)＋eq \f(y,－3)＝1
C.eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1D.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,2)＝1
【解析】由直线的截距式方程可得eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1.故选C
8、直线恒过定点（ ）
A．B．
C．D．
【解析】当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
9、在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是( )
【解析】对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；
对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；
对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a