数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程达标测试，共39页。试卷主要包含了求直线的方程，两条直线平行、垂直关系的应用，直线的恒过定点问题，求两点间的距离，求点到直线的距离，求两平行直线间的距离，与面积有关的问题等内容，欢迎下载使用。

类型一 求直线的方程（10道）
1．(2023·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
2．(2023·湖北·监利市教学研究室高二期末）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.
(1)求对角线所在直线的一般方程；
(2)求所在直线的一般方程.
3．(2023·北京房山·高二期末）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，.
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程.
(2)求边上的高所在直线的方程.
4．(2023·江苏·南师大二附中高二期末）已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程；
5．(2023·四川雅安·高二期末（理））已知：直线：与直线：交于点P．
(1)求直线和交点P的坐标．
(2)若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程．
6．(2023·广西·宾阳中学高二期末（文））已知的三个顶点是，，．
(1)求边所在的直线方程；
(2)求经过边的中点，且与边平行的直线的方程．
7．(2023·河北沧州·高二期末）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．
8．(2023·四川·成都七中高一期末）已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为
②BC边上的中线所在的直线方程为
______，求直线AC的方程．
9．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知直线l过定点
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
10．(2023·江苏徐州·高二期末）在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.
(1)求直线的方程；
(2)求直线的方程.
类型二 两条直线平行、垂直关系的应用（6道）
11．(2023·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线：和：．
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求实数m的值．
12．(2023·江苏泰州·高二期末）已知两条直线，.设为实数，分别根据下列条件求的值.
(1)；
(2)直线在轴、轴上截距之和等于.
13．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期末）已知直线和，设a为实数，分别根据下列条件求a的值：
(1)
(2)
14．(2023·全国·高二期末）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值．
(1)；
(2)；
(3)．
15．(2023·浙江宁波·高二期末）已知三条直线：，：，：（是常数），.
(1)若，，相交于一点，求的值；
(2)若，，不能围成一个三角形，求的值：
(3)若，，能围成一个直角三角形，求的值.
16．(2023·湖北·武汉市第十五中学高二期末）已知直线，直线，直线．
(1)若与的倾斜角互补，求m的值；
(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．
类型三 直线的恒过定点问题（2道）
17．(2023·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
18．(2023·浙江·玉环市玉城中学高二期中）已知点，直线．不论取何值，直线过定点．
(1)求点的坐标，及点 到直线距离的最大值；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值．
类型四 求两点间的距离（2道）
19．(2023·四川乐山·高一期末）已知直线l过点交圆于A、B两点．
(1)当直线l的倾斜角为时，求的长；
(2)当最小时，求直线l的方程．
20．(2023·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．

（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程
（2）当时，求折痕长的最大值．
类型五 求点到直线的距离（3道）
21．(2023·湖南省临湘市教研室高二期末）直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线平行，求直线的方程；
(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．
22．(2023·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．
（1）求边的垂直平分线所在的直线的方程；
（2）若的面积为5，求点的坐标．
23．(2023·重庆市万州第二高级中学高二期末）已知直线：.
(1)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
(2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值.
类型六 求两平行直线间的距离（4道）
24．(2023·吉林·长春市实验中学高二期末）已知直线与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；
(2)求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
25．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为.
（1）求的最小值；
（2）当直线与轴平行时，求的值.
26．(2023·安徽芜湖·高二期末）直线：和：．
(1)若两直线垂直，求m的值；
(2)若两直线平行，求平行线间的距离．
27．(2023·广东揭阳·高二期末）已知直线和直线．
(1)若时，求a的值；
(2)当平行，求两直线，的距离．
类型七 与面积有关的问题（7道）
28．(2023·广东佛山·高二期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)求边AC上的中线所在直线方程；
(2)求的面积．
29．(2023·安徽宣城·高二期末）已知直线l经过直线，的交点M．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
30．(2023·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．
(1)求边所在直线的方程；
(2)边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标．
31．(2023·湖南·华容县教育科学研究室高二期末）已知直线和的交点为．
(1)若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
(2)若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
32．(2023·浙江绍兴·高二期末）已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若的面积为，求直线l的方程；
(2)求的面积的最小值．
33．(2023·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
34．(2023·江苏·高二期末）如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.
（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；
（2）若，求的面积的最大值；
（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.
拓展四：直线的方程大题专项训练（34道）
类型一 求直线的方程（10道）
1．(2023·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
答案：；．
【解题思路】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.
【解题过程】解：过的两点式方程为，整理得．
即边所在直线的方程为，
边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，
由中点坐标公式可得点M的坐标为，即．
过，的直线的方程为，即．
整理得．
所以边上中线所在直线的方程为．
2．(2023·湖北·监利市教学研究室高二期末）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.
(1)求对角线所在直线的一般方程；
(2)求所在直线的一般方程.
答案：(1)(2)
【解题思路】（1）首先求的中点，再利用垂直关系求直线的斜率，即可求解；
（2）首先求点的坐标，再求直线的斜率，求得直线的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解.
【解题过程】(1)由和得：中点
四边形为菱形，
，
且为中点，
对角线所在直线方程为：，
即：.
(2)由，
解得：，
，
，
，
直线的方程为：，
即：.
3．(2023·北京房山·高二期末）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，.
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程.
(2)求边上的高所在直线的方程.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）先求出线段的中点为的坐标，再利用两点式求出中线所在直线的方程；
（2）先求出的斜率，可得边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程．
【解题过程】(1)解：三个顶点坐标分别为，，，
线段的中点，则中线所在直线的方程为，
即；
(2)
解：由于直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，
故边上的高所在直线的方程为，即．
4．(2023·江苏·南师大二附中高二期末）已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程；
答案：(1)；(2).
【解题思路】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；
（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.
【解题过程】(1)设 C点的坐标为，则由题知，即.
(2)设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程
则由题知，即，又，则，
所以直线BC方程为.
5．(2023·四川雅安·高二期末（理））已知：直线：与直线：交于点P．
(1)求直线和交点P的坐标．
(2)若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程．
答案：(1)(2)或
【解题过程】(1)解方程组 ，
解得 ，
∴点的坐标为,
(2)
直线的斜率显然存在且不为0，设：
令，得，令，得，
所以
∴，∴或，
得为：或
6．(2023·广西·宾阳中学高二期末（文））已知的三个顶点是，，．
(1)求边所在的直线方程；
(2)求经过边的中点，且与边平行的直线的方程．
答案：(1)(2)
【解题思路】（1）利用直线方程的两点式求解；
（2）先求得AB的中点，再根据直线与AC平行，利用点斜式求解.
【解题过程】(1)因为，，
所以边所在的直线方程为，
即；
(2)因为，，
所以AB的中点为： ，
又，
所以 直线方程为：，
即 .
7．(2023·河北沧州·高二期末）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．
答案：(1)(2)或
【解题思路】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；
(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.
【解题过程】(1)
解：因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为．
(2)
解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或．
8．(2023·四川·成都七中高一期末）已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为
②BC边上的中线所在的直线方程为
______，求直线AC的方程．
答案：(1)；
(2)若选①：直线AC的方程为；若选②：直线AC的方程为.
【解题思路】（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为，再由直线的点斜式方程可求得答案；
（2）若选①：由，求得点，再求得点B关于的对称点，由此可求得直线AC的方程；
若选②：由，求得点，设点，由BC的中点在直线上，和点C在直线上，求得点，由此可求得直线AC的方程.
【解题过程】(1)
解：因为AB边上的高所在的直线方程为，所以直线AB的斜率为，
又因为的顶点，所以直线AB的方程为：，
所以直线AB的方程为： ；
(2)
解：若选①：角A的平分线所在直线方程为，
由，解得，
所以点，
设点B关于的对称点，则，解得，所以，
又点在直线AC上，所以，
所以直线AC的方程为，
所以直线AC的方程为；
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，
设点，则BC的中点在直线上，所以，即，所以点C在直线上，
又点C在直线上，由解得，即，
所以，
所以直线AC的方程为，
所以直线AC的方程为.
9．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知直线l过定点
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.
(2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答.
【解题过程】(1)
直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，
所以直线l的方程是：.
(2)
因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，
当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，
所以直线l的方程为：或.
10．(2023·江苏徐州·高二期末）在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.
(1)求直线的方程；
(2)求直线的方程.
答案：(1)；
(2).
【解题思路】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.
(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.
【解题过程】(1)
在中，，，，则边中点，边的中点，
直线DE的斜率，于是得，即，
所以直线的方程是：.
(2)
依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即.
类型二 两条直线平行、垂直关系的应用（6道）
11．(2023·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线：和：．
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求实数m的值．
答案：(1)2 (2)或
【解题思路】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.
（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.
【解题过程】(1)
由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，
因为，
所以，
解得或2，
①当时，由此时直线，重合，
②当时，，此时直线，平行，
综上：若，则实数m的值为2．
(2)
①当时，直线的斜率为0，此时若必有，不可能.
②当时，若必有，解得，
由上知若，则实数m的值为或．
12．(2023·江苏泰州·高二期末）已知两条直线，.设为实数，分别根据下列条件求的值.
(1)；
(2)直线在轴、轴上截距之和等于.
答案：(1)；(2).
【解题思路】（1）由两直线平行可得出关于的等式，求出的值，再代入两直线方程，验证两直线是否平行，由此可得出结果；
（2）分析可知，求出直线在轴、轴上的截距，结合已知条件可得出关于的等式，即可解得的值.
【解题过程】(1)
解：由，则，即，解得或.
当时，，，此时；
当时，，，此时重合，不合乎题意.
综上所述，；
(2)
解：对于直线，由已知可得，则，
令，得；令，得.
因为直线在轴、轴上截距之和等于，即，解得.
13．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期末）已知直线和，设a为实数，分别根据下列条件求a的值：
(1)
(2)
答案：(1)a=4或a= -2
(2)a=
【解题思路】（1）根据，由a(a-2)-2×4=0求解；
（2）根据，由4a= -2(a-2）求解.
【解题过程】(1)
解：因为，
所以a(a-2)-2×4=0，
解得a=4或a= -2．
所以当时，a=4或a= -2；
(2)
因为，
所以4a= -2(a-2），解得a=．
检验：此时，，成立．
所以当时，a=.
14．(2023·全国·高二期末）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值．
(1)；
(2)；
(3)．
答案：(1)选(1)和(2)，；
(2)选(1)和(3)，或；
(3)选(2)和(3)，a、b无解.
【解题思路】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-1；若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合.
【解题过程】(1)
若选条件(1)和(2)，和，
由，得，即，
当时，，，与不垂直，
当时，，，与不垂直；
故且，得，
又，，
所以，解得，则；
(2)
若选条件(1)和(3)，和，
由，得，
当时，，，与不平行；
当时，，，与不平行；
故且，则，解得或，
故或，
即或；
(3)
若选条件(2)和(3)，和，
根据两条直线的位置关系，
可得和不可能同时成立，
此时无解.
15．(2023·浙江宁波·高二期末）已知三条直线：，：，：（是常数），.
(1)若，，相交于一点，求的值；
(2)若，，不能围成一个三角形，求的值：
(3)若，，能围成一个直角三角形，求的值.
答案：(1)
(2)或或
(3)或
【解题思路】(1)由二条已知直线求交点，代入第三条直线即可；
(2)不能围成一个三角形，过二条已知直线的交点，或者与它们平行；
(3)由直线互相垂直得，斜率之积为-1.
【解题过程】(1)
显然，相交，由
得交点，
由点代入得
所以当，，相交时，.
(2)
过定点 ，因为，，不能围成三角形，所以，或与平行，或与平行，
所以，或，或.
(3)
显然与不垂直，所以，且或
所以的值为或
16．(2023·湖北·武汉市第十五中学高二期末）已知直线，直线，直线．
(1)若与的倾斜角互补，求m的值；
(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．
答案：(1)
(2)0，，.
【解题思路】（1）根据题意得，进而求解得答案；
（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案.
【解题过程】(1)
解：因为与的倾斜角互补，
所以，
直线变形为，故
所以，解得
(2)
解：由题意，若和垂直可得：，解得，
因为当时，，，，构不成三角形，
当时，经验证符合题意； 故；
同理，若和垂直可得：，解得，舍去；
若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；
故m的值为：0，，.
类型三 直线的恒过定点问题（2道）
17．(2023·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
答案：证明见解析，
【解题思路】整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线恒过定点的坐标.
【解题过程】证明：原方程整理为，则由得
所以点坐标为．
18．(2023·浙江·玉环市玉城中学高二期中）已知点，直线．不论取何值，直线过定点．
(1)求点的坐标，及点 到直线距离的最大值；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值．
答案：(1)P（－1，－3）；5
(2)a＝2或a＝－2
【解题思路】（1）方程化为，联立方程组可求出定点，点 到直线距离的最大值即为；
（2）分别求出两坐标轴上的截距，建立方程即可求出.
【解题过程】(1)
由整理可得，
令，解得．
所以直线l过定点P（－1，－3）．
点A（2，1）到直线l距离的最大值为．
(2)
令y＝0，得；令x＝0，得y＝－a－2
依题意，，解得a＝2或a＝－2
类型四 求两点间的距离（2道）
19．(2023·四川乐山·高一期末）已知直线l过点交圆于A、B两点．
(1)当直线l的倾斜角为时，求的长；
(2)当最小时，求直线l的方程．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）利用垂径定理去求的长；
（2）利用过圆内一点的最短弦长求法去求直线l的方程．
【解题过程】(1)
圆的圆心，半径
因为直线l的斜率为，
则过点的直线l的方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以．
(2)
由题知，当直线时，最小，此时，
故直线l的方程为，即．
20．(2023·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．

（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程
（2）当时，求折痕长的最大值．
答案：（1）；（2）
【解题思路】当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为，即可得出．
当时，折痕长为当时，折痕所在直线交BC于，交y轴于利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．
【解题过程】解：（1）①当时，此时点A与点D重合，折痕所在直线的方程为．
②当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，
故点G的坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点线段OG的中点为，
故折痕所在直线的方程为，即．
综上所述，折痕所在直线的方程为．
当时，折痕的长为
当时，折痕所在的直线交直线BC于点，交y轴于点．
,,则在上，
，，
的取值范围为，
故点M在线段上．
，
折痕长度的最大值为
而，故折痕长度的最大值为
类型五 求点到直线的距离（3道）
21．(2023·湖南省临湘市教研室高二期末）直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线平行，求直线的方程；
(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程．
（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．
【解题过程】(1)
解：由，解得，
所以两直线和的交点为．
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为．
(2)
解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．
当的斜率存在时，设直限的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
22．(2023·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．
（1）求边的垂直平分线所在的直线的方程；
（2）若的面积为5，求点的坐标．
答案：（1）；（2）或．
【解题思路】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程．
（2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值．
【解题过程】解：（1），，
的中点的坐标为，
又
设边的垂直平分线所在的直线的斜率为
则
，
可得的方程为，
即．
边的垂直平分线所在的直线的方程
（2）边所在的直线方程为
设边上的高为即点到直线的距离为
且
解得
解得或，
点的坐标为或．
23．(2023·重庆市万州第二高级中学高二期末）已知直线：.
(1)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
(2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值.
答案：(1)
(2)4
【解题思路】（1）将直线化成点斜式，由垂直关系可求出值，进而得解；
（2）由直线方程分别求出，表示出，结合基本不等式可求面积的最小值.
【解题过程】(1)
由变形得，则设直线过，要使点到直线距离最大，则满足，，则，直线方程为，即；
(2)
由题知，，，令得，即，令得，即，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为4.
类型六 求两平行直线间的距离（4道）
24．(2023·吉林·长春市实验中学高二期末）已知直线与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；
(2)求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
答案：(1)；.
(2)或.
【解题思路】(1)首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，再根据两平行直线之间距离公式即可计算距离；
(2)根据截距式方程的求法解答．
【解题过程】（1）
由得．
设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程为．
∴两平行线间的距离．
（2）
当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
25．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为.
（1）求的最小值；
（2）当直线与轴平行时，求的值.
答案：（1）3；（2）5.
【解题思路】（1）由题可得和的距离即为的最小值；
（2）可得此时直线的方程为，求出交点坐标即可求出距离.
【解题过程】（1）由题可得当且时，取得最小值，即和的距离，
由两平行线间的距离公式，得，
所以的最小值为3.
（2）当直线与轴平行时，的方程为，
设直线与直线，分别交于点，，
则，，
所以，即，
所以.
26．(2023·安徽芜湖·高二期末）直线：和：．
(1)若两直线垂直，求m的值；
(2)若两直线平行，求平行线间的距离．
答案：(1)；
(2)
【解题思路】（1）由直线一般方程的垂直公式，即得解；
（2）由直线一般方程的平行公式，求得，再由平行线的距离公式，即得解.
【解题过程】(1)
∵两直线垂直，∴，解得．
(2)
∵两直线平行，∴，
解得或1，经过验证时两条直线重合，舍去．∴．
可得：直线：，：．
∴两直线间的距离．
27．(2023·广东揭阳·高二期末）已知直线和直线．
(1)若时，求a的值；
(2)当平行，求两直线，的距离．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.
（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.
【解题过程】(1)
∵，且，
∴，
解得．
(2)
∵，，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为．
类型七 与面积有关的问题（7道）
28．(2023·广东佛山·高二期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)求边AC上的中线所在直线方程；
(2)求的面积．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）先求得的中点，由此求得边AC上的中线所在直线方程.
（2）结合点到直线距离公式求得的面积.
【解题过程】(1)
的中点为，
所以边AC上的中线所在直线方程为.
(2)
直线的方程为，
到直线的距离为，
，
所以.
29．(2023·安徽宣城·高二期末）已知直线l经过直线，的交点M．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
答案：(1)
(2)4
【解题思路】（1）求出两直线的交点M的坐标，设直线l的方程为代入点M的坐标可得答案；
（2）设，，因为为线段AB的中点，可得，由的面积为可得答案.
【解题过程】(1)
由，得，
所以点M的坐标为，
因为，则设直线l的方程为，
又l过点，代入得，故直线l方程为.
(2)
设，，因为为线段AB的中点，则
，所以，故，，
则的面积为.
30．(2023·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．
(1)求边所在直线的方程；
(2)边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）利用两点式求得边所在直线方程；
（2）利用点到直线的距离公式求得A到直线的距离，根据面积以及点A在直线上列方程组，解方程组求得A点的坐标.
【解题过程】(1)
解：由、得边所在直线方程为，即，
故边所在直线的方程为.
(2)
解：因为A到边所在直线的距离为，
又，
所以，所以，
所以，则或，
由于A在直线上，故或，
解得或，
所以或.
31．(2023·湖南·华容县教育科学研究室高二期末）已知直线和的交点为．
(1)若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
(2)若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；
（2）设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.
【解题过程】(1)
解：联立的方程，解得，即
设直线的方程为：，将带入可得
所以的方程为：；
(2)
解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
则直线与两坐标轴交点为，由题意得，
解得：或
所以直线的方程为：或，
即：或.
法②：设直线的斜率为，则的方程为，
当时，
当时，
所以，解得：或
所以m的方程为或
即：或.
32．(2023·浙江绍兴·高二期末）已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若的面积为，求直线l的方程；
(2)求的面积的最小值．
答案：(1)或
(2)4
【解题思路】（1）设直线方程为，根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线，利用面积求出后可得直线方程.
（2）结合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.
【解题过程】(1)
法一：（1）设直线，则
解得或，所以直线或．
法二：设直线，，则，．
则，∴或﹣8
所以直线或．
(2)
法一：∵，∴，∴，此时，．
∴面积的最小值为4，此时直线．
法二：∵，
∴，
此时，∴面积的最小值为4，此时直线．
33．(2023·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
答案：(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【解题思路】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
【解题过程】(1)
解：由题意可得.
(2)
解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
34．(2023·江苏·高二期末）如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.
（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；
（2）若，求的面积的最大值；
（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.
答案：（1）；（2）；（3）证明见解析，定点坐标为.
【解题思路】（1）当直线斜率不存在时，求出点坐标得三角形面积，当斜率存在时，设直线为，由题意可得，然后求出，，由得的取值范围，计算出面积，令，换元后利用函数的性质求得取最小值时的值；
（2）设，则，用正弦定理表示出，把表示为的函数，由三角函数知识求得最大值；
（3）写出坐标，，，斜率不存在进写出方程，斜率存在时，写出方程，可得斜率不存在时方程也适合此式，代入，化方程为的方程，由它关于恒成立可得定点坐标．
【解题过程】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为，
的面积为，
当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，
令，解得，
联立，可得，
由得或，由得或，所以或．
所以的面积
令，则，
则
因为，所以当时，面积最小，
此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.
（2）下面用弧度表示角，设，则，
由正弦定理得，
所以，
因此
当即时，的面积的最大，最大值为.
（3）因为，所以，
所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①），
当直线斜率存在时，即时，直线方程为，
整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立），
同时除以得③，
又因为，所以代入③整理得
，对于任意都成立，
所以，解得，
所以直线过定点，定点坐标为.