新高考高中数学核心知识点全透视专题4.1指数与指数函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题4.1指数与指数函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了1 指数与指数函数，已知函数，有限制条件的根式化简的步骤等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．
2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．
3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
二、考试要求
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.
三、主干知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ \r(n,a) 当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
【特别说明】：
(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．
(2)(eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．
eq \r(n,a)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n为偶数，a为非负实数,n为奇数，a为任意实数，且\r(n,a)符号与a的符号一致))
2．有理数指数幂
3．指数函数的图象和性质
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
二、真题展示
1.（2023·山东高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·湖南高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
考点01 根式的化简与求值
【典例1】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）49的平方根为7； （2）＝a(a≥0)；
（3）； （4） ．
A．1B．2
C．3D．4
【典例2】化简下列各式：
(1)eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)(－3(2)(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－2a＋a2)＋eq \r(3,1－a3).
【规律方法】
1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的进一步认识
(1)对(eq \r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq \r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq \r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq \r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq \r(n,a))n＝a(a≥0)．
(2)对eq \r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0,－aa＜0)).
(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
3.有限制条件的根式化简的步骤
考点02 指数幂的化简与求值
【典例3】（2023·北京海淀·清华附中高一月考）（1）___________.
（2）___________.
【典例4】已知则的值为__________．
【典例5】（2023·上海高三专题练习）若，，且，则_________.
【特别提醒】
1.指数幂运算的一般原则：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．
考点03 指数函数的图象及应用
【典例6】（2023·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
【典例7】（2023·全国）函数的图像一定不经过第___________象限；若函数的图像不经过第一象限，则实数b的取值范围是___________．
【总结提升】
1. 常考题型及技法
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
2.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； = 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； = 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复； = 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． = 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
3.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
考点04 指数函数的性质及应用
【典例8】(2023新课标全国III）已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【典例9】(2023·北京高考真题（理））已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
【典例10】．（2023·眉山市彭山区第一中学高三月考（理））已知函数是减函数，则实数的取值范围是_________．
【典例11】（2023·四川省乐山第一中学校高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______．
【典例12】（2023·上海高三专题练习）已知函数，求其单调区间及值域．
【总结提升】
1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
1.（2023·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
2.（2023·上海高一课时练习）已知实数a，b满足，则下列各式中正确的是( )
A．B．C．D．
3．（2023·全国高一专题练习）函数的定义域为_____________．
4.(2023·江苏高考真题）不等式的解集为________.
5．（2023·广州市第四中学高一月考）若，则________．
6. （2023·湖北省高一期末）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：）
7．（2023·全国高一课时练习）计算：___________．
8．（2023·全国高一课时练习）___________．
9．（2023·全国）指数函数在上是减函数，则实数a的取值范围是___________．
10.(2023·湖南高考真题（理））已知函数若存在实数a，使函数g(x)=f(x)-a有两个零点，则实数m的取值范围是________．
幂的有
关概念
正分数指数幂：a＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义
有理数
指数幂
的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
y＝ax
a>1
0图象
性质
函数的定义域为eq \a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq \a\vs4\al(0)时，y＝eq \a\vs4\al(1)
当x>0时，恒有y>1；
当x>0时，恒有0当x<0时，恒有0当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数
专题4.1 指数与指数函数（精讲精析篇）
一、核心素养
1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．
2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．
3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
二、考试要求
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.
三、主干知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ \r(n,a) 当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
【特别说明】：
(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．
(2)(eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．
eq \r(n,a)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n为偶数，a为非负实数,n为奇数，a为任意实数，且\r(n,a)符号与a的符号一致))
2．有理数指数幂
3．指数函数的图象和性质
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
二、真题展示
1.（2023·山东高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
2.（2023·湖南高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
答案：（1）答案见解析；（2）
分析：
（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；
（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.
【详解】
（1）函数的图象如图所示：
（2），
当时， ，可得：，
当，，可得：，
所以的解集为：，
所以的取值范围为.
考点01 根式的化简与求值
【典例1】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）49的平方根为7； （2）＝a(a≥0)；
（3）； （4） ．
A．1B．2
C．3D．4
答案：A
分析：
（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为；（4）符号错误
【详解】
49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；，（3）错；，(4)错，正确个数为1个，
故选：A
【典例2】化简下列各式：
(1)eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)(－3(2)(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－2a＋a2)＋eq \r(3,1－a3).
答案：见解析.
【解析】(1)原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3(2)由eq \r(a－1)知a－1≥0，
∴原式＝a－1＋eq \r(a－12)＋1－a＝a－1.
【规律方法】
1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的进一步认识
(1)对(eq \r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq \r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq \r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq \r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq \r(n,a))n＝a(a≥0)．
(2)对eq \r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0,－aa＜0)).
(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
3.有限制条件的根式化简的步骤
考点02 指数幂的化简与求值
【典例3】（2023·北京海淀·清华附中高一月考）（1）___________.
（2）___________.
答案：9
分析：
（1）利用指数幂的运算性质计算即可求解；
（2）利用指数幂的运算性质计算即可求解.
【详解】
（1）原式；
（2）原式.
故答案为：；.
【典例4】已知则的值为__________．
答案：
【解析】
题意，∴，
∴，
故答案为．
【典例5】（2023·上海高三专题练习）若，，且，则_________.
答案：
【解析】
，则，故，
，，，故，故.
故答案为：.
【特别提醒】
1.指数幂运算的一般原则：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．
考点03 指数函数的图象及应用
【典例6】（2023·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
由于过点，故D选项错误.
当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.
当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.
综上所述，正确的选项为C.
故选：C
【典例7】（2023·全国）函数的图像一定不经过第___________象限；若函数的图像不经过第一象限，则实数b的取值范围是___________．
答案：二、四
分析：
分别就，和进行分类讨论，分析知其图像在第三象限和第一象限，以及原点，则可得结果；图像不过第一象限可转化为时，，结合指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
当，，，在第三象限，
当，，，在第一象限，
且时，，
故的图像一定不经过第二、四象限；
若函数的图像不经过第一象限，
当时，
又，且，
是的减函数，
解得.
故答案为：二、四；.
【总结提升】
1. 常考题型及技法
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
2.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； = 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； = 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复； = 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． = 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
3.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
考点04 指数函数的性质及应用
【典例8】(2023新课标全国III）已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
【解析】因为，，所以，故选A．
【典例9】(2023·北京高考真题（理））已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
答案：A
【解析】
分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数.
故选A.
【典例10】．（2023·眉山市彭山区第一中学高三月考（理））已知函数是减函数，则实数的取值范围是_________．
答案：
分析：
根据减函数定义可直接构造方程组求得结果.
【详解】
是定义域上的减函数，，
即，解得：，实数的取值范围为.
故答案为：.
【典例11】（2023·四川省乐山第一中学校高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______．
答案：
分析：
根据已知条件求出的周期，再根据已知条件求出，，，的值，进而可得的值，再根据周期性计算即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以
所以，所以的周期为，
当时，，
所以，，，
在中，令可得，所以，
，，
所以，
因为，
所以
，
故答案为：.
【典例12】（2023·上海高三专题练习）已知函数，求其单调区间及值域．
答案：在上是增函数，在上是减函数，值域为
【解析】
根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题.
解：令,，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵, ∴的值域为．
【总结提升】
1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
1.（2023·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
2.（2023·上海高一课时练习）已知实数a，b满足，则下列各式中正确的是( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
当时，幂函数在上为增函数，
所以当时有，
因为，
所以指数函数在上为减函数，
因此有 ，
所以有：
故选：D
3．（2023·全国高一专题练习）函数的定义域为_____________．
答案：
分析：
令解得答案即可.
【详解】
令.
故答案为：.
4.(2023·江苏高考真题）不等式的解集为________.
答案：
【解析】
,
是一个递增函数；
故答案为：.
5．（2023·广州市第四中学高一月考）若，则________．
答案：4
分析：
根据分段函数的定义计算．先计算出，再计算．
【详解】
由已知，则．
故答案为：4．
6. （2023·湖北省高一期末）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：）
答案：
【解析】
设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能测到碳14，
则，即，
由参考数据可知，，，
所以，
故答案为：.
7．（2023·全国高一课时练习）计算：___________．
答案：
分析：
利用指数运算的性质化简求值即可.
【详解】
.
故答案为：.
8．（2023·全国高一课时练习）___________．
答案：
分析：
利用指数幂运算法则即得.
【详解】
.
故答案为：.
9．（2023·全国）指数函数在上是减函数，则实数a的取值范围是___________．
答案：
分析：
根据指数函数的单调性，即可判断底数的范围，从而解得实数a的取值范围.
【详解】
因为在上是减函数，所以，
解得．
故答案为：.
10.(2023·湖南高考真题（理））已知函数若存在实数a，使函数g(x)=f(x)-a有两个零点，则实数m的取值范围是________．
答案：
【解析】
∵有两个零点，
∴有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或．
①当时,函数的图象如图所示，此时存在满足题意，故满足题意．
②当时,由于函数在定义域R上单调递增，故不符合题意．
③当时,函数单调递增，故不符合题意．
④时,单调递增，故不符合题意．
⑤当时,函数的图象如图所示,此时存在使得与有两个交点．
综上可得或．
所以实数的取值范围是．
幂的有
关概念
正分数指数幂：a＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义
有理数
指数幂
的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
y＝ax
a>1
0图象
性质
函数的定义域为eq \a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq \a\vs4\al(0)时，y＝eq \a\vs4\al(1)
当x>0时，恒有y>1；
当x>0时，恒有0当x<0时，恒有0当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数