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数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程课时训练
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这是一份数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程课时训练，共21页。试卷主要包含了直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，直线的两点式方程，直线的截距式方程，直线的一般式方程，辨析直线方程的五种形式，方向向量与直线的参数方程等内容，欢迎下载使用。
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
6．辨析直线方程的五种形式
7．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型1 直线的点斜式方程】
【方法点拨】
(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；
【例1】(2023·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程y−y0=kx−x0可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）在等腰三角形AOB中，AO=AB，O0,0、A1,3，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为（ ）
A．y−1=3x−3B．y−1=−3x−3
C．y−3=3x−1D．y−3=−3x−1
【变式1-2】(2023·四川乐山·高二期末（文））过点A2,1且斜率为2的直线方程为（ ）
A．2x−y+3=0B．2x−y−3=0
C．x−2y+1=0D．x−2y=0
【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．3x−y−53=0B．x−y+3=0
C．x+y−3=0D．x+y+3=0
【题型2 直线的斜截式方程】
【方法点拨】
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.
【例2】（2023·全国·高二课时练习）过点P13,−1与P2−2,1的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=25x+15B．y=−25x+15
C．y=−25x−115D．y=25x−115
【变式2-1】（2023·全国·高二课时练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【变式2-2】（2023·辽宁·高一开学考试）已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A．±3B．43C．−43D．±43
【变式2-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知k∈R，b=k2−2k+3，则下列直线的方程不可能是y=kx+b的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型3 直线的两点式方程】
【方法点拨】
已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.
注：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
【例3】(2023·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2y+3=0
C．2x+y−3=0D．x+2y−3=0
【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）经过两点x1,y1、x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1=y−y1y2−y1B．x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1D．y−y1=y2−y1x2−x1x−x1
【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【题型4 直线的截距式方程】
【方法点拨】
(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【例4】(2023·全国·高二）已知直线l过点P2,3，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的截距式方程为（ ）
A．x4+y6=1B．x8+y12=1C．x132+y133=1D．x6+y4=1
【变式4-1】(2023·全国·高一课时练习）已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为 ( )
A．x4+y8=1B．x8+y4=1
C．x6+y4=1D．x4+y6=1
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ．
【变式4-3】（2023·全国·高一课时练习）已知直线经过点A−5,6和点B−4,8，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
【题型5 直线的一般式方程】
【方法点拨】
(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），
得出直线方程.
(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方
程.
【例5】(2023·全国·高二课时练习）直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，则（ ）
A．ab>0,bc>0B．ab<0,bc>0
C．ab>0,bc<0D．ab<0,bc<0
【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）若方程m2−1x+m2−my+1=0表示一条直线，则实数m满足（ ）
A．m≠0B．m≠1
C．m≠−1D．m≠1且m≠−1且m≠0
【变式5-2】(2023·吉林·高二阶段练习（理））经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为（ ）
A．x+2y−4=0B．x−2y−12=0C．2x+y−14=0D．x+2y+4=0
【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的直线（图中实线）可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 由直线的方向向量求直线方程】
【方法点拨】
根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.
【例6】(2023·全国·高二专题练习）过点1,−1且方向向量为−2,3的直线的方程为（ ）
A．3x−2y−5=0B．2x−3x−5=0
C．3x+2y−1=0D．2x+3y+1=0
【变式6-1】（2023·全国·高二课时练习）过点2,−1且方向向量为1,2的直线的方程为（ ）
A．y=2x+5B．y=−2x+5
C．y=2x−5D．y=−2x−5
【变式6-2】(2023·上海·高三专题练习）过点(−1,0)，且与直线x+15=y+1−3有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A．3x+5y−3=0B．3x+5y+3=0
C．3x+5y−1=0D．5x−3y+5=0
【变式6-3】（2023·全国·高二课时练习）过点P0，1 ，且以a=−1，2为方向向量的直线方程为（ ）
A．y=−2x+1B．y＝2x+1C．y=−12x+1D．y=12x+1
专题2.3 直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
6．辨析直线方程的五种形式
7．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型1 直线的点斜式方程】
【方法点拨】
(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；
【例1】(2023·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程y−y0=kx−x0可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【解题思路】由点斜式方程的定义可得答案.
【解答过程】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
故选：D.
【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）在等腰三角形AOB中，AO=AB，O0,0、A1,3，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为（ ）
A．y−1=3x−3B．y−1=−3x−3
C．y−3=3x−1D．y−3=−3x−1
【解题思路】设线段OB的中点为M，连接AM，可知AM⊥x轴，求出点B的坐标，进而可求得直线AB的点斜式方程.
【解答过程】设线段OB的中点为M，连接AM，
∵AO=AB，则AM⊥x轴，则点M1,0，故点B2,0，
所以，直线AB的斜率为k=31−2=−3，
所以直线AB的点斜式方程为y−3=−3x−1．
故选：D．
【变式1-2】(2023·四川乐山·高二期末（文））过点A2,1且斜率为2的直线方程为（ ）
A．2x−y+3=0B．2x−y−3=0
C．x−2y+1=0D．x−2y=0
【解题思路】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】由题意可知所求直线的方程为y−1=2x−2，即2x−y−3=0.
故选：B.
【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．3x−y−53=0B．x−y+3=0
C．x+y−3=0D．x+y+3=0
【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.
【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k=tan135°=−1，
所以直线方程为y+23=−x−3，即x+y+3=0.
故选：D．
【题型2 直线的斜截式方程】
【方法点拨】
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.
【例2】（2023·全国·高二课时练习）过点P13,−1与P2−2,1的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=25x+15B．y=−25x+15
C．y=−25x−115D．y=25x−115
【解题思路】设所求直线的斜截式方程为y=kx+b，将点P1、P2的坐标代入直线方程，求出k、b的值，即可得解.
【解答过程】设所求直线的斜截式方程为y=kx+b，则3k+b=−1−2k+b=1，解得k=−25b=15，
因此，直线P1P2的斜截式方程为y=−25x+15.
故选：B.
【变式2-1】（2023·全国·高二课时练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【解题思路】化方程为斜截式即可.
【解答过程】直线2x+y−3=0用斜截式表示为y=−2x+3，
故选：B．
【变式2-2】（2023·辽宁·高一开学考试）已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A．±3B．43C．−43D．±43
【解题思路】求出直线与y轴交点和与x轴交点的坐标，利用面积公式计算即可.
【解答过程】对于直线y=kx+4，能与两坐标轴围成三角形，则k≠0，
令x=0，得y=4，所以直线与y轴交点坐标为0,4，
令y=0，得x=−4k，所以直线与x轴交点坐标为−4k,0，
所以直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为12×4×−4k=6，
解得k=±43.
故选：D.
【变式2-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知k∈R，b=k2−2k+3，则下列直线的方程不可能是y=kx+b的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据直线斜率k与y轴上的截距b的关系判断选项即可得解.
【解答过程】∵b=k2−2k+3=(k−1)2+2，
∴直线的方程y=kx+b在y轴上的截距不小于2，且当k=1时，y轴上的截距为2，
故D正确，当k=−1时，b=6, 故B不正确，当b=3时，k=0或k=2，由图象知AC正确.
故选：B.
【题型3 直线的两点式方程】
【方法点拨】
已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.
注：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
【例3】(2023·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2y+3=0
C．2x+y−3=0D．x+2y−3=0
【解题思路】根据两点式方程直接求解即可.
【解答过程】解：∵直线过两点(1,1)和(2,−1)，
∴直线的两点式方程为y−(−1)1−(−1)＝x−21−2，整理得2x+y−3=0.
故选：C.
【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.
【解答过程】由题意知l不与x,y轴平行，故由直线l的两点式方程可得m+21348+2=m−41348−2，解得：m=2023，
故选：C.
【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）经过两点x1,y1、x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1=y−y1y2−y1B．x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1D．y−y1=y2−y1x2−x1x−x1
【解题思路】根据两点式直线方程即可求解.
【解答过程】当经过x1,y1、x2,y2的直线不与x,y轴平行时，所有直线均可以用x−x2x1−x2=y−y2y1−y2，
由于x1,x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x,y轴平行的直线.
故选:C.
【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【解答过程】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为y+31+3=x−1−2−1，即4x+3y+5=0．
故选：C．
【题型4 直线的截距式方程】
【方法点拨】
(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【例4】(2023·全国·高二）已知直线l过点P2,3，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的截距式方程为（ ）
A．x4+y6=1B．x8+y12=1C．x132+y133=1D．x6+y4=1
【解题思路】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【解答过程】解：设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，则△AOB的面积为12ab=12①．
因为直线l过点P(2,3)，所以2a+3b=1②．
联立①②，解得a=4，b=6，
故直线l的方程为x4+y6=1，
故选：A．
【变式4-1】(2023·全国·高一课时练习）已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为 ( )
A．x4+y8=1B．x8+y4=1
C．x6+y4=1D．x4+y6=1
【解题思路】由中点坐标公式得到点M,N的坐标，即可得到直线MN的两点式方程，由两点式方程转化为截距式方程即可.
【解答过程】解：因为△ABC三顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2)，
又M为AB的中点，N为AC的中点，由中点坐标公式可得：M(2,4),N(3,2)，
则直线MN的两点式方程为：y−42−4=x−23−2，故截距式方程为x4+y8=1.
故选：A．
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 x−2+y3=1 ．
【解题思路】根据已知两点可直接得出.
【解答过程】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为x−2+y3=1.
故答案为：x−2+y3=1.
【变式4-3】（2023·全国·高一课时练习）已知直线经过点A−5,6和点B−4,8，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
【解题思路】根据直线过A−5,6,B−4,8求得两点式方程，再转化其他形式即可.
【解答过程】解：
∵直线过A−5,6,B−4,8，
∴由两点式得y−68−6=x+5−4+5．
整理得一般式方程为2x−y+16=0，
两边同除以−16，整理得截距式方程为x−8+y16=1，
由截距式方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为−8、16．
【题型5 直线的一般式方程】
【方法点拨】
(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），
得出直线方程.
(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方
程.
【例5】(2023·全国·高二课时练习）直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，则（ ）
A．ab>0,bc>0B．ab<0,bc>0
C．ab>0,bc<0D．ab<0,bc<0
【解题思路】数形结合根据斜率与截距列不等式求解即可.
【解答过程】直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，如图所示，
则a≠0,b≠0,c≠0，且−cb<0−ab>0，则ab<0,bc>0．
故选：B．
【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）若方程m2−1x+m2−my+1=0表示一条直线，则实数m满足（ ）
A．m≠0B．m≠1
C．m≠−1D．m≠1且m≠−1且m≠0
【解题思路】若Ax+By+C=0表示一条直线，则A,B不能同时为0，即A2+B2≠0.
【解答过程】当m2−1=0时，m＝1或m＝－1；当m2−m=0时，m＝0或m＝1.
要使方程m2−1x+m2−my+1=0表示一条直线，则m2−1，m2−m不能同时为0，
所以m≠1，
故选：B.
【变式5-2】(2023·吉林·高二阶段练习（理））经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为（ ）
A．x+2y−4=0B．x−2y−12=0C．2x+y−14=0D．x+2y+4=0
【解题思路】先求出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可.
【解答过程】解：由题意得，经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为y+2=−2x−8，
即2x+y−14=0.
故选：C.
【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的直线（图中实线）可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由题意可得直线的斜率为a，在y轴上的截距为−1a，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为−1，逐个分析判断即可.
【解答过程】关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的是直线，且直线的斜率为a，在y轴上的截距为−1a，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为−1，
对于A，直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A，
对于B，直线的斜率小于1，它在y轴上的截距大于−1小于零，不满足题意，所以排除B，
对于C，直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C，
对于D，直线的斜率小于−1，它在y轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立，
故选：D.
【题型6 由直线的方向向量求直线方程】
【方法点拨】
根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.
【例6】(2023·全国·高二专题练习）过点1,−1且方向向量为−2,3的直线的方程为（ ）
A．3x−2y−5=0B．2x−3x−5=0
C．3x+2y−1=0D．2x+3y+1=0
【解题思路】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】由方向向量得直线的斜率为－32，所以得直线方程为y+1=−32x−1，即3x+2y−1=0．
故选：C.
【变式6-1】（2023·全国·高二课时练习）过点2,−1且方向向量为1,2的直线的方程为（ ）
A．y=2x+5B．y=−2x+5
C．y=2x−5D．y=−2x−5
【解题思路】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】因为所求直线的方向向量为1,2，所以该直线的斜率为2．
又该直线过点2,−1，所以所求直线的方程为y−−1=2x−2，即y=2x−5．
故选：C.
【变式6-2】(2023·上海·高三专题练习）过点(−1,0)，且与直线x+15=y+1−3有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A．3x+5y−3=0B．3x+5y+3=0
C．3x+5y−1=0D．5x−3y+5=0
【解题思路】利用直线的方向向量与直线平行与斜率的关系，即可得出．
【解答过程】由x+15=y+1−3可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率−35，
由题意可知所求直线的斜率k=−35，
故所求的直线方程为y=−35（x+1）即3x+5y+3＝0．
故选：B．
【变式6-3】（2023·全国·高二课时练习）过点P0，1 ，且以a=−1，2为方向向量的直线方程为（ ）
A．y=−2x+1B．y＝2x+1C．y=−12x+1D．y=12x+1
【解题思路】求出以a为方向向量的直线的斜率，再根据直线过点P，用点斜式求直线的方程可得答案.
【解答过程】根据直线的方向向量的概念，得以a=−1，2为方向向量的直线的斜率等于−2，
再根据直线过点P0，1，用点斜式求出直线方程为y−1=−2x−0，即y=−2x+1，
故选：A.
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
6．辨析直线方程的五种形式
7．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型1 直线的点斜式方程】
【方法点拨】
(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；
【例1】(2023·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程y−y0=kx−x0可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）在等腰三角形AOB中，AO=AB，O0,0、A1,3，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为（ ）
A．y−1=3x−3B．y−1=−3x−3
C．y−3=3x−1D．y−3=−3x−1
【变式1-2】(2023·四川乐山·高二期末（文））过点A2,1且斜率为2的直线方程为（ ）
A．2x−y+3=0B．2x−y−3=0
C．x−2y+1=0D．x−2y=0
【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．3x−y−53=0B．x−y+3=0
C．x+y−3=0D．x+y+3=0
【题型2 直线的斜截式方程】
【方法点拨】
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.
【例2】（2023·全国·高二课时练习）过点P13,−1与P2−2,1的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=25x+15B．y=−25x+15
C．y=−25x−115D．y=25x−115
【变式2-1】（2023·全国·高二课时练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【变式2-2】（2023·辽宁·高一开学考试）已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A．±3B．43C．−43D．±43
【变式2-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知k∈R，b=k2−2k+3，则下列直线的方程不可能是y=kx+b的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型3 直线的两点式方程】
【方法点拨】
已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.
注：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
【例3】(2023·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2y+3=0
C．2x+y−3=0D．x+2y−3=0
【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）经过两点x1,y1、x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1=y−y1y2−y1B．x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1D．y−y1=y2−y1x2−x1x−x1
【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【题型4 直线的截距式方程】
【方法点拨】
(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【例4】(2023·全国·高二）已知直线l过点P2,3，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的截距式方程为（ ）
A．x4+y6=1B．x8+y12=1C．x132+y133=1D．x6+y4=1
【变式4-1】(2023·全国·高一课时练习）已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为 ( )
A．x4+y8=1B．x8+y4=1
C．x6+y4=1D．x4+y6=1
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ．
【变式4-3】（2023·全国·高一课时练习）已知直线经过点A−5,6和点B−4,8，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
【题型5 直线的一般式方程】
【方法点拨】
(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），
得出直线方程.
(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方
程.
【例5】(2023·全国·高二课时练习）直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，则（ ）
A．ab>0,bc>0B．ab<0,bc>0
C．ab>0,bc<0D．ab<0,bc<0
【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）若方程m2−1x+m2−my+1=0表示一条直线，则实数m满足（ ）
A．m≠0B．m≠1
C．m≠−1D．m≠1且m≠−1且m≠0
【变式5-2】(2023·吉林·高二阶段练习（理））经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为（ ）
A．x+2y−4=0B．x−2y−12=0C．2x+y−14=0D．x+2y+4=0
【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的直线（图中实线）可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 由直线的方向向量求直线方程】
【方法点拨】
根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.
【例6】(2023·全国·高二专题练习）过点1,−1且方向向量为−2,3的直线的方程为（ ）
A．3x−2y−5=0B．2x−3x−5=0
C．3x+2y−1=0D．2x+3y+1=0
【变式6-1】（2023·全国·高二课时练习）过点2,−1且方向向量为1,2的直线的方程为（ ）
A．y=2x+5B．y=−2x+5
C．y=2x−5D．y=−2x−5
【变式6-2】(2023·上海·高三专题练习）过点(−1,0)，且与直线x+15=y+1−3有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A．3x+5y−3=0B．3x+5y+3=0
C．3x+5y−1=0D．5x−3y+5=0
【变式6-3】（2023·全国·高二课时练习）过点P0，1 ，且以a=−1，2为方向向量的直线方程为（ ）
A．y=−2x+1B．y＝2x+1C．y=−12x+1D．y=12x+1
专题2.3 直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
6．辨析直线方程的五种形式
7．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型1 直线的点斜式方程】
【方法点拨】
(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；
【例1】(2023·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程y−y0=kx−x0可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【解题思路】由点斜式方程的定义可得答案.
【解答过程】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
故选：D.
【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）在等腰三角形AOB中，AO=AB，O0,0、A1,3，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为（ ）
A．y−1=3x−3B．y−1=−3x−3
C．y−3=3x−1D．y−3=−3x−1
【解题思路】设线段OB的中点为M，连接AM，可知AM⊥x轴，求出点B的坐标，进而可求得直线AB的点斜式方程.
【解答过程】设线段OB的中点为M，连接AM，
∵AO=AB，则AM⊥x轴，则点M1,0，故点B2,0，
所以，直线AB的斜率为k=31−2=−3，
所以直线AB的点斜式方程为y−3=−3x−1．
故选：D．
【变式1-2】(2023·四川乐山·高二期末（文））过点A2,1且斜率为2的直线方程为（ ）
A．2x−y+3=0B．2x−y−3=0
C．x−2y+1=0D．x−2y=0
【解题思路】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】由题意可知所求直线的方程为y−1=2x−2，即2x−y−3=0.
故选：B.
【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．3x−y−53=0B．x−y+3=0
C．x+y−3=0D．x+y+3=0
【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.
【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k=tan135°=−1，
所以直线方程为y+23=−x−3，即x+y+3=0.
故选：D．
【题型2 直线的斜截式方程】
【方法点拨】
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.
【例2】（2023·全国·高二课时练习）过点P13,−1与P2−2,1的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=25x+15B．y=−25x+15
C．y=−25x−115D．y=25x−115
【解题思路】设所求直线的斜截式方程为y=kx+b，将点P1、P2的坐标代入直线方程，求出k、b的值，即可得解.
【解答过程】设所求直线的斜截式方程为y=kx+b，则3k+b=−1−2k+b=1，解得k=−25b=15，
因此，直线P1P2的斜截式方程为y=−25x+15.
故选：B.
【变式2-1】（2023·全国·高二课时练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【解题思路】化方程为斜截式即可.
【解答过程】直线2x+y−3=0用斜截式表示为y=−2x+3，
故选：B．
【变式2-2】（2023·辽宁·高一开学考试）已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A．±3B．43C．−43D．±43
【解题思路】求出直线与y轴交点和与x轴交点的坐标，利用面积公式计算即可.
【解答过程】对于直线y=kx+4，能与两坐标轴围成三角形，则k≠0，
令x=0，得y=4，所以直线与y轴交点坐标为0,4，
令y=0，得x=−4k，所以直线与x轴交点坐标为−4k,0，
所以直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为12×4×−4k=6，
解得k=±43.
故选：D.
【变式2-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知k∈R，b=k2−2k+3，则下列直线的方程不可能是y=kx+b的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据直线斜率k与y轴上的截距b的关系判断选项即可得解.
【解答过程】∵b=k2−2k+3=(k−1)2+2，
∴直线的方程y=kx+b在y轴上的截距不小于2，且当k=1时，y轴上的截距为2，
故D正确，当k=−1时，b=6, 故B不正确，当b=3时，k=0或k=2，由图象知AC正确.
故选：B.
【题型3 直线的两点式方程】
【方法点拨】
已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.
注：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
【例3】(2023·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2y+3=0
C．2x+y−3=0D．x+2y−3=0
【解题思路】根据两点式方程直接求解即可.
【解答过程】解：∵直线过两点(1,1)和(2,−1)，
∴直线的两点式方程为y−(−1)1−(−1)＝x−21−2，整理得2x+y−3=0.
故选：C.
【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.
【解答过程】由题意知l不与x,y轴平行，故由直线l的两点式方程可得m+21348+2=m−41348−2，解得：m=2023，
故选：C.
【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）经过两点x1,y1、x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1=y−y1y2−y1B．x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1D．y−y1=y2−y1x2−x1x−x1
【解题思路】根据两点式直线方程即可求解.
【解答过程】当经过x1,y1、x2,y2的直线不与x,y轴平行时，所有直线均可以用x−x2x1−x2=y−y2y1−y2，
由于x1,x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x,y轴平行的直线.
故选:C.
【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【解答过程】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为y+31+3=x−1−2−1，即4x+3y+5=0．
故选：C．
【题型4 直线的截距式方程】
【方法点拨】
(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【例4】(2023·全国·高二）已知直线l过点P2,3，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的截距式方程为（ ）
A．x4+y6=1B．x8+y12=1C．x132+y133=1D．x6+y4=1
【解题思路】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【解答过程】解：设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，则△AOB的面积为12ab=12①．
因为直线l过点P(2,3)，所以2a+3b=1②．
联立①②，解得a=4，b=6，
故直线l的方程为x4+y6=1，
故选：A．
【变式4-1】(2023·全国·高一课时练习）已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为 ( )
A．x4+y8=1B．x8+y4=1
C．x6+y4=1D．x4+y6=1
【解题思路】由中点坐标公式得到点M,N的坐标，即可得到直线MN的两点式方程，由两点式方程转化为截距式方程即可.
【解答过程】解：因为△ABC三顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2)，
又M为AB的中点，N为AC的中点，由中点坐标公式可得：M(2,4),N(3,2)，
则直线MN的两点式方程为：y−42−4=x−23−2，故截距式方程为x4+y8=1.
故选：A．
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 x−2+y3=1 ．
【解题思路】根据已知两点可直接得出.
【解答过程】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为x−2+y3=1.
故答案为：x−2+y3=1.
【变式4-3】（2023·全国·高一课时练习）已知直线经过点A−5,6和点B−4,8，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
【解题思路】根据直线过A−5,6,B−4,8求得两点式方程，再转化其他形式即可.
【解答过程】解：
∵直线过A−5,6,B−4,8，
∴由两点式得y−68−6=x+5−4+5．
整理得一般式方程为2x−y+16=0，
两边同除以−16，整理得截距式方程为x−8+y16=1，
由截距式方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为−8、16．
【题型5 直线的一般式方程】
【方法点拨】
(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），
得出直线方程.
(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方
程.
【例5】(2023·全国·高二课时练习）直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，则（ ）
A．ab>0,bc>0B．ab<0,bc>0
C．ab>0,bc<0D．ab<0,bc<0
【解题思路】数形结合根据斜率与截距列不等式求解即可.
【解答过程】直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，如图所示，
则a≠0,b≠0,c≠0，且−cb<0−ab>0，则ab<0,bc>0．
故选：B．
【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）若方程m2−1x+m2−my+1=0表示一条直线，则实数m满足（ ）
A．m≠0B．m≠1
C．m≠−1D．m≠1且m≠−1且m≠0
【解题思路】若Ax+By+C=0表示一条直线，则A,B不能同时为0，即A2+B2≠0.
【解答过程】当m2−1=0时，m＝1或m＝－1；当m2−m=0时，m＝0或m＝1.
要使方程m2−1x+m2−my+1=0表示一条直线，则m2−1，m2−m不能同时为0，
所以m≠1，
故选：B.
【变式5-2】(2023·吉林·高二阶段练习（理））经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为（ ）
A．x+2y−4=0B．x−2y−12=0C．2x+y−14=0D．x+2y+4=0
【解题思路】先求出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可.
【解答过程】解：由题意得，经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为y+2=−2x−8，
即2x+y−14=0.
故选：C.
【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的直线（图中实线）可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由题意可得直线的斜率为a，在y轴上的截距为−1a，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为−1，逐个分析判断即可.
【解答过程】关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的是直线，且直线的斜率为a，在y轴上的截距为−1a，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为−1，
对于A，直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A，
对于B，直线的斜率小于1，它在y轴上的截距大于−1小于零，不满足题意，所以排除B，
对于C，直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C，
对于D，直线的斜率小于−1，它在y轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立，
故选：D.
【题型6 由直线的方向向量求直线方程】
【方法点拨】
根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.
【例6】(2023·全国·高二专题练习）过点1,−1且方向向量为−2,3的直线的方程为（ ）
A．3x−2y−5=0B．2x−3x−5=0
C．3x+2y−1=0D．2x+3y+1=0
【解题思路】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】由方向向量得直线的斜率为－32，所以得直线方程为y+1=−32x−1，即3x+2y−1=0．
故选：C.
【变式6-1】（2023·全国·高二课时练习）过点2,−1且方向向量为1,2的直线的方程为（ ）
A．y=2x+5B．y=−2x+5
C．y=2x−5D．y=−2x−5
【解题思路】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】因为所求直线的方向向量为1,2，所以该直线的斜率为2．
又该直线过点2,−1，所以所求直线的方程为y−−1=2x−2，即y=2x−5．
故选：C.
【变式6-2】(2023·上海·高三专题练习）过点(−1,0)，且与直线x+15=y+1−3有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A．3x+5y−3=0B．3x+5y+3=0
C．3x+5y−1=0D．5x−3y+5=0
【解题思路】利用直线的方向向量与直线平行与斜率的关系，即可得出．
【解答过程】由x+15=y+1−3可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率−35，
由题意可知所求直线的斜率k=−35，
故所求的直线方程为y=−35（x+1）即3x+5y+3＝0．
故选：B．
【变式6-3】（2023·全国·高二课时练习）过点P0，1 ，且以a=−1，2为方向向量的直线方程为（ ）
A．y=−2x+1B．y＝2x+1C．y=−12x+1D．y=12x+1
【解题思路】求出以a为方向向量的直线的斜率，再根据直线过点P，用点斜式求直线的方程可得答案.
【解答过程】根据直线的方向向量的概念，得以a=−1，2为方向向量的直线的斜率等于−2，
再根据直线过点P0，1，用点斜式求出直线方程为y−1=−2x−0，即y=−2x+1，
故选：A.
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