高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程巩固练习，共15页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）直线a−1x−a+1y+2=0恒过定点（ ）
A．1,1B．1,−1C．−1,1D．−1,−1
2．（3分）(2023·江苏·高二阶段练习）过点A2,3且与直线l:2x−4y+7=0平行的直线方程是（ ）
A．x−2y+4=0B．x−2y−4=0C．2x−y+1=0D．x+2y−8=0
3．（3分）(2023·全国·高二专题练习）过点P(−1,2)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为（ ）
A．2x+y+4=0B．2x+y=0
C．x+2y−3=0D．x−2y+5=0
4．（3分）（2023·福建·高二阶段练习）已知直线l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，则“l1//l2”的必要不充分条件是（ ）
A．m=−2B．m=1
C．m=−2或m=1D．m=2
5．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线kx−y+4−k=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．x−2y−7=0B．x−2y+7=0C．2x+y−6=0D．x+2y−6=0
6．（3分）(2023·四川·高二阶段练习（文））有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0相交于点P(P与A,B不重合），则△PAB面积的最大值是（ ）
A．10B．5C．25D．52
8．（3分）（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A2,0,B0,1，且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．2x+4y−3=0B．x−2y−3=0
C．2x−y−3=0D．4x−2y−3=0
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l1:x+my+6=0，l2:(m−2)x+3y+2m=0，下列命题中正确的有（ ）
A．当m=3时，l1与l2重合B．若l1∥l2，则m=0
C．l1过定点(−6,0)D．l2一定不与坐标轴平行
10．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l:x−(a2−a+1)y−1=0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与直线x−y=0平行，则a=0
B．当a=1时，直线l与直线x+y=0垂直
C．直线l过定点1,0
D．当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
11．（4分）(2023·重庆·高三阶段练习）已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1−a)y−1=0，则（ ）
A．l1恒过点(2,2)B．若l1//l2，则a=±22
C．若l1⊥l2，则a=±1D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
12．（4分）(2023·河北·高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LenhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(−2,0),B(0,2)，其欧拉线方程为x−y+1=0，则顶点C的坐标可以是（ ）
A．2,0B．1,0C．0,−1D．0,−2
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）直线l过点1,0，且与直线3x+2y−4=0平行，则直线l的一般式方程为 .
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）设直线mx−y−m+2=0过定点A，则过点A且与直线x+2y−1=0垂直的直线方程为 ．
15．（4分）(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(−3,4)两点，O为坐标原点，则∠AOB的平分线所在直线的方程为 .
16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my+m=0和过定点B的动直线mx−y−m+2=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·江苏·高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．
18．（6分）(2023·江苏·高二阶段练习）已知直线l过定点A(2,1).
(1)若直线l与直线x+2y−5=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.
19．（8分）(2023·四川省高一阶段练习（理））已知平行四边形ABCD的三个顶点A(1,1)､B(3,−3)､C(7,−1)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)在△ABC中，求边BC的高线所在直线的方程．
20．（8分）(2023·河南开封·高二阶段练习）已知直线l1的方程为3x−4y+2=0，按照下列要求，求直线l的方程：
(1)l与l1垂直，且过点(1,3)；
(2)l//l1，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
21．（8分）(2023·江苏·高二课时练习）已知一条动直线3m+1x+m−1y−6m−2=0，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为6，求直线的方程.
22．（8分）（2023·湖南衡阳·高一期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90∘；点Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）.
专题2.6 直线的方程（二）-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）直线a−1x−a+1y+2=0恒过定点（ ）
A．1,1B．1,−1C．−1,1D．−1,−1
【解题思路】将直线变形为x−ya−x−y+2=0，则x−y=0且−x−y+2=0，即可求出定点.
【解答过程】将a−1x−a+1y+2=0变形为：x−ya−x−y+2=0，令x−y=0且−x−y+2=0，解得x=1,y=1，故直线恒过定点1，1，
故选：A.
2．（3分）(2023·江苏·高二阶段练习）过点A2,3且与直线l:2x−4y+7=0平行的直线方程是（ ）
A．x−2y+4=0B．x−2y−4=0C．2x−y+1=0D．x+2y−8=0
【解题思路】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【解答过程】由题意设所求方程为2x−4y+c=0c≠7，
因为直线经过点A2,3，
所以2×2−4×3+c=0，即c=8，所以所求直线为x−2y+4=0.
故选：A.
3．（3分）(2023·全国·高二专题练习）过点P(−1,2)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为（ ）
A．2x+y+4=0B．2x+y=0
C．x+2y−3=0D．x−2y+5=0
【解题思路】求出与直线x−2y+1=0垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】直线x−2y+1=0的斜率kl=12，因为l⊥l'，故l'的斜率kl'=−2，故直线l'的方程为y−2=−2(x+1)，即2x+y=0，
故选：B．
4．（3分）（2023·福建·高二阶段练习）已知直线l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，则“l1//l2”的必要不充分条件是（ ）
A．m=−2B．m=1
C．m=−2或m=1D．m=2
【解题思路】直线l1:x+(m+1)y+m=0，l2:mx+2y+1=0平行的充要条件是“m=−2”，进而可得答案．
【解答过程】解：∵直线l1:x+(m+1)y+m=0，l2:mx+2y+1=0，
若l1//l2，则m(m+1)−2=0，解得：m=−2或m=1
当m=1时，l1与l2重合，故“l1//l2” ⇔ “m=−2”，
故“l1//l2”的必要不充分条件是“m=−2或m=1”，
故选：C．
5．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线kx−y+4−k=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．x−2y−7=0B．x−2y+7=0C．2x+y−6=0D．x+2y−6=0
【解题思路】由题意可知，k<0，求出直线kx−y+4−k=0与两坐标轴的交点A0,4−k，B1−4k,0，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【解答过程】直线kx−y+4−k=0可变为kx−1−y+4=0，所以过定点P1,4，又因为直线kx−y+4−k=0在两坐标轴上的截距都是正值，可知k<0，
令x=0,y=4−k，所以直线与y轴的交点为A0,4−k，
令y=0,x=1−4k，所以直线与x轴的交点为B1−4k,0，
所以4−k+1−4k=5+−k+−4k≥5+2−k⋅−4k=5+4=9，
当且仅当−k=−4k即k=−2时取等，所以此时直线为：2x+y−6=0.
故选：C.
6．（3分）(2023·四川·高二阶段练习（文））有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率k及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.
【解答过程】由题意知：蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过(6,17.4),(21,8.4)两点，故其斜率k=8.4−17.421−6=−35，
∴直线方程为l−8.4=−35(t−21)，
∴当蜡烛燃尽时，有t−21=14，即t=35，
故选：B.
7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0相交于点P(P与A,B不重合），则△PAB面积的最大值是（ ）
A．10B．5C．25D．52
【解题思路】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点A与定点B，进而可得PA2+PB2=AB2=10，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【解答过程】由题意直线x+my=0过定点A(0,0)，
直线mx−y−m+3=0可变为m(x−1)−y+3=0，所以该直线过定点B(1,3)，
所以AB2=12+32=10，
又1×m+m×−1=0，
所以直线x+my=0与直线mx−y−m+3=0互相垂直，
所以PA2+PB2=AB2=10，
所以10=PA2+PB2≥2PA⋅PB即PA⋅PB≤5，
当且仅当PA=PB=5时取等号,
所以，S△PAB=12PA⋅PB≤52，即△PAB面积的最大值是52.
故选：D.
8．（3分）（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A2,0,B0,1，且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．2x+4y−3=0B．x−2y−3=0
C．2x−y−3=0D．4x−2y−3=0
【解题思路】因为AC=BC，结合题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，利用点斜式求方程．
【解答过程】∵AC=BC，结合题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线
AB的中点为M1,12，斜率kAB=−12，则AB垂直平分线的斜率k=2
则△ABC的欧拉线的方程为y−12=2x−1，即4x−2y−3=0
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l1:x+my+6=0，l2:(m−2)x+3y+2m=0，下列命题中正确的有（ ）
A．当m=3时，l1与l2重合B．若l1∥l2，则m=0
C．l1过定点(−6,0)D．l2一定不与坐标轴平行
【解题思路】当m=3时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出m，可判断选项B；将(−6,0)代入直线方程，可判断选项C；当m=2时，直线l2与x轴平行，判断出选项D．
【解答过程】当m=3时，直线l1:x+3y+6=0，直线l2:x+3y+6=0，即两直线重合，故A正确；
当l1∥l2时，有m(m−2)=3且2m≠6(m−2)，解得m=−1，故B错误；
因为−6+m×0+6=0，所以直线l1过定点(−6,0)，故C正确；
当m=2时，直线l2:y=−43与x轴平行，故D错误；
故选：AC．
10．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l:x−(a2−a+1)y−1=0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与直线x−y=0平行，则a=0
B．当a=1时，直线l与直线x+y=0垂直
C．直线l过定点1,0
D．当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【解题思路】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.
【解答过程】对于A项，若直线l与直线x−y=0平行，则a2−a＋1＝1⇒a(a−1)＝0⇒a＝0或1，故A错误；
对于B项，当a=1时，直线l为x−y−1＝0，斜率为1，而直线x+y=0斜率为－1，∴两条直线垂直，故B正确；
对于C项，x−(a2−a+1)y−1=0恒成立时，令y＝0，得x＝1，即直线过定点(1，0)，故C正确；
对于D项，当a=0时，直线l为x−y−1=0，令x=0⇒y=−1，令y=0⇒x=1，所以横截距和纵截距互为相反数，故D错误.
故选：BC.
11．（4分）(2023·重庆·高三阶段练习）已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1−a)y−1=0，则（ ）
A．l1恒过点(2,2)B．若l1//l2，则a=±22
C．若l1⊥l2，则a=±1D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
【解题思路】对于选项A，将直线l1的方程化为a(x+y)+x+2=0，再由x+y=0,x+2=0可求得定点；
对于选项B，通过斜率相等可以求解；
对于选项C，通过斜率之积等于−1可以求解；
对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.
【解答过程】直线l1:(a+1)x+ay+2=0，则a(x+y)+x+2=0，
由x+y=0x+2=0，得x=−2,y=2，所以l1恒过定点(−2,2)，所以A错误；
由l1//l2可得：a+1a=a1−a≠2−1，所以a=±22，B正确；
由l1⊥l2可得：(a+1)a+(1−a)a=0，a=0，所以C错误；
由l2:ax+(1−a)y−1=0，当a=1时，l2:x=1，不过第三象限；
当a≠1时，l2:y=aa−1x+11−a，不过第三象限，只需要aa−1≤011−a≥0，解得0≤a<1，
所以a的取值范围为0≤a≤1，所以D正确；
故选：BD.
12．（4分）(2023·河北·高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LenhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(−2,0),B(0,2)，其欧拉线方程为x−y+1=0，则顶点C的坐标可以是（ ）
A．2,0B．1,0C．0,−1D．0,−2
【解题思路】根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可.
【解答过程】设顶点C的坐标为(x,y)，所以重心坐标为(−2+x3,2+y3)，
因为欧拉线方程为x−y+1=0，所以−2+x3−2+y3+1=0⇒x−y=1.
A：当顶点C的坐标为2,0时，显然不满足x−y=1；
B：当顶点C的坐标为1,0时，显然满足x−y=1；
C：当顶点C的坐标为0,−1时，显然满足x−y=1；
D：当顶点C的坐标为0,−2时，显然不满足x−y=1，
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）直线l过点1,0，且与直线3x+2y−4=0平行，则直线l的一般式方程为 3x+2y−3=0 .
【解题思路】先利用平行假设直线l为3x+2y+C=0C≠−4，再将1,0代入即可得到答案
【解答过程】解:因为直线l与直线3x+2y−4=0平行，所以假设直线l为3x+2y+C=0C≠−4,
因为直线l过点1,0，所以3+C=0，解得C=−3，
所以直线l的一般式方程为3x+2y−3=0，
故答案为:3x+2y−3=0.
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）设直线mx−y−m+2=0过定点A，则过点A且与直线x+2y−1=0垂直的直线方程为 2x−y=0 ．
【解题思路】由已知得直线恒过的定点(1,2)，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为2x−y+c=0，代入可求得答案.
【解答过程】解：因为mx−y−m+2=0，所以y−2=m(x−1)，
所以直线mx−y−m+2=0恒过定点(1,2)，即A(1,2)，
因为过点A且与直线x+2y−1=0垂直，
所以设过点A的直线方程为2x−y+c=0，
所以2×1−2+c=0，即c=0，
所以所求直线方程为2x−y=0，
故答案为：2x−y=0.
15．（4分）(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(−3,4)两点，O为坐标原点，则∠AOB的平分线所在直线的方程为 y=2x.
【解题思路】设∠AOB的平分线的倾斜角为θ，根据斜率公式结合kOB=tan2θ可得tanθ，由θ的范围即可求解.
【解答过程】由题意，可设∠AOB的平分线的倾斜角为θ，如图，
则tan2θ=kOB=−43，即2tanθ1−tan2θ=−43.
则tanθ=2或−12，又0<2θ<π，故0<θ<π2，
故k=tanθ=2，
故∠AOB的平分线所在直线的方程为y=2x，
故答案为：y=2x
16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my+m=0和过定点B的动直线mx−y−m+2=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是 [10,25].
【解题思路】由题意可得A,B点坐标及PA⊥PB，设∠ABP=θ，利用三角函数分别表示|PA|=10sinθ，|PB|=10csθ，由三角恒等变换后求正弦型函数的值域得解.
【解答过程】由题意可知，动直线x+my+m=0经过定点A(0,−1)，
动直线mx−y−m+2=0，即m(x−1)−y+2=0，经过点定点B(1,2)，
∵m ≠ 0时，动直线x+my+m=0和动直线mx−y−m+2=0的斜率之积为−1，两条直线垂直，m = 0时，两条直线也垂直，
P又是两条直线的交点，
∴PA⊥PB，∴ |PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
设∠ABP=θ，则|PA|=10sinθ，|PB|=10csθ，
由|PA|⩾0且|PB|⩾0，可得θ∈[0,π2)，
∴ |PA|+|PB|=10(sinθ+csθ)=25sin(θ+π4)，
∵θ∈[0,π2)，
∴θ+π4∈[π4,3π4)，
∴sin(θ+π4)∈[22，1]，
∴25sin(θ+π4)∈[10，25]，
故答案为：[10,25].
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·江苏·高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．
【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答.
【解答过程】解：依题意，设l与t的关系式为：l=kt+b，k,b是常数，
于是得12.506=40k+b12.512=80k+b，解得k=0.00015b=12.5，
则l与t的关系式为l=0.00015t+12.5，当t=100时，l=12.515，
所以所求直线的方程为l=0.00015t+12.5，铁棒在100℃时的长度是12.515m.
18．（6分）(2023·江苏·高二阶段练习）已知直线l过定点A(2,1).
(1)若直线l与直线x+2y−5=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.
【解题思路】（1）根据两直线垂直，设直线l的方程2x−y+c=0，代入点的坐标，求出参数c的值即可；
（2）分直线l经过原点和直线l不经过原点两种情况讨论，当直线l不经过原点设直线l的方程为x−y=a，代入点的坐标，求出参数a的值即可；
【解答过程】解：（1）
解：直线l与直线x+2y−5=0垂直，设直线l的方程2x−y+c=0，
将定点A(2,1)代入可得4−1+c=0，解得c=−3，
故直线l的方程为2x−y−3=0；
（2）
解：①当直线l经过原点时，可得直线l的方程为：y=12x，即x−2y=0，
②当直线l不经过原点时，可设直线l的方程为x−y=a，
把点2,1代入可得2−1=a，解得a=1，可得直线l的方程为x−y−1=0，
综上所述：所求的直线l的方程为：x−2y=0或x−y−1=0.
19．（8分）(2023·四川省高一阶段练习（理））已知平行四边形ABCD的三个顶点A(1,1)､B(3,−3)､C(7,−1)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)在△ABC中，求边BC的高线所在直线的方程．
【解题思路】（1）利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式进行求解；
（2）求出直线BC的斜率，进而根据垂直关系求出边BC的高线所在直线的斜率，从而利用点斜式写出答案.
【解答过程】解：（1）
设平行四边形的中心为E，E为AC和BD的中点，
其中1+72=4,1−12=0，则E（4,0），
设D（x,y），则有3+x2=4,−3+y2=0 ，解得：x=5,y=3，故D点的坐标为5,3；
（2）
易知直线BC的斜率为kBC=−1+37−3=12，所以BC的高线所在直线的斜率为−2，
∴BC的高线所在的直线方程为y−1=−2x−1，
即2x+y−3=0.
20．（8分）(2023·河南开封·高二阶段练习）已知直线l1的方程为3x−4y+2=0，按照下列要求，求直线l的方程：
(1)l与l1垂直，且过点(1,3)；
(2)l//l1，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
【解题思路】（1）由两线垂直，设所求直线为4x+3y+m=0，根据点在直线上求参数，即可得直线方程；
（2）由两线平行，设所求直线为3x−4y+n=0，求截距并利用三角形面积公式求参数，即可得直线方程.
【解答过程】解：（1）
因为l1⊥l，所以直线l可设为4x+3y+m=0.
将点(1,3)代入方程得m=−13，
因此所求的直线方程为4x+3y−13=0.
（2）
因为l1//l，所以直线l可设为3x−4y+n=0.
令x=0，得A(0,n4)，令y=0，得B(−n3,0)，
所以三角形ABC的面积S=12OA⋅OB=n224=6，解得n=±12.
因此直线l的方程为3x−4y+12=0或3x−4y−12=0.
21．（8分）(2023·江苏·高二课时练习）已知一条动直线3m+1x+m−1y−6m−2=0，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为6，求直线的方程.
【解题思路】（1）整理直线方程得(3x+y−6)m+3x−y−2=0．由3x+y−6=0且3x−y−2=0可求；
（2）由（1）知，直线恒过定点(43,2)，讨论直线与y轴是否有交点，若有交点，只需纵截距小于等于零即可；
（3）设直线的方程xa+yb=1(a>0,b>0)，可得ab=12,43a+2b=1，从而可得所求直线的方程．
（1）
【解答过程】（1）证明：整理直线方程得(3x+y−6)m+3x−y−2=0．
由3x+y−6=0且3x−y−2=0可得x=43，y=2，
故直线恒过定点P(43，2)；
（2）
由（1）知，直线恒过定点(43,2)，
当直线与y轴没有交点时，m−1=0即m=1，此时直线方程为x=43，符合题意；
当直线与y轴有交点时，m≠1，
求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意，
令x=0，则(m−1)y−6m−2=0，y=6m+2m−1，
若直线不经过第二象限，则6m+2m−1≤0，∴−13≤m<1；
所以m的取值范围为−13≤m≤1；
（3）
设直线方程为xa+yb=1，(a>0,b>0)，
则ab=12，①
由题意得，43a+2b=1，②
由①②整理得a2−6a+8=0，
解得a=4，b=3，或a=2，b=6，
∴所求直线的方程为x4+y3=1或x2+y6=1
即3x+4y−12=0或3x+y−6=0．
22．（8分）（2023·湖南衡阳·高一期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90∘；点Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）.
【解题思路】如图，先以BC边所在直线为x轴，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求得直线AB的方程，再设出Q坐标，由矩形面积公式建立模型，然后利用二次函数的基本性质求其最值．
【解答过程】解：如图，以BC边所在直线为x轴，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A0,20，B30,0.
所以直线AB的方程为：x30+y20=1，即y=20−23x，设Qx,20−2x3，
则矩形PQRD的面积为S=100−x80−20−2x3 0≤x≤30，
化简，得S=−23x2+203x+60000≤x≤30，
配方，S=−23x−52+6000+503 0≤x≤30，
易得当x=5，y=503时，S最大，其最大值为Smax≈6017m2.