人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课时作业

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课时作业，共19页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）“mn0)的一条渐近线方程为5x+2y=0，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆x2+(y−4)2=1上运动，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．22+4B．8C．22+5D．9
6．（3分）(2023·安徽·高三阶段练习（理））已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为Fc,0，离心率e=233，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为A,B,△OAB为直角三角形，AB=3，则C的方程为（ ）
A．x26−y22=1B．x23−y2=1
C．x29−y23=1D．x212−y24=1
7．（3分）(2023·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离3403mB．东偏南45°方向，距离3403m
C．西偏北45°方向，距离1703mD．东偏南45°方向，距离1703m
8．（3分）(2023·安徽省高二期末）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，则3e12+1e22的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高三专题练习）若方程x23−t+y2t−1=1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若C为椭圆，则10的一条渐近线的距离为95，则双曲线的离心率e= ．
14．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E：x2a2−y24=1a>0的离心率为2，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是 .
15．（4分）(2023·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知点M−5,0，点P在曲线x29−y216=1x>0上运动，点Q在曲线x−52+y2=1上运动，则PM2PQ的最小值是 ．
16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±3x，若动点P在C的右支上，F1，F2分别为C的左，右焦点，OP⋅OF2的最小值是2a（其中O为坐标原点），则|PF1|2|PF2|的最小值为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
18．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知x21−k−y2|k|−3=−1，当k为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线．
19．（8分）(2023·全国·高三专题练习）在①左顶点为−3,0，②双曲线过点32,4，③离心率e=53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆x249+y224=1共焦点，且______．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点P在双曲线上，且PF1=8，求PF2．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（8分）(2023·江西·高二期末（文））若F1，F2是双曲线x225−y2144=1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于10，求点M到另一个焦点距离；
(2)如图若P是双曲线左支上一点，且|PF1|⋅|PF2|=288，求ΔF1PF2的面积.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某电厂冷却塔的外形是由C1双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为20m，上口半径为105m，下口半径为202m，高为60m，选择适当的平面直角坐标系.
(1)求此双曲线C1的方程；
(2)定义：以（1）中求出的双曲线C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2叫做C1的共轭双曲线，求双曲线C2的方程；
(3)对于（2）中的双曲线C1､C2的离心率分别为e1､e2，写出e1与e2满足的一个关系式，并证明.
22．（8分）（2023·河北省高二期中）已知：双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为32且点−22,5在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上任意一点，求PA1⋅PF2的最小值；
（3）若M是双曲线左支上任意一点，F1为左焦点，写出MF1的最小值.
专题3.8 双曲线的标准方程和性质-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）“mn12，B正确；
4m+n≥24mn=23，当且仅当4m=n时等号成立，即4m+n的最小值为23，C错误；
渐近线y=13x的斜率为k=13=33，倾斜角为π6，两渐近线夹角为π3，∴∠APB=2π3，AB2=m2+n2−2mncs2π3=m2+n2+mn≥3mn=94，当且仅当m=n时等号成立，∴AB≥32，即AB最小值为32，D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高三专题练习）点(3,0)到双曲线x216−y2b2=1b>0的一条渐近线的距离为95，则双曲线的离心率e= 54 ．
【解题思路】根据双曲线的对称性不妨取双曲线x216−y2b2=1的一条渐近线方程bx−4y=0，根据点到直线的距离求得b，进而求得离心率.
【解答过程】由题意，根据双曲线的对称性不妨取双曲线x216−y2b2=1的一条渐近线方程为bx−4y=0，
故3bb2+16=95，即25b2=9b2+16，解得b2=9，
又a2=16，故e=ca=16+916=54，
故答案为：54.
14．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E：x2a2−y24=1a>0的离心率为2，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是 2 .
【解题思路】由双曲线的离心率求出a=2，得到A点坐标，渐近线方程，从而求出过点A且与渐近线平行的直线，从而求出B0,−2，△OAB的面积.
【解答过程】双曲线E：x2a2−y24=1a>0的离心率为e=ca=a2+4a2=2，解得a=2，
所以E的右顶点A2,0，双曲线E的渐近线方程为y=±x，
设过点A的直线与渐近线y=x平行，则其方程为y=x−2，则B0,−2，
所以S△AOB=12OA⋅OB=12×2×2=2
故答案为：2.
15．（4分）(2023·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知点M−5,0，点P在曲线x29−y216=1x>0上运动，点Q在曲线x−52+y2=1上运动，则PM2PQ的最小值是 20 ．
【解题思路】作出图形，分析可知PM=PC+6，PQ≤PC+1，利用基本不等式可求得PM2PQ的最小值.
【解答过程】如下图所示：
在双曲线x29−y216=1中，a=3，b=4，c=a2+b2=5，
圆x−52+y2=1的圆心为C5,0，半径长为r=1，
所以，双曲线x29−y216=1的左、右焦点分别为M、C，
由双曲线的定义可得PM=PC+2a=PC+6，PQ≤PC+1，
所以，PM2PQ≥PC+62PC+1=PC+1+25PC+1+10≥2PC+1⋅25PC+1+10=20，
当且仅当Q为射线PC与圆C的交点，且PC=4时，等号成立，
故PM2PQ的最小值是20.
故答案为：20.
16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±3x，若动点P在C的右支上，F1，F2分别为C的左，右焦点，OP⋅OF2的最小值是2a（其中O为坐标原点），则|PF1|2|PF2|的最小值为 8 .
【解题思路】根据OP⋅OF2的最小值是2a可得c=2，进而结合渐近线方程可得方程组ba=3c=2c2=a2+b2，进而求出a,b的值，然后设PF2=t，借助双曲线的定义可得PF12PF2=t+22t，利用均值不等式即可求出结果.
【解答过程】设Px,y，且x≥a，F2c,0，则OP=x,y,OF2=c,0，因此OP⋅OF2=cx，当x=a时，OP⋅OF2取得最小值，且最小值为ac=2a，即c=2，
所以ba=3c=2c2=a2+b2，解得a=1，b=3，
设PF2=t（t≥1），则PF1=t+2，
所以PF12PF2=t+22t=t+4t+4≥2t×4t+4=8，（当t=4t即t=2时取等号），
即|PF1|2|PF2|的最小值为8.
故答案为：8.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，即可求得双曲线方程.
【解答过程】设爆炸点为P，由已知，得PA−PB=340×4=1360（m）.
因为AB=2km=2000m>1360m，PA>PB，
所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上.
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如下所示：
由2a=1360，2c=2000，得a=680，c=1000，b2=c2−a2=537600.
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是x2462400−y2537600=1（x>0）.
18．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知x21−k−y2|k|−3=−1，当k为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线．
【解题思路】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．
【解答过程】（1）
∵x21−k−y2|k|−3=−1，即x2k−1+y2k−3=1，方程表示双曲线，
∴(k－1)(|k|－3)＜0，
可得k＜－3或1＜k＜3；
（2）
∵x21−k−y2|k|−3=−1，即x2k−1+y2k−3=1，焦点在x轴上的双曲线，
则k−1＞03−|k|＞0，
∴1＜k＜3；
（3）
∵x21−k−y2|k|−3=−1，即x2k−1+y2k−3=1，焦点在y轴上的双曲线，
则|k|−3＞01−k＞0，
∴k＜－3．
19．（8分）(2023·全国·高三专题练习）在①左顶点为−3,0，②双曲线过点32,4，③离心率e=53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆x249+y224=1共焦点，且______．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点P在双曲线上，且PF1=8，求PF2．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）通过双曲线与椭圆x249+y224=1共焦点，可知双曲线的焦点在x轴上并能求出c的值，从三个条件中任选一个，结合b2=c2−a2，代入已知条件即可求出该双曲线的方程.
（2）根据双曲线定义的几何意义PF1−PF2=2a即可求解.
【解答过程】（1）
因为双曲线与椭圆x249+y224=1共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且c=49−24=5．
选①，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由双曲线的左顶点为−3,0得，a=3，所以b2=c2−a2=25−9=16，所以双曲线的方程为x29−y216=1．
选②，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由双曲线过点32,4，得18a2−16b2=1，又a2=25−b2，解得b2=16，所以a2=9，所以双曲线方程为x29−y216=1．
选③，设双曲线的方程x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由离心率e=53得，5a=53⇒a=3，所以b2=c2−a2=2.5−9=16，所以双曲线方程为x29−y216=1．
（2）
因为PF1=8，PF1−PF2=2a=6，所以PF2=2或PF2=14.
20．（8分）(2023·江西·高二期末（文））若F1，F2是双曲线x225−y2144=1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于10，求点M到另一个焦点距离；
(2)如图若P是双曲线左支上一点，且|PF1|⋅|PF2|=288，求ΔF1PF2的面积.
【解题思路】（1）利用双曲线的定义，根据点M到一个焦点的距离求点M到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到|PF2|−|PF1|=10，两边平方求得|PF1|2+|PF2|2，即证|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=262，∠F1PF2=90°，再计算直角三角形面积即可.
【解答过程】(1)
F1,F2是双曲线x225−y2144=1的两个焦点，则a=5,b=12,c=a2+b2=13，
点M到它的一个焦点的距离等于10，设点M到另一个焦点的距离为m，
则由双曲线定义可知，|m−10|=2a=10，解得m=20或m=0（舍去）
即点M到另一个焦点的距离为20；
(2)
P是双曲线左支上的点，则|PF2|−|PF1|=2a=10，
则|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|+|PF1|2=100，而|PF1|⋅|PF2|=288，
所以|PF1|2+|PF2|2=100+2×288=676=262，
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=262，
所以△F1PF2为直角三角形，∠F1PF2=90°，
所以S△F1PF2=12|PF1|⋅|PF2|=12×288=144.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某电厂冷却塔的外形是由C1双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为20m，上口半径为105m，下口半径为202m，高为60m，选择适当的平面直角坐标系.
(1)求此双曲线C1的方程；
(2)定义：以（1）中求出的双曲线C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2叫做C1的共轭双曲线，求双曲线C2的方程；
(3)对于（2）中的双曲线C1､C2的离心率分别为e1､e2，写出e1与e2满足的一个关系式，并证明.
【解题思路】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由题意知CD=2a=40m，所以a=20，
AB=205m，EF=402m，可得答案；
（2）以（1）中方程中的x,y互换位置可得答案；
（3）e1与e2满足的一个关系式为1e12+1e22=1，分别求出e1、e2可得答案.
【解答过程】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由题意知CD=2a=40m，所以a=20，AB=205m，EF=402m，所以A105,tt>0，F202,−60+t，所以1052202−t2b2=12022202−t−602b2=1，解得b=40t=20，所以双曲线C1的方程为x2400−y21600=1.
（2）以（1）中求出的双曲线C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2为y21600−x2400=1.
（3）e1与e2满足的一个关系式为1e12+1e22=1，证明如下，双曲线C1的半焦距c=400+1600=205，所以双曲线C1的离心率为e1=ca=20520=5，双曲线C2的半焦距c=400+1600=205，所以双曲线C2的离心率为e2=cb=20540=52，所以1e12+1e22=ac2+bc2=152+252=1，所以e1与e2满足的一个关系式为1e12+1e22=1.
22．（8分）（2023·河北省高二期中）已知：双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为32且点−22,5在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上任意一点，求PA1⋅PF2的最小值；
（3）若M是双曲线左支上任意一点，F1为左焦点，写出MF1的最小值.
【解题思路】（1）根据离心率及双曲线上的点联立方程求a,b即可求标准方程；
（2）设Px,y x≥2，写出向量PA1⋅PF2，利用二次函数求最值；
（3）设M(x,y)为双曲线左支上任意一点，求|MF1|，利用二次函数求最值.
【解答过程】（1）由题意有ca=328a2−5b2=1c2=a2+b2，解得a2=4，b2=5，
故双曲线的标准方程为x24−y25=1；
（2）由已知得A1−2,0，F23,0，设Px,y x≥2，则PA1=−2−x,−y，PF2=3−x,−y，
所以PA1⋅PF2=x2−x−6+y2=x2−x−6+54x2−5=94x2−x−11=94x−292−1009，
因为x≥2，所以当x=2时，PA1⋅PF2取得最小值，且最小值为-4.
（3）设M(x,y)为双曲线左支上任意一点，
因为左焦点 F1(−3,0)，
所以|MF1|=(x+3)2+y2=(x+3)2+54x2−5=94x2+6x+4 (x≤−2)，
由y=94x2+6x+4 (x≤−2)，对称轴为x=−43>−2知，
当x=−2时，ymin=94×4−2×6+4=1，
所以|MF1|min=1.