数学人教A版 (2019)2.4 圆的方程测试题

这是一份数学人教A版 (2019)2.4 圆的方程测试题，共16页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·四川省高二阶段练习（理））圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（－2，1），9B．（－2，1），3
C．（2，－1），9D．（2，－1），3
2．（3分）（2023·广东·高二阶段练习）若点A1,2，圆的一般方程为x2+y2+2x−4y+1=0，则点A与圆位置关系（ ）
A．圆外B．圆内且不是圆心C．圆上D．圆心
3．（3分）(2023·吉林·高二期末）若曲线x2+y2+2x+my+2=0表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．2,+∞
C．−∞,−2∪2,+∞D．−∞,−2∪2,+∞
4．（3分）(2023·全国·高二）已知圆M的圆心在直线x+y−4=0上，且点A(1,0)，B(0,1)在M上，则M的方程为（ ）
A．(x−2)2+(y−2)2=13B．(x−1)2+(y−1)2=1
C．(x−2)2+(y−2)2=5D．(x+1)2+(y+1)2=5
5．（3分）(2023·江西省高一阶段练习（文））圆x−12+y+22=2关于直线l：x+y−2=0对称的圆的方程为（ ）
A．x−42+y−12=2B．x+42+y+12=2
C．x−42+y+12=2D．x+42+y−12=2
6．（3分）（2023·广西·高三阶段练习（理））已知定点B(3,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（ ）
A．(x+1)2+y2=1B．(x−2)2+y2=4
C．(x−1)2+y2=1D．(x+2)2+y2=4
7．（3分）(2023·安徽·模拟预测（理））古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0，且λ≠1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(2,0)，点P满足|PA||PB|=2，则点P的轨迹的圆心坐标为（ ）
A．(4,0)B．(0,4)C．(−4,0)D．(2,0)
8．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知A，B是曲线x−1=4−y−12上两个不同的点，C0,1，则CA+CB的最大值与最小值的比值是（ ）
A．355B．2C．62D．3
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·江苏省高二阶段练习）使方程x2+y2−ax+2ay+2a2+a−1=0表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A．−2B．0C．−1D．34
10．（4分）(2023·全国·高二课时练习）(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为322
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为22
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
11．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为（2，7）B．点Q在圆C外
C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为14D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为22,62
12．（4分）(2023·江苏·高二课时练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足|PA||PB|＝12.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝12
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·四川乐山·高一期末）点(1,0)与圆x2+y2−4x−2y+1=0的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过5,0，−2,1两点，且圆心在直线x−3y−10=0上的圆的标准方程为 .
15．（4分）(2023·江苏·高二课时练习）已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+b＝ ．
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上两个动点，点P(2,0)，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．
(1)x+12+y−12=−5；
(2)x+12+y−12=k．
18．（6分）(2023·江苏省高二阶段练习）已知圆过点A1,−2，B−1,4．
(1)求圆心在直线2x−y−4=0上的圆的标准方程；
(2)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为x−52+y−62=a2a>0．
(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
20．（8分）（2023·福建省高二期中）已知圆C经过点A1,0，点B3,−2，且它的圆心在直线2x+y=0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆D与圆C关于直线x−y+1=0对称，求圆D的标准方程.
21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标xOy中曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，若点M(x,y)是圆C上的一点，求x2+2x+y2+4y的最值.
22．（8分）(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M:(x+1)2+y2=36，点A1,0，P为M上一动点，Q始终为PA的中点.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)若存在定点B(b,0)和常数k(k≠1)，对Q轨迹上的任意一点S，恒有|SA||SB|=k，求b与k的值.
专题2.12 圆的方程-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·四川省高二阶段练习（理））圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（－2，1），9B．（－2，1），3
C．（2，－1），9D．（2，－1），3
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，可求出其圆心和半径
【解答过程】由x2+y2−4x+2y−4=0，得(x−2)2+(y+1)2=9，
所以圆的圆心(2,−1)，半径为3，
故选：D.
2．（3分）（2023·广东·高二阶段练习）若点A1,2，圆的一般方程为x2+y2+2x−4y+1=0，则点A与圆位置关系（ ）
A．圆外B．圆内且不是圆心C．圆上D．圆心
【解题思路】根据题意，将点A的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，圆的一般方程为x2+y2+2x−4y+1=0，
将点A1,2代入，可得1+4+2−8+1=0，则点A在圆上，
故选：C.
3．（3分）(2023·吉林·高二期末）若曲线x2+y2+2x+my+2=0表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．2,+∞
C．−∞,−2∪2,+∞D．−∞,−2∪2,+∞
【解题思路】按照圆的一般方程满足的条件D2+E2−4F>0求解即可.
【解答过程】22+m2−8>0,m<−2或m>2.
故选：C.
4．（3分）(2023·全国·高二）已知圆M的圆心在直线x+y−4=0上，且点A(1,0)，B(0,1)在M上，则M的方程为（ ）
A．(x−2)2+(y−2)2=13B．(x−1)2+(y−1)2=1
C．(x−2)2+(y−2)2=5D．(x+1)2+(y+1)2=5
【解题思路】由题设写出AB的中垂线，求其与x+y−4=0的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.
【解答过程】因为点A(1,0)，B(0,1)在M上，所以圆心在AB的中垂线x−y=0上．
由x+y−4=0x−y=0，解得{x=2y=2，即圆心为(2,2)，则半径r=(2−1)2+(2−0)2=5，
所以M的方程为(x−2)2+(y−2)2=5．
故选：C.
5．（3分）(2023·江西省高一阶段练习（文））圆x−12+y+22=2关于直线l：x+y−2=0对称的圆的方程为（ ）
A．x−42+y−12=2B．x+42+y+12=2
C．x−42+y+12=2D．x+42+y−12=2
【解题思路】首先求出圆x−12+y+22=2的圆心坐标与半径，再设圆心1,−2关于直线l:x+y−2=0对称的点的坐标为a,b，即可得到方程组，求出a、b，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【解答过程】解：圆x−12+y+22=2的圆心为1,−2，半径r=2，设圆心1,−2关于直线l:x+y−2=0对称的点的坐标为a,b，
则b+2a−1×−1=−11+a2+b−22−2=0，解得a=4b=1，即圆x−12+y+22=2关于直线l:x+y−2=0对称的圆的圆心为4,1，半径r=2，
所以对称圆的方程为x−42+y−12=2；
故选：A.
6．（3分）（2023·广西·高三阶段练习（理））已知定点B(3,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（ ）
A．(x+1)2+y2=1B．(x−2)2+y2=4
C．(x−1)2+y2=1D．(x+2)2+y2=4
【解题思路】设M(x,y)再表达出A的坐标代入圆方程(x+1)2+y2=4化简即可.
【解答过程】设M(x,y)，则AxA,yA满足xA+32,yA2=(x,y).故xA=2x−3yA=2y .故A(2x−3,2y).
又点A在圆(x+1)2+y2=4上.故(2x−3+1)2+(2y)2=4⇒(x−1)2+y2=1.
故选:C.
7．（3分）(2023·安徽·模拟预测（理））古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0，且λ≠1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(2,0)，点P满足|PA||PB|=2，则点P的轨迹的圆心坐标为（ ）
A．(4,0)B．(0,4)C．(−4,0)D．(2,0)
【解题思路】根据题设，应用两点距离公式可得(x+4)2+y2=2(x−2)2+y2，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心.
【解答过程】令P(x，y)，则(x+4)2+y2=2(x−2)2+y2，两边平方并整理得：(x−4)2+y2=16，
∴圆心为(4，0)．
故选：A．
8．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知A，B是曲线x−1=4−y−12上两个不同的点，C0,1，则CA+CB的最大值与最小值的比值是（ ）
A．355B．2C．62D．3
【解题思路】方程x−1=4−y−12表示的曲线为圆P:x+12+y−12=4的左半部分和圆Q:x−12+y−12=4的右半部分，数形结合求出CA+CB的最大值和最小值，进而求出比值.
【解答过程】由x−1=4−y−12，得x−12+y−12=4.
因为x−1=4−y−12≥0，所以x≤−1或x≥1.
当x≤−1时，x+12+y−12=4；当x≥1时，x−12+y−12=4.
所以方程x−1=4−y−12表示的曲线为圆P:x+12+y−12=4的左半部分和圆Q:x−12+y−12=4的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，CA+CB取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，CA+CB取得最小值，且最小值为25.故CA+CB的最大值与最小值的比值是625=355.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·江苏省高二阶段练习）使方程x2+y2−ax+2ay+2a2+a−1=0表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A．−2B．0C．−1D．34
【解题思路】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.
【解答过程】x2+y2−ax+2ay+2a2+a−1=0，配方得：
x−a22+y+a2=−34a2−a+1，
要想表示圆，则−34a2−a+1>0，
解得：−2故选：BC.
10．（4分）(2023·全国·高二课时练习）(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为322
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为22
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
【解题思路】根据点到直线的距离公式求得圆心C1到直线x－y－1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C2的圆心，从而得出圆C2的方程.
【解答过程】根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝−1−1−12＝322.
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有b−1a+1=−1,a−12−b+12−1=0,解得a=2,b=−2,则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
故选：AD.
11．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为（2，7）B．点Q在圆C外
C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为14D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为22,62
【解题思路】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；B选项，求出CQ的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；C选项，把P点坐标代入，求出m的值，进而求出直线PQ的斜率；D选项，由B选项求出点Q在圆C外，M是圆C上任一点，所以MQ|的长度满足CQ−r≤MQ≤CQ+r，求出MQ|的取值范围.
【解答过程】将x2+y2−4x−14y+45=0化为(x−2)2+(y−7)2=8，所以圆心C坐标为2,7，故A正确：因为C2,7,Q−2,3两点之间的距离为−2−22+(3−7)2=42>22，所以点Q在圆C外．故B正确，因为点Pm,m+1在圆C上，所以m2+(m+1)2−4m−14(m+1)+45=0，所以m=4，即P4,5．所以直线PQ的斜为13，故C错误，因为圆心C2,7，半径r=22,|CQ|=42所以CQ−r≤MQ≤CQ+r，即22≤MQ≤62，故D正确
故选：ABD．
12．（4分）(2023·江苏·高二课时练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足|PA||PB|＝12.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝12
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|
【解题思路】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.
【解答过程】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足|PA||PB|=12，设P（x，y），则(x+2)2+y2(x−4)2+y2=12，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|=12，设D（m，0），E（n，0），则(x−n)2+y2=2(x−m)2+y2，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使|PD||PE|=12，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，|OA||OB|=12=|PA||PB|，
可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|，可设M（x，y），
则有x2+y2＝2(x+2)2+y2，化简得x2＋y2＋163x＋163＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·四川乐山·高一期末）点(1,0)与圆x2+y2−4x−2y+1=0的位置关系是 在圆内 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【解题思路】利用点(1,0)到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点(1,0)与圆x2+y2−4x−2y+1=0的位置关系即可.
【解答过程】圆x2+y2−4x−2y+1=0的圆心坐标为(2,1)，半径为2
点(1,0)到圆心的距离(2−1)2+(1−0)2=2，
因为2<2，所以点(1,0)在圆内．
故答案为：在圆内.
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过5,0，−2,1两点，且圆心在直线x−3y−10=0上的圆的标准方程为 x−12+y+32=25 .
【解题思路】首先设圆的标准方程为x−a2+y−b2=r2，根据题意得到5−a2+b2=r2−2−a2+1−b2=r2a−3b−10=0，再解方程即可.
【解答过程】设圆的标准方程为x−a2+y−b2=r2，由题知：
5−a2+b2=r2−2−a2+1−b2=r2a−3b−10=0⇒a=1b=−3c=5，
所以标准方程为x−12+y+32=25.
故答案为：x−12+y+32=25.
15．（4分）(2023·江苏·高二课时练习）已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+b＝ −4 ．
【解题思路】由题意，设0，0关于直线x+y=1的对称点为m，n，列出方程组m2+n2=1mn=1，求解方程组即可得圆x2+y2=1关于直线x+y=1对称的圆的方程，从而即可得答案.
【解答过程】解：圆x2+y2=1的圆心是坐标原点0，0，半径为1，
设0，0关于直线x+y=1的对称点为m，n，
则m2+n2=1mn=1，解得m=1n=1，
所以点0，0关于直线x+y=1对称的点的坐标为1,1，
因为圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，
所以圆x2+y2=1关于直线x+y=1对称的圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=1，即x2+y2−2x−2y+1=0，
所以a=b=−2，即a+b=−4．
故答案为：−4.
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上两个动点，点P(2,0)，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是 x2+y2=28 ．
【解题思路】设点C(x, y)，连接AB, PC交于M，可写出M的坐标，再在直角△OMB中，OM⊥MB，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点C的轨迹方程.
【解答过程】设点C(x, y)，如图连接AB, PC交于M，
由矩形PACB可知M为PC的中点，Mx+22,y2，PM=MB
连接OB, OM，在直角△OMB中，OM⊥MB，则OB2=OM2+BM2=OM2+MP2
即16=x+222+y22+x+22−22+y22，整理得x2+y2=28，
所以顶点C的轨迹方程是x2+y2=28
故答案为：x2+y2=28.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．
(1)x+12+y−12=−5；
(2)x+12+y−12=k．
【解题思路】利用圆的标准方程，需要r2>0，对（1）、（2）进行判断.
【解答过程】(1)
圆的标准方程为x−a2+y−b2=r2，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R半径为r(r>0).
因为-5<0，所以方程x+12+y−12=−5不是圆的方程.
(2)
圆的标准方程为x−a2+y−b2=r2，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R，半径为r(r>0).
当k>0时，方程x+12+y−12=k表示圆心为(-1，1)，半径为k的圆的方程；
当k=0时，方程x+12+y−12=k表示点(-1，1)，不表示圆的方程；
当k<0时，方程x+12+y−12=k无解，不表示圆的方程.
18．（6分）(2023·江苏省高二阶段练习）已知圆过点A1,−2，B−1,4．
(1)求圆心在直线2x−y−4=0上的圆的标准方程；
(2)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【解题思路】（1）设圆的标准方程为x−a2+y−b2=r2r>0，利用待定系数法求出a,b,r即可得解；
（2）设所求圆的标准方程为x−m2+y−22=n2n>0，利用待定系数法求出m,n即可得解.
【解答过程】（1）
解：设圆的标准方程为x−a2+y−b2=r2r>0，
则有2a−b−4=01−a2+−2−b2=r2−1−a2+4−b2=r2，解得a=3b=2r2=20，
所以所求圆的标准方程为x−32+y−22=20；
（2）
解：设所求圆的标准方程为x−m2+y−22=n2n>0，
则有1−m2+−2−22=n2−1−m2+4−22=n2，解得m=3n2=20，
所以所求圆的标准方程为x−32+y−22=20.
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为x−52+y−62=a2a>0．
(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据已知，建立方程计算求解即可.
（2）通过已知，利用点与圆的位置关系进行求解.
【解答过程】（1）
因为点M（6，9）在圆N上，所以6−52+9−62=a2，
即a2=10，又a>0，所以a=10．
（2）
因为圆心N(5,6)，P(3，3)，Q(5，3)，
所以PN=5−32+6−32=13，QN=5−52+6−32=3，
所以PN>QN，故点P在圆N外，点Q在圆N内，又因为圆N的半径为a，
所以320．（8分）（2023·福建省高二期中）已知圆C经过点A1,0，点B3,−2，且它的圆心在直线2x+y=0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆D与圆C关于直线x−y+1=0对称，求圆D的标准方程.
【解题思路】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2x+y=0联立，求得圆心即可；
（2）根据圆D与圆C关于直线x−y+1=0对称，求得圆心C关于直线x−y+1=0的对称点即可.
【解答过程】（1）已知圆C经过点A1,0，点B3,−2，
则线段AB的垂直平分线方程为：y+1=x−2，即 x−y−3=0，
又它的圆心在直线2x+y=0上，
联立2x+y=0x−y−3=0，解得x=1y=−2，
所以其圆心为C1,−2，R=AC=2，
所以圆C的标准方程x−12+y+22=4；
（2）设圆D的圆心为Dx,y，
因为圆D与圆C关于直线x−y+1=0对称，
所以x+12−y−22+1=0y+2x−1=−1，解得x=−3y=2，
所以圆D的标准方程是 x+32+y−22=4.
21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标xOy中曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，若点M(x,y)是圆C上的一点，求x2+2x+y2+4y的最值.
【解题思路】根据二次曲线与坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程(x−3)2+(y−1)2=9，两圆方程作差即可得公共弦所在的直线方程，将目标式的最小问题转化为求圆上点到定点的距离平方的最小值即可.
【解答过程】由题设，y=x2−6x+1与y轴的交点为(0,1)，对称轴为x=3，
若与x轴交点横坐标分别为m,n，则m+n=6，mn=1，
∴|m−n|=(m+n)2−4mn=42，
若圆C半径为r，圆心为(3,b)，
∴{b2+8=r29+(b−1)2=r2，解得{b=1r=3，
∴圆C半径为r=3，圆心为(3,1)，则圆的方程为(x−3)2+(y−1)2=9，
x2+2x+y2+4y=(x+1)2+(y+2)2−5，只需求圆C上点到定点(−1,−2)的最小距离即可.
又圆心(3,1)到(−1,−2)的距离为d=42+32=5，而r=3，
∴d−r=2≤(x+1)2+(y+2)2≤d+r=8，故目标式的最小值为−1.
22．（8分）(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M:(x+1)2+y2=36，点A1,0，P为M上一动点，Q始终为PA的中点.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)若存在定点B(b,0)和常数k(k≠1)，对Q轨迹上的任意一点S，恒有|SA||SB|=k，求b与k的值.
【解题思路】（1）设Px0,y0,Q(x,y)，由中点公式可得x0=2x−1y0=2y，代入到圆的方程中，整理即可求解；
（2）设Sx',y'，由两点间距离公式可得|SA||SB|=x'−12+y'2x'−b2+y'2=k，结合x'2+y'2=9，可得10−9k2−b2k2+2k2b−1x'=0，由式子恒成立，可知10−9k2−b2k2=0k2b−1=0，即可求解.
【解答过程】（1）
设Px0,y0,Q(x,y)，
因为Q为PA的中点，A1,0，所以x0+1=2xy0=2y，即x0=2x−1y0=2y，
因为圆的方程为M:(x+1)2+y2=36，则x0+12+y02=36，整理得，x2+y2=9，
故动点Q的轨迹方程为x2+y2=9.
（2）
设Sx',y'，则|SA||SB|=x'−12+y'2x'−b2+y'2=k(k>0且k≠1)，
整理得1−k2x'2+y'2+2k2b−1x'+1−b2k2=0，
因为S在Q的轨迹上，所以x'2+y'2=9，
故10−9k2−b2k2+2k2b−1x'=0，
当且仅当10−9k2−b2k2=0k2b−1=0时上式恒成立，此时，k2=1b，则10−9b−b=0，
解得b=1或9，
当b=1时，k=1，不合题意，舍去；
当b=1时，k=13，符合题意，
故b=1，k=13.