新高考高中数学核心知识点全透视专题3.8函数、方程与不等式的关系(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题3.8函数、方程与不等式的关系(专题训练卷)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了8 函数、方程与不等式的关系等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·山西晋中·高三（理））已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3. （2023·河南南阳市·南阳中学）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f（）＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
5．（2023·合肥市第六中学）已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且，设，则( )
A．没有最小值B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
6．（2023·天津高一期末）已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.（2023·全国高一专题练习）已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国）已知二次函数的图象过原点，且，，则的可能是（ ）
A．20B．21C．30D．32
10.（2023·普宁市普师高级中学）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．
C．D．
11．（2023·全国高一课时练习）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两个实数根之和为0
12.（2023·辽宁高三月考）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，，则（ ）
A．是偶函数B．的图象关于对称
C．在上有3个实数根D．
三、填空题
13．（2023·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.
14.（2023·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.
15．（2023·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则 ．
16．（2023·怀仁市第一中学校（文））在下列命题中，正确命题的序号为___________.（写出所有正确命题的序号）
①函数的最小值为；
②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；
③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；
④已知函数，若，则.
四、解答题
17. （2023·福建上杭一中高三月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
18．（2023·全国高三专题练习）已知，，，试比较实数a､b､c的大小关系.
19．（2023·全国高三专题练习）求二元函数的最小值．
20．（2023·重庆市第二十九中学校）设函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值．
21．（2023·云南省玉溪第一中学高一月考）已知函数．
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）已知函数，若对于任意的与，且有，均满足：
（1）求a的取值范围？
（2）当，函数的最小值为M（a），对于给定范围内的实数a，求得M（a）的最小值.
专题3.8 函数、方程与不等式的关系（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·山西晋中·高三（理））已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
分别解出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A.
2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
由函数的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间．
【详解】
函数在上为增函数，
由，（1），（1）
结合函数零点存在定理可得方程的解在，内．
故选：．
3. （2023·河南南阳市·南阳中学）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：
由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】
由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，
则，
则函数图象开口向下，与轴交于.
故选：C.
4．已知函数，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f（）＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：D
【解析】 (1)由题意得a>0.
当0当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．
故选D.
5．（2023·合肥市第六中学）已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且，设，则( )
A．没有最小值B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
答案：B
分析：
根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一元二次函数并结合的取值范围即可求解.
【详解】
∵且， 则，且，∴ ， 即
由，
∴，
又∵，
∴当时，，
当时，，
故有最小值.
故选：B.
6．（2023·天津高一期末）已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
作出函数的图像和直线，如图所示，
当，函数的图像和直线有三个交点，所以.
故选：A
7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
分析函数的单调性，解出不等式，再根据条件列出不等式即可得解.
【详解】
当时，，则在上递减，当时，，则在上递减，
于是得在上是减函数，因此，不等式等价于，解得，
依题意，存在，使成立，从而得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
8.（2023·全国高一专题练习）已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
由题设可得，又即为方程两个不等的实根，即有，结合、得，即可求其最小值.
【详解】
由题意知：当有，
∵知：是两个不等的实根.
∴，而，
∵，即，
∴，令，
则，
∴当时，的最小值为.
故选：B
二、多选题
9．（2023·全国）已知二次函数的图象过原点，且，，则的可能是（ ）
A．20B．21C．30D．32
答案：BC
分析：
由题意设，求得，（1），（3），设，求得，，再由不等式的性质，即可得到所求范围，从而判断出结果．
【详解】
解：二次函数的图象过原点，
设，
由，（1），
可得，，
又（3），
设，
可得，，
解得，，
则（3）（1），
，（1），
可得（3）．
即（3）的取值范围是，，符合条件只有选项BC.
故选：BC．
10.（2023·普宁市普师高级中学）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．
C．D．
答案：AC
分析：
根据二次函数的性质可得函数与轴的另一交点为，结合函数图象及对称轴即可判断；
【详解】
解：依题意抛物线与轴交于点，顶点坐标为，所以函数与轴的另一交点为，所以当时，，故A正确；
当时，，故B错误；
抛物线与轴交于点，且
，
，
，，
，
，
，
，
，所以C正确，D错误；
故选：AC．
11．（2023·全国高一课时练习）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两个实数根之和为0
答案：ABC
分析：
根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可.
【详解】
A选项中，方程有一个正根一个负根则即；
同时时方程有一个正根一个负根；是方程有一个正根一个负根的充要条件.
B选项中，方程有两个正根则即；
同时时方程有两个正根；是方程有两个正根的充要条件.
C选项中，方程无实数根则即；
而时方程可能无实根也可能有实根；故是方程无实数根的必要条件.
D选项中，时知方程无实根；
故选：ABC
12.（2023·辽宁高三月考）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，，则（ ）
A．是偶函数B．的图象关于对称
C．在上有3个实数根D．
答案：BC
【解析】
由为偶函数，得到的图象关于对称，可判定B正确；由是奇函数，得到函数关于点对称，得到和，根据题意，求得，可判定D不正确；由，可判定A不正确；由，可判定C正确.
【详解】
根据题意，可得函数的定义域为，
由函数为偶函数，可得函数的图象关于对称，
即，所以B正确；
由函数是奇函数，可得函数的图象关于点对称，
即，可得，
则，即函数是以8为周期的周期函数，
当时，，可得，
即，所以D不正确；
由函数是以8为周期的周期函数，可得，
因为，令，可得，
所以，所以函数一定不是偶函数，所以A不正确；
当时，，所以，
由，可得，又由，所以C正确.
故选：BC.
三、填空题
13．（2023·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.
答案：2
分析：
由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】
，故，
故答案为：2.
14.（2023·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.
答案：2
【解析】
函数的零点即方程的根，
函数的零点个数，即方程的根的个数.
.
当时，.
当时，或或（舍）.
当时，，方程无解.
综上，方程的根为，1.
所以方程有2个根，即函数有2个零点.
故答案为：2.
15．（2023·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则 ．
答案：4
【解析】
作出函数的图象，
方程有四个不同的实数解，
等价为和的图象有4个交点，
不妨设它们交点的横坐标为、、、，
且，
由、关于原点对称，、关于对称，
可得，，
则．
故答案为：4．
16．（2023·怀仁市第一中学校（文））在下列命题中，正确命题的序号为___________.（写出所有正确命题的序号）
①函数的最小值为；
②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；
③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；
④已知函数，若，则.
答案：②③④
分析：
根据函数性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
①当时，无最小值，故①错误；
②因为，所以的图象关于直线对称，
又的周期为4，所以，
救函数一定为偶函数，故②正确；
③因为是定义在上的奇函数又是以2为周期的周期函数，
所以，，
，故.
又，
，
所以，故③正确；
④因为为奇函数，函数在上单调递增，若，则，有，所以，故④正确.
故答案为：②③④
四、解答题
17. （2023·福建上杭一中高三月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，，，即可求出，得到函数的解析式；
（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得，即，即可解出．
【详解】
（1）∵，∴，∵，
∴，即或2，
∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．
(2)∵
∴，，，
∴，即的取值范围为．
18．（2023·全国高三专题练习）已知，，，试比较实数a､b､c的大小关系.
答案：
分析：
由题意化为，则点是抛物线上的点，结合二次函数的图象与性质，得到，，再利用作差比较得到，即可求解.
【详解】
由，可得，则点是抛物线上的点，
由，可知是上方的点，如图所示，
故满足的点应为阴影内的抛物线上除去的点，
所以，，
又由，所以，
综上可得：.
故答案为：.
19．（2023·全国高三专题练习）求二元函数的最小值．
答案：
分析：
解法一看成关于x的二次函数，y为参数，利用二次函数的性质求解；解法二由二元函数结构特点，将函数关系看成是点和点的距离，再由点的轨迹是直线，点的轨迹是双曲线，转化为直线上的点和双曲线上的点的距离平方的最小值求解.
【详解】
解法一（二次函数极值法）：首先看成关于x的二次函数，y为参数．
，
顶点在，且开口向上的抛物线．
所以（时最小）．
解法二（构造法）：由二元函数结构特点，可将函数关系看成是点和点的距离，
而点的轨迹是直线，点的轨迹是双曲线，
所以问题就转化为直线上的点和双曲线上的点的距离平方的最小值，如图所示：
由图可知：连线过原点且与直线垂直时，其交点C到点B最近，
此时A，B，C三点的坐标是，，，，
即的最小值是．
20．（2023·重庆市第二十九中学校）设函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值．
答案：（1）；（2）．
分析：
（1）由不等式的解集．，是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；
（2）由，得到，将所求变形为展开，利用基本不等式求最小值．
【详解】
解：（1）∵的解集为，
是的两根，
．
（2）由于，，，
则可知，
得，
所以，
当且仅当且，
即时成立，
所以的最小值为.
21．（2023·云南省玉溪第一中学高一月考）已知函数．
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1），；（2）.
分析：
（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，可将问题转化为，是一元二次方程的两根，再根据韦达定理列方程组可解得；
（2）不等式恒成立，分离参数可得，令转化为求最小值即可．
【详解】
（1）因为的解集为，
所以的解集为，
所以2，是一元二次方程的两根．
可得，解得．
（2）当时，不等式恒成立，
则对于恒成立，
令，，则．
因为，当且仅当即时取等号，
所以，所以，
所以的取值范围为．
22．（2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）已知函数，若对于任意的与，且有，均满足：
（1）求a的取值范围？
（2）当，函数的最小值为M（a），对于给定范围内的实数a，求得M（a）的最小值.
答案：（1）；（2），.
分析：
（1）根据题意，代入，整理可得，根据，即可求得a的范围.
（2）分析可得为开口向下，对称轴的抛物线，分别讨论、、和几种情况下最小值，分析即可得答案.
【详解】
（1）将代入得：，
整理得，即，
∵恒成立，故，
（2）∵，
由，可知为开口向下，对称轴的抛物线，
①当时，即时，f(x)在x=4时有最小值，
则，因为
所以，
②当时，即时，f(x)在时有最小值为，
则，因为，
故此时的，
③当时，即时，f(x)在时有最小值为，
则，因为，
故此时的，
④当时，即时，f(x)在x=2时有最小值，
则，因为
此时，
综上：当时，即时，的最小值为-10.