高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程当堂检测题

这是一份高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程当堂检测题，共17页。

考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）(2023·江苏·高二阶段练习）已知直线l的倾斜角为135°，则直线l的斜率为（ ）
A．1B．−1C．22D．−22
2．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）已知圆的一般方程为x2+y2+4x−2y−4=0，其圆心坐标是（ ）
A．(1,2)B．(−1,2)C．(−2,1)D．(−1,−2)
3．（5分）（2023·福建·高二阶段练习）已知直线l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，则“l1//l2”的必要不充分条件是（ ）
A．m=−2B．m=1
C．m=−2或m=1D．m=2
4．（5分）(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
5．（5分）(2023·吉林·高二阶段练习）经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(2,3), B(−1,2)的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．2，+∞∪−∞，−3B．−3，2C．2，+∞D．−∞，−3
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知点A5,−2，B7,3，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为（ ）
A．5x−2y−5=0B．2x−5y−5=0
C．5x−2y+5=0D．2x−5y+5=0
7．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）若过点(3,0)的直线l截圆x2+(y−2)2=25的弦长为8，则直线l的方程为（ ）
A．5x−12y−15=0B．5x+12y−15=0
C．5x−12y−15=0或x=3D．5x+12y−15=0或x=3
8．（5分）(2023·安徽·高三开学考试）已知直线l:mx+y−3m−2=0与圆M:(x−5)2+(y−4)2=25交于A,B两点， 则当弦AB最短时，圆M与圆N:(x+2m)2+y2=9的位置关系是（ ）
A．内切B．外离C．外切D．相交
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）(2023·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为5，则圆的方程可能是（ ）
A．x2+y2=5B．x−12+y−32=5
C．x2+y−22=5D．x−12+y+12=5
10．（5分）(2023·吉林·高二阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应B．倾斜角为135∘的直线的斜率为1
C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k=tanαD．直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)
11．（5分）(2023·江苏·高二开学考试）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线y=x−2在y轴上的截距为-2
B．经过定点A0,2的直线都可以用方程y=kx+2表示
C．直线6x+my+14=0m∈R必过定点
D．已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是1
12．（5分）(2023·江苏·高二阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A, B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知A(−4,2),B(2,2)点P满足|PA||PB|=2，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的方程是(x−4)2+(y−2)2=16
B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为π3
C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±155
D．过直线3x+4y=60上的一点P向圆C引切线PA、PB，则四边形PACB的面积的最小值为163
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）(2023·江苏·高二开学考试）已知直线l1：ax−3y+1=0，l2：x+a+1y+1=0，若l1⊥l2，则实数a的值为 .
14．（5分）(2023·全国·高二课时练习）已知AB为圆C:x2+y2−2x+2y−3=0的直径，点A的坐标为0,1，则点B的坐标为 ．
15．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）从点A(−4,1)出发的一束光线l，经过直线l1:x−y+3=0反射，反射光线恰好通过点B(−3,2)，则反射光线所在直线的一般式方程为 ．
16．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）若圆C1:(x+2)2+(y−4)2=r2(r>0)上恰有2个点到直线l:4x−3y−5=0的距离为2，则实数r的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）(2023·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m）
18．（12分）(2023·广西·高二阶段练习）已知点A(−1,1)、B(2,4).
(1)求直线AB的倾斜角
(2)过点P(1,0)的直线m与过A(−1,1)、B(2,4)两点的线段有公共点，求直线m斜率的取值范围.
19．（12分）(2023·河北·高二阶段练习）已知直线l过点P2,−3.
(1)若直线l与直线x+2y+3=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程.
20．（12分）(2023·山东·高一阶段练习）已知直线l1:mx+4y=m+2和直线l2:x+my=m，试确定m的值，使得：
(1)l1与l2相交；
(2)l1与l2平行，并求出两条直线的距离；
(3)l1与l2垂直，并求出点C(2,3+1)关于l1与l2垂足的对称点D.
21．（12分）(2023·四川·高二开学考试（文））已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B−2,0的动直线l与圆A相交于M､N两点，Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程；
(2)当MN=219时，求直线l的方程.
22．（12分）(2023·辽宁·高二阶段练习）已知圆C1:x2+(y−1)2=5，圆C2:x2+y2−4x+2y=0.
(1)求圆C1与圆C2的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.
第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷-基础篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）(2023·江苏·高二阶段练习）已知直线l的倾斜角为135°，则直线l的斜率为（ ）
A．1B．−1C．22D．−22
【解题思路】直接根据斜率和倾斜角的关系即k=tanα 得到答案.
【解答过程】由直线的倾斜角与斜率的关系得，
k=tanα=tan135°=−1
所以直线l 的斜率为−1 ；
故选：B.
2．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）已知圆的一般方程为x2+y2+4x−2y−4=0，其圆心坐标是（ ）
A．(1,2)B．(−1,2)C．(−2,1)D．(−1,−2)
【解题思路】根据圆的方程即得.
【解答过程】因为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为(−D2,−E2)，
则圆x2+y2+4x−2y−4=0的圆心坐标是(−2,1).
故选：C．
3．（5分）（2023·福建·高二阶段练习）已知直线l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，则“l1//l2”的必要不充分条件是（ ）
A．m=−2B．m=1
C．m=−2或m=1D．m=2
【解题思路】直线l1:x+(m+1)y+m=0，l2:mx+2y+1=0平行的充要条件是“m=−2”，进而可得答案．
【解答过程】解：∵直线l1:x+(m+1)y+m=0，l2:mx+2y+1=0，
若l1//l2，则m(m+1)−2=0，解得：m=−2或m=1
当m=1时，l1与l2重合，故“l1//l2” ⇔ “m=−2”，
故“l1//l2”的必要不充分条件是“m=−2或m=1”，
故选：C．
4．（5分）(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
【解题思路】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．
【解答过程】解：直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，
∴aa+1−2=0，解得a=−2或a=1，
又a<0，所以a=−2，
当a=−2时，直线l1:2x−2y+1=0与直线l2:2x−2y+8=0距离为=|8−1|4+4=724.
故选：A.
5．（5分）(2023·吉林·高二阶段练习）经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(2,3), B(−1,2)的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．2，+∞∪−∞，−3B．−3，2C．2，+∞D．−∞，−3
【解题思路】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围.
【解答过程】如图所示，kPA=3−−12−0=2, kPB=2−−1−1−0=−3，故直线l的斜率的取值范围是2，+∞∪−∞，−3.
故选：A.
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知点A5,−2，B7,3，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为（ ）
A．5x−2y−5=0B．2x−5y−5=0
C．5x−2y+5=0D．2x−5y+5=0
【解题思路】设C(x,y)，M(0,m)，N(n,0)，先利用中点坐标公式求出相关点坐标，再求出直线方程即可.
【解答过程】设C(x,y)，M(0,m)，N(n,0)，
因为A5,−2，B7,3，
所以x+52=0y−22=m且x+72=ny+32=0，
解得x=−5，y=−3，m=−52，n=1，
即C(−5,−3)，M(0,−52)，N(1,0)，
所以MN所在直线方程为y+5252=x1，
即5x−2y−5=0．
故选：A．
7．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）若过点(3,0)的直线l截圆x2+(y−2)2=25的弦长为8，则直线l的方程为（ ）
A．5x−12y−15=0B．5x+12y−15=0
C．5x−12y−15=0或x=3D．5x+12y−15=0或x=3
【解题思路】对直线的斜率是否存在分类讨论，根据圆心到直线的距离、弦长和半径构成的直角三角形得到关于斜率的方程，解方程得到方程的斜率，进而得到直线方程.
【解答过程】若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=3，
圆心(0,2)到l的距离为3，易求得弦长为8，符合题意；
若直线l的斜率存在，设l的方程为y=k(x−3)，即kx−y−3k=0，
故圆心(0,2)到l的距离d=|−2−3k|k2+1=52−42=3，
解得k=512，
则l的方程为5x−12y−15=0.
综上所述，直线l的方程为5x−12y−15=0或x=3.
故选：C.
8．（5分）(2023·安徽·高三开学考试）已知直线l:mx+y−3m−2=0与圆M:(x−5)2+(y−4)2=25交于A,B两点， 则当弦AB最短时，圆M与圆N:(x+2m)2+y2=9的位置关系是（ ）
A．内切B．外离C．外切D．相交
【解题思路】由直线l:mx+y−3m−2=0过定点P3,2且定点在圆M内，当弦AB最短时直线l垂直PM，根据斜率乘积为−1求出m，进而求出圆N的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【解答过程】易知直线l:mx+y−3m−2=0即mx−3+y−2=0过定点P3,2，因为3−52+2−42<25，故P3,2在圆M:(x−5)2+(y−4)2=25内.
故弦AB最短时直线l垂直PM，又kPM=4−25−3=1，所以1⋅−m=−1，解得m=1，
此时圆N的方程是x+22+y2=9.
两圆圆心之间的距离MN=5+22+4−02=65，半径分别为5，3
又65>64=5+3，所以这两圆外离.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）(2023·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为5，则圆的方程可能是（ ）
A．x2+y2=5B．x−12+y−32=5
C．x2+y−22=5D．x−12+y+12=5
【解题思路】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【解答过程】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则2−a2+1+a2=5，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为x−12+y+12=5或x2+y2=5,
故选：AD．
10．（5分）(2023·吉林·高二阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应B．倾斜角为135∘的直线的斜率为1
C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k=tanαD．直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)
【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可判断.
【解答过程】对A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，A正确；
对B，k=tan135∘=−1，B错误；
对C，倾斜角为π2时，斜率不存在，C错误；
对D，直线斜率k=tanα, α∈0,π2∪π2,π，直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)，D正确.
故选：AD.
11．（5分）(2023·江苏·高二开学考试）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线y=x−2在y轴上的截距为-2
B．经过定点A0,2的直线都可以用方程y=kx+2表示
C．直线6x+my+14=0m∈R必过定点
D．已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是1
【解题思路】根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答过程】对直线方程y=x−2，令x=0解得y=−2，故该直线在y轴上的截距为−2，故A正确；
经过点A0,2的直线若斜率存在，可用y=kx+2表示；若斜率不存在，则无法用y=kx+2表示，故B错误，
当m≠0时，6x+my+14=0可整理为：y=−6mx+73，恒过定点−73,0；
当m=0时，6x+my+14=0即为x=−73，过点−73,0；
故直线6x+my+14=0 (m∈R)必过定点−73,0，C正确，
直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则m=8，
此时6x+my+24=0即6x+8y+24=0，也即3x+4y+12=0，
则两平行线间的距离d=9−1232+42=35，故D错误.
综上所述，正确的选项是：AC.
故选：AC.
12．（5分）(2023·江苏·高二阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A, B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知A(−4,2),B(2,2)点P满足|PA||PB|=2，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的方程是(x−4)2+(y−2)2=16
B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为π3
C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±155
D．过直线3x+4y=60上的一点P向圆C引切线PA、PB，则四边形PACB的面积的最小值为163
【解题思路】对于A，设P点坐标，根据|PA||PB|=2代入化简，可得A正确；
对于B，设切线夹角为α，可得sinα2=rAC=12，解得B正确；
对于C，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，可判断直线l与圆相切，进而可解得k=±1515，故C错误；
对于D，由条件可表达四边形PACB的面积为SPACB=4PO2−42，求PO的最小值，计算可得D正确.
【解答过程】对于A，因为A(−4,2),B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，设Px,y，则x+42+y−22x−22+y−22=2，
化简得x2+y2−8x−4y+4=0，，即x−42+y−22=16，故A正确；
对于B，因为AC=8, r=4，设两条切线的夹角为α，所以sinα2=rAC=12，解得α2=π6，则α=π3，故B正确；
对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为y−2=kx+4，即kx−y+4k+2=0，
因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，所以圆心到直线的距离d=4k−2+4k+2k2+1=8kk2+1=2，解得k=±1515，故C错误；
对于D，由题意可得SPACB=2×12×4×PO2−42=4PO2−42，故只需求PO的最小值即可，PO的最小值为点O到直线3x+4y=60的距离，即d1=3×4+4×2−6032+42=8，所以四边形PACB的面积的最小值为482−42=163，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）(2023·江苏·高二开学考试）已知直线l1：ax−3y+1=0，l2：x+a+1y+1=0，若l1⊥l2，则实数a的值为 −32 .
【解题思路】分类讨论直线l2的斜率是否存在即可求解.
【解答过程】若直线l2的斜率k2=−1a+1存在，即a≠−1，
直线l1的斜率k1=a3，l1⊥l2，所以有k1⋅k2=−1，
即−1a+1×a3=−1，解得：a=−32，
若直线l2的斜率不存在，即a=−1，
此时k1=−13，不满足l1⊥l2.
综上：a=−32，
故答案为：−32.
14．（5分）(2023·全国·高二课时练习）已知AB为圆C:x2+y2−2x+2y−3=0的直径，点A的坐标为0,1，则点B的坐标为 2,−3 ．
【解题思路】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设Bx0,y0，再利用中点坐标公式得到方程组，解得即可.
【解答过程】解：圆C:x2+y2−2x+2y−3=0即x−12+y+12=5，所以圆心坐标为1,−1，
设Bx0,y0，又因为A0,1，所以由中点坐标公式得y0+1=−2x0+0=2，解得y0=−3x0=2，
所以点B的坐标为2,−3．
故答案为：2,−3.
15．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）从点A(−4,1)出发的一束光线l，经过直线l1:x−y+3=0反射，反射光线恰好通过点B(−3,2)，则反射光线所在直线的一般式方程为 3x+y+7=0 ．
【解题思路】利用对称性求A关于直线l1的对称点，再应用点斜式写出直线方程.
【解答过程】设A(−4,1)关于直线l1:x−y+3=0的对称点为D(x1,y1)，
所以{y1−1x1+4⋅1=−1x1−42−y1+12+3=0，解得{x1=−2y1=−1，即D(−2,−1)，
依题意：D在反射光线上，又B(−3,2)也在反射光线上，
∴kBD=2+1−3+2=−3，故所求方程为y+1=−3(x+2)，整理得：3x+y+7=0．
故答案为：3x+y+7=0.
16．（5分）(2023·河南·高二阶段练习）若圆C1:(x+2)2+(y−4)2=r2(r>0)上恰有2个点到直线l:4x−3y−5=0的距离为2，则实数r的取值范围为 (3,7) ．
【解题思路】设与直线l平行且与直线l之间的距离为2的直线方程为4x−3y+c=0，然后利用两平行线间的距离公式可求出c，再求出圆心C1(−2,4)到两直线的距离，结合图象可求出实数r的取值范围.
【解答过程】如图所示．
设与直线l平行且与直线l之间的距离为2的直线方程为4x−3y+c=0，
则|c+5|42+(−3)2=2，解得c=5或c=−15，
圆心C1(−2,4)到直线4x−3y+5=0的距离为d1=|−8−12+5|42+(−3)2=3，
圆心C1(−2,4)到直线4x−3y−15=0的距离为d2=|−8−12−15|42+(−3)2=7，
由图可知，圆C1与直线4x−3y+5=0相交，与直线4x−3y−15=0相离，
所以d1即实数r的取值范围为(3,7)，
故答案为：(3,7).
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）(2023·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m）
【解题思路】建系表示点B，C的坐标，利用待定系数的方法设圆的标准方程，代入求解.
【解答过程】如图所示AB是拱桥的简图，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建系，
由题可知B18.51,0，C0,7.2，设圆心坐标为0,b，圆的方程为x2+y−b2=r2
将点B，C代入可得18.512+b2=r27.2−b2=r2，解得b≈−20.19r2≈750.21
因此圆拱桥的拱所在的圆的标准方程为：x2+y+20.192=750.21.
18．（12分）(2023·广西·高二阶段练习）已知点A(−1,1)、B(2,4).
(1)求直线AB的倾斜角
(2)过点P(1,0)的直线m与过A(−1,1)、B(2,4)两点的线段有公共点，求直线m斜率的取值范围.
【解题思路】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线AB的倾斜角；
（2）求出直线PA与直线PB的斜率，从而可得结果.
【解答过程】（1）
由已知得：直线AB的斜率k=4−12−−1=1
∴tanα=1,又∵α∈0,π,∴α=π4
（2）
直线PA的斜率kPA=1−0−1−1=−12
直线PB的斜率kPB=4−02−1=4
∵过点直线m与过A、B两点的线段有公共点，
∴直线m斜率的取值范围为−∞，−12∪4,+∞.
19．（12分）(2023·河北·高二阶段练习）已知直线l过点P2,−3.
(1)若直线l与直线x+2y+3=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程.
【解题思路】（1）先设出与直线x+2y+3=0垂直的直线l的方程，把点P2,−3代入所设方程求解即可求得直线l的方程；
（2）分直线过原点与不过原点两种情况，当过原点时，用点斜式可求；当直线不过原点时，用截距式设出直线l的方程，再把点P2,−3代入所设方程求解即可求得直线l的方程
【解答过程】（1）
因为直线l与直线x+2y+3=0垂直
所以，设直线l的方程为2x−y+m=0，
因为直线l过点P2,−3，
所以2×2+3+m=0，解得m=−7，
所以直线l的方程为2x−y−7=0.
（2）
当直线l过原点时，斜率为−32，由点斜式求得直线l的方程是y=−32x，
即3x+2y=0.
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x−y=a，把点P2,−3代入方程得a=5，
所以直线l的方程是x−y−5=0.
综上，所求直线l的方程为3x+2y=0或x−y−5=0.
20．（12分）(2023·山东·高一阶段练习）已知直线l1:mx+4y=m+2和直线l2:x+my=m，试确定m的值，使得：
(1)l1与l2相交；
(2)l1与l2平行，并求出两条直线的距离；
(3)l1与l2垂直，并求出点C(2,3+1)关于l1与l2垂足的对称点D.
【解题思路】（1）根据m是否为0,分情况讨论即可；
（2）由两直线平行得斜率相等，再通过平行线距离公式即可求解；
（3）根据m是否为0,分情况讨论，得m=0之后，先求出两直线垂足坐标，再根据中点公式即可求解.
【解答过程】（1）
当m=0时，l1:y=12，l2:x=0，此时两直线相交，符合题意；
当m≠0时，要使l1与l2相交，则有−m4≠−1m，解得：m≠±2，
综上，m≠±2.
（2）
当m=0时，由（1）知，两直线显然不平行，所以m≠0，
要使l1与l2平行，则有m1=4m≠m+2m，解得m=−2.
此时：l1：x−2y=0，l2: x−2y+2=0，
所以两直线的距离d=0−21+4=255.
（3）
当m=0时，l1:y=12，l2:x=0，此时两直线垂直，符合题意；
当m≠0时，要使l1与l2垂直，则有(−m4)×(−1m)=−1，无解，综上m=0.
此时l1与l2的垂足为(0,12)，而C(2,3+1)
设对称点D(x,y)，根据中点公式有：2+x2=0y+3+12=12解得：x=−2y=−3
所以点D的坐标是(−2,−3).
21．（12分）(2023·四川·高二开学考试（文））已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B−2,0的动直线l与圆A相交于M､N两点，Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程；
(2)当MN=219时，求直线l的方程.
【解题思路】（1）利用圆和直线相切的关系求出圆A的半径即可求解；(2)首先当直线l斜率不存在时，求出弦长|MN|，满足题意；当直线l斜率存在时设出直线l的方程，利用圆的弦长公式求出|AQ|，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，
所以A−1,2到直线l1的距离d0=−1+4+75=25=r，
故圆A的方程为：(x+1)2+(y−2)2=20.
（2）
①当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为：x=−2，
此时，圆心A−1,2到直线l的距离为1，
从而弦长|MN|=220−1=219，满足题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=kx+2，即kx−y+2k=0，
连接AQ，则AQ⊥MN，
∵MN=219，所以AQ=r2−(|MN|2)2=20−19=1，
从而AQ=−k−2+2kk2+12=1，得k=34，
故直线l的方程：3x−4y+6=0.
综上所述，直线l的方程为：x=−2或3x−4y+6=0.
22．（12分）(2023·辽宁·高二阶段练习）已知圆C1:x2+(y−1)2=5，圆C2:x2+y2−4x+2y=0.
(1)求圆C1与圆C2的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.
【解题思路】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心C1到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，
（2）解法一：设过两圆的交点的圆为x2+y2−4x+2y+λx2+y2−2y−4=0,λ≠−1，求出圆心坐标代入2x+4y=1中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为a,b，然后列方程组可求出a,b，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.
【解答过程】（1）
将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即x2+y2−4x+2y−x2+y2−2y−4=0，化简得x−y−1=0，
所以圆C1的圆心0,1到直线x−y−1=0的距离为d=−1−11+1=2，
则AB22=r12−d2=5−2=3，解得AB=23，
所以公共弦长为23.
（2）
解法一：
设过两圆的交点的圆为x2+y2−4x+2y+λx2+y2−2y−4=0,λ≠−1，
则x2+y2−41+λx+2−2λ1+λy−4λ1+λ=0,λ≠−1；
由圆心21+λ,−1−λ1+λ在直线2x+4y=1上，则41+λ−41−λ1+λ=1，解得λ=13，
所求圆的方程为x2+y2−3x+y−1=0，即x−322+y+122=72.
解法二：
由（1）得y=x−1，代入圆C2:x2+y2−4x+2y=0，
化简可得2x2−4x−1=0，解得x=2±62；
当x=2+62时，y=62；当x=2−62时，y=−62；
设所求圆的圆心坐标为a,b，
则a−2+622+b−622=a−2−622+b+6222a+4b=1，解得a=32b=−12；
所以r2=32−2+622+−12−622=72；
所以过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为x−322+y+122=72.