新高考高中数学核心知识点全透视专题4.2指数与指数函数(专题训练卷)(原卷版+解析)

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这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题4.2指数与指数函数(专题训练卷)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了2 指数与指数函数等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·和平·天津一中高三月考）已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．（2023·长沙市南雅中学高一月考）下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（）
A．y=|x|B．C．D．
3．（2023·全国高一课时练习）若，则x的取值范围是（）
A．B．C．D．
4．（2023·全国高一课时练习）设，那么（）
A．0C．a>b>1D．b>a>1
5．（2023·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国）一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）
A．5B．9C．6D．8
7．（2023·河南高二月考）已知，，均为实数，其中，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
8．（2023·河南高三月考（理））已知，则“幂函数在上为增函数”是“指数函数为增函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2023·白沙黎族自治县白沙中学高一期中）下列各式错误的是（）
A．＝－3B．＝a
C．＝2D．＝2
10．（2023·淮北市树人高级中学高一月考）下列说法中，正确的是（）
A．任取，都有.
B．是增函数．
C．的最小值为1.
D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称．
11．（2023·全国高一课时练习）已知，则函数为减函数的实数的值可以是（）
A．B．C．D．
12．（2023·抚顺市第二中学高三）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国高一课时练习）____________．
14．（2023·全国高一课时练习）函数的图像是由函数的图像沿轴向_______平移_______个单位，再沿轴向_______平移_______个单位得到的．
15．（2023·全国高一课时练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的差为，则底数_______
16．(2023·全国）已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f（1）的大小关系是________．
四、解答题
17.(2023·全国高三专题练习）化简下列各式：
（1）－－π0；
（2）
18．（2023·全国高一课时练习）已知f(x)＝，a是大于0的常数．
（1）求；
（2）探求的值；
（3）利用（2）的结论求＋＋…＋的值．
19．（2023·全国高一课时练习）已知指数函数f(x)的图象过点．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
20．（2023·江西（文））已知函数.
（1）解关于的不等式：；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．（2023·全国高一课时练习）定义在上的奇函数满足：当时，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值和最小值．
22．(2023·全国高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值．
专题4.2 指数与指数函数（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·和平·天津一中高三月考）已知集合，，则（）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
由交集的定义求解即可
【详解】
，，
则，
故选：B
2．（2023·长沙市南雅中学高一月考）下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（）
A．y=|x|B．C．D．
答案：D
分析：
根据常见函数的单调性可选出答案.
【详解】
，在定义域内都不是单调递增的，不满足题意，
在定义域上单调递减，不满足题意，
在定义域上单调递增，满足题意，.
故选：D
3．（2023·全国高一课时练习）若，则x的取值范围是（）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
先化成底数相同的指数形式，再按照指数函数的性质求解.
【详解】
由得，，所以，解得，
故选：B
4．（2023·全国高一课时练习）设，那么（）
A．0C．a>b>1D．b>a>1
答案：B
分析：
利用指数函数的单调性判断即可
【详解】
由以及函数是减函数可知0故选：B.
5．（2023·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．
【详解】
当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
由图可知，大于1，，大于0小于1．
又由图可知，即．，即．
，，，与1的大小关系是．
故选：．
6．（2023·全国）一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）
A．5B．9C．6D．8
答案：B
分析：
由分裂的定义可知，后一天的细胞数应为前一天的二倍，则可表示经过10天的细胞的数量，逆推可知，前一天时应为此时的一半，则可知需要9天即可充满容器一半.
【详解】
根据题意可得，经过10天细胞数量为，
细胞充满容器一半时，细胞数量为，
当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天，
故选：B.
7．（2023·河南高二月考）已知，，均为实数，其中，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
根据不等式的性质、指数函数性质判断．错误的可举反例说明．
【详解】
当，时，，，AC错；当，时，，B错；当时，，恒成立，D正确．
故选：D．
8．（2023·河南高三月考（理））已知，则“幂函数在上为增函数”是“指数函数为增函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
分析：
利用幂函数和指数函数的单调性，再结合必要不充分条件的定义即可得到答案.
【详解】
若幂函数在上是增函数，则，，
若指数函数为增函数，则，则，
因为“”是“”的必要不充分条件，
则“幂函数在上是增函数”是“指数函数为增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·白沙黎族自治县白沙中学高一期中）下列各式错误的是（）
A．＝－3B．＝a
C．＝2D．＝2
答案：ABD
分析：
由根式、指数幂的运算性质求各选项的值即可.
【详解】
A：＝3，错误；B：，错误；C：，正确；D：，错误.
故选：ABD
10．（2023·淮北市树人高级中学高一月考）下列说法中，正确的是（）
A．任取，都有.
B．是增函数．
C．的最小值为1.
D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称．
答案：CD
分析：
根据指数函数的性质对各选项逐一分析即可.
【详解】
对于A，取时，有，故A错误；
对于B，是减函数，故B错误；
对于C，由于，且在上单调递增，所以的最小值为，故C正确；
对于D，由指数函数性质可知与的图像关于轴对称，故D正确；
故选：CD
11．（2023·全国高一课时练习）已知，则函数为减函数的实数的值可以是（）
A．B．C．D．
答案：AB
分析：
由题意可得，结合已知条件即可求解.
【详解】
由函数为减函数，得，即.
又，所以只有，满足题意.
故选：AB.
12．（2023·抚顺市第二中学高三）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（）
A．B．
C．D．
答案：BD
分析：
结合的单调性以及特殊值、基本不等式，确定正确选项.
【详解】
在为增函数，
依题意，
所以，A错误.
由基本不等式得，B正确.
若，则，C错误.
若，则，D正确.
故选：BD
三、填空题
13．（2023·全国高一课时练习）____________．
答案：26
分析：
直接根据指数幂的运算法则运算即可.
【详解】
故答案为：26
14．（2023·全国高一课时练习）函数的图像是由函数的图像沿轴向_______平移_______个单位，再沿轴向_______平移_______个单位得到的．
答案：左 1 下 2
分析：
利用函数图象变换规律即得.
【详解】
函数的图象由函数的图像沿轴向左平移1个单位得到函数的图象，再沿轴向下平移2个单位得到的.
故答案为：左；1；下；2.
15．（2023·全国高一课时练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的差为，则底数_______
答案：或
分析：
就分类讨论后可得关于的方程，从而可得的值.
【详解】
若，则指数函数在区间上的最大值为，最小值为1，
所以，即，
若，则指数函数在区间上的最大值为1，最小值为，
故，即，
故答案为：或.
16．(2023·全国）已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f（1）的大小关系是________．
答案：(1，＋∞) f(－4)＞f（1）
分析：
因为|x＋1|≥0，函数f(x)的值域为[1，＋∞)，结合指数函数的性质可得a＞1，由复合函数单调性和函数的对称性可得函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，且f（1）＝f(－3)，可比较f(－4)与f（1）的大小关系.
【详解】
因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，
根据指数函数的取值特点，可得a＞1.
由于在R上单调递增，在(－1，＋∞)单调递增
再由复合函数单调性，可得函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，
又它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
，又 f（1）＝f(－3)，
故f(－4)＞f（1）．
故答案为：(1，＋∞)，f(－4)＞f（1）
四、解答题
17.(2023·全国高三专题练习）化简下列各式：
（1）－－π0；
（2）
答案：（1）0；（2）.
分析：
（1）将根式化为分数指数幂，根据指数幂的运算可得结果；
（2）根据指数幂的运算可得结果.
【详解】
（1）原式＝
.
（2）
＝
.
18．（2023·全国高一课时练习）已知f(x)＝，a是大于0的常数．
（1）求；
（2）探求的值；
（3）利用（2）的结论求＋＋…＋的值．
答案：（1）；（2）；（3） 50．
分析：
(1)根据题意，直接代入计算即可；(2)根据题意，结合指数幂的运算性质，即可得到；(3)根据题意，结合，把原式转化为50组的格式即可求解.
【详解】
(1).
(2)由f(x)＝，得f(1－x)＝＝，故有．
(3)由(2)知，＋＋…＋
=++…＋＝1×50＝50．
19．（2023·全国高一课时练习）已知指数函数f(x)的图象过点．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
答案：（1）f(x)＝；（2） (－1，1)．
分析：
(1)将点的坐标代入函数解析式即可求出；（2）根据（1）中的解析式，结合单调性求解.
【详解】
解：（1）设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
将点代入得＝a2．
解得a＝．
故f(x)＝．
（2）由（1）知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，
解得－1即x的取值范围为(－1，1)．
20．（2023·江西（文））已知函数.
（1）解关于的不等式：；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）令，，原不等式可化为，，求得m的范围，即可得出答案；
（2）不等式恒成立，即恒成立，设，，原不等式可化为，分，讨论，取并集即可得出答案.
【详解】
解：（1）令，，原不等式可化为，，
解得，
∴，∴，
∴不等式的解为；
（2）∵，
∴，
即.
设，，∴，
∴原不等式可化为，
当时，不等式恒成立；
当时，∴.
∵，当且仅当，∴，即，
∴，
∴实数的取值范围是.
21．（2023·全国高一课时练习）定义在上的奇函数满足：当时，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值和最小值．
答案：（1）；（2）最大值为17，最小值为1．
分析：
（1）根据函数的奇偶性求出和的解析式可得的解析式；
（2）换元，令，则，，根据二次函数知识可求出结果.
【详解】
（1）因为是定义在上的奇函数，所以．
当时，，则．
所以，
所以．
所以．
（2）令，则，，．
其图像的对称轴为直线，
所以当，即时，；
当，即时，．
所以当时，的最大值为17，最小值为1．
22．(2023·全国高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值．
答案：（1）增函数，；（2）．
分析：
（1）由，求得，得到，根据，求得，即可求得函数是增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；
（2）由（1）和，求得，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）因为函数且是定义域为的奇函数，
可得，从而得，即
当时，函数，
满足，所以，
由，可得且，解得，所以是增函数，
又由，可得，
所以，解得，即不等式的解集是．
（2）由（1）知，，
因为，即，解得，
故，
令，则在上是增函数，故，
即，
此时函数的对称轴为，且开口向上，
所以当，函数取得最小值，最小值为，
即函数的最小值为．